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2017-2018学年陕西省西安一中高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、2017-2018学年陕西省西安一中高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(3分)设集合Ax|x22x0,Bx|1x4,则AB()A(0,2B(1,2)C1,2)D(1,4)2(3分)在ABC中,“A”是“cosA”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3(3分)若命题“x0R,x021”的否定是()Ax0R,Bx0R,CxR,x21DxR,x214(3分)设ab0,cd0,则下列不等式中一定成立的是()AacbdBCDac2bd25(3分)设Sn为等差数列

2、an的前n项和,公差d2,若S10S11,则a1()A18B20C22D246(3分)不等式的解集是()Ax|1x1 Bx|0x1Cx|1x0或x1Dx|0x1或x17(3分)顶点在原点,且过点(4,4)的抛物线的标准方程是()Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24y8(3分)在ABC中,下列关系式恒成立的是()Acos(A+B)cosCBtan(A+B)tanCCsinsinDcossin9(3分)函数f(x)xlnx的增区间为()A(,1)B(0,1)C(1,+)D(0,+)10(3分)若双曲线y21(a0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为()AyxBy3xCyx

3、Dyx11(3分)已知a0,b0,a+b2,则y+的最小值是()ABC5D412(3分)已知等比数列an的各项均为正数,公比q1,设P(),Q,则P与Q的大小关系是()APQBPQCPQDPQ二、填空题:(本大题4小题每小题5分,共20分)13(5分)曲线y2xx3在点(1,1)处的切线方程为 14(5分)在ABC中,已知AB7,BC5,AC6,则 15(5分)已知变量x,y满足约束条件,则zx+2y的最大值为 16(5分)已知抛物线y24x的焦点为F,准线为直线l,过抛物线上一点P作PEl于E,若直线EF的倾斜角为150,则|PF| 三解答题:(本大题4小题共44分,要求写出必要的推理过程)

4、17(10分)已知an是公差不为零的等差数列,a11,且a1,a3,a9成等比数列(1)求数列an的通项;(2)求数列的前n项和Sn18(10分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosCc2b()求角A的大小;()若c,角B的平分线BD,求ABC 的面积19(12分)已知函数f(x)x3+ax+4(aR)在x2处有极值()求a的值;()求f(x)在0,3上的最大值和最小值;20(12分)已知椭圆C的中心在原点,离心率为,右焦点到直线的距离为2(1)求椭圆C的标准方程;(2)椭圆C的下顶点为A,直线ykx+m(k0)与椭圆C相交于不同的两点M,N,当|AM|AN|时,求m

5、的取值范围2017-2018学年陕西省西安一中高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共12小题,每小题3分,共36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(3分)设集合Ax|x22x0,Bx|1x4,则AB()A(0,2B(1,2)C1,2)D(1,4)【分析】分别解出集合A和B,再根据交集的定义计算即可【解答】解:Ax|0x2,Bx|1x4,ABx|1x2故选:C【点评】本题是简单的计算题,一般都是在高考的第一题出现,答题时要注意到端点是否取得到,计算也是高考中的考查点,学生在平时要加强这方面的练习,考试时做到细致悉心,一般可以顺利解决问题2(3

6、分)在ABC中,“A”是“cosA”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义结合三角形的性质,分别证明充分性和必要性,从而得到答案【解答】解:在ABC中,若A,则cosA,是充分条件,在ABC中,若cosA,则A,是必要条件,故选:C【点评】本题考查了充分必要条件,考查了三角形中的三角函数值问题,是一道基础题3(3分)若命题“x0R,x021”的否定是()Ax0R,Bx0R,CxR,x21DxR,x21【分析】利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“x0R,”的否定是:xR

7、,x21故选:D【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基本知识的考查4(3分)设ab0,cd0,则下列不等式中一定成立的是()AacbdBCDac2bd2【分析】运用不等式的可乘性,即可得到结论【解答】解:ab0,cd0,即为cd0,即有acbd0,即acbd0,故A错;由cd0,可得,则B对,C错;由cd0,acbd0,可得ac2bd2,则D错故选:B【点评】本题考查不等式的性质和运用:比较大小,考查推理能力和运算能力,属于基础题5(3分)设Sn为等差数列an的前n项和,公差d2,若S10S11,则a1()A18B20C22D24【分析】由S10S11,可求a11,然后

8、由已知公差d及通项公式a1a1110d可求【解答】解:S10S11,a11s11s100d2a1a1110d010(2)20故选:B【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用,属于基础试题6(3分)不等式的解集是()Ax|1x1 Bx|0x1Cx|1x0或x1Dx|0x1或x1【分析】根据题意,原不等式变形为x(x1)(x+1)0,解可得x的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,x0x(x21)0x(x1)(x+1)0,解可得:1x0或x1,即不等式的解集为x|1x0或x1;故选:C【点评】本题考查其他不等式的解法,关键是将不等式转化变形7(3分)顶点在原点,且过点(4,4)的抛物

9、线的标准方程是()Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x24y【分析】依题意,设抛物线的标准方程为x22py(p0)或y22px(p0),将点(4,4)的坐标代入抛物线的标准方程,求得p即可【解答】解:抛物线的顶点在原点,且过点(4,4),设抛物线的标准方程为x22py(p0)或y22px(p0),将点(4,4)的坐标代入抛物线的标准方程x22py(p0)得:168p,p2,此时抛物线的标准方程为x24y;将点(4,4)的坐标代入抛物线的标准方程y22px(p0),同理可得p2,此时抛物线的标准方程为y24x综上可知,顶点在原点,且过点(4,4)的抛物线的标准方程是x24y或y

10、24x故选:C【点评】本题考查抛物线的标准方程,得到所求抛物线标准方程的类型是关键,考查待定系数法,属于中档题8(3分)在ABC中,下列关系式恒成立的是()Acos(A+B)cosCBtan(A+B)tanCCsinsinDcossin【分析】在ABC中,根据A+B+C,结合诱导公式即可求解【解答】解:对于A:cosCcos(AB)cos(A+B),A不对;对于B:tanCtan(AB)tan(A+B),B不对;对于C:sin()sin()cos,C不对;对于D:cos()cos()sin,D对;故选:D【点评】本题考查三角函数的化简和证明,要利用A+B+C,结合诱导公式运用,考查运算能力,属

11、于基础题9(3分)函数f(x)xlnx的增区间为()A(,1)B(0,1)C(1,+)D(0,+)【分析】先求出函数的导数,由导数值大于0,解得x1,从而求出单调增区间【解答】解:函数f(x)xlnx,f(x)1,由10,解得:x1,函数f(x)xlnx的增区间为(1,+),故选:C【点评】本题考察了函数的单调性,导数的应用,是一道基础题10(3分)若双曲线y21(a0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为()AyxBy3xCyxDyx【分析】求出双曲线的c,由离心率公式,解方程求得a,再由双曲线的渐近线方程即可得到【解答】解:双曲线y21(a0)的c,则离心率e2,解得,a则双曲线的渐近线

12、方程为yx,即为yx故选:D【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法和离心率公式的运用,考查运算能力,属于基础题11(3分)已知a0,b0,a+b2,则y+的最小值是()ABC5D4【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出【解答】解:a0,b0,a+b2,y+(+)(a+b)(1+4+)(5+2),当且仅当b2a时等号成立,故选:A【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质,属于基础题12(3分)已知等比数列an的各项均为正数,公比q1,设P(),Q,则P与Q的大小关系是()APQBPQCPQDPQ【分析】利用对数运算法则以及等比数列的性质化简P,然后利用基本不等式比较大

13、小即可【解答】解:等比数列an的各项均为正数,公比q1,P(),QPQ故选:D【点评】本题考查数列与函数相结合,基本不等式以及对数运算法则的应用,考查分析问题解决问题的能力二、填空题:(本大题4小题每小题5分,共20分)13(5分)曲线y2xx3在点(1,1)处的切线方程为x+y20【分析】根据导数的几何意义求出函数在x1处的导数,从而得到切线的斜率,再利用点斜式方程写出切线方程即可【解答】解:y23x2y|x11而切点的坐标为(1,1)曲线y2xx3在x1的处的切线方程为x+y20故答案为:x+y20【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查运算求解能力,属于基础题14(5分

14、)在ABC中,已知AB7,BC5,AC6,则30【分析】根据所给的三角形的三边长度,做出三角形的内角A的余弦,做出向量的数量积【解答】解:三边长AB7,BC5,AC6cosA,7630故答案为:30;【点评】本题考查平面向量的数量积的运算,余弦定理的应用,本题解题的关键是看清两个向量的夹角15(5分)已知变量x,y满足约束条件,则zx+2y的最大值为5【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可得到结论【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由zx+2y得yx+z,平移直线yx+z由图象可知当直线yx+z经过点A时,直线yx+z的截距最大,此时z最大,由,解得A(3,1),此

15、时z3+25,故答案为:5【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键16(5分)已知抛物线y24x的焦点为F,准线为直线l,过抛物线上一点P作PEl于E,若直线EF的倾斜角为150,则|PF|【分析】由抛物线y24x方程,可得焦点F(1,0),准线l的方程为:x1由直线EF的倾斜角为150,可得kl进而得到直线EF的方程为:,与抛物线方程联立,可得解得yE由于PEl于E,可得yPyE,代入抛物线的方程可解得xP再利用|PF|PE|xP+1即可得出【解答】解:由抛物线y24x方程,可得焦点F(1,0),准线l的方程为:x1直线EF的倾斜角为150,kltan150直线EF的

16、方程为:y(x1),联立,解得yEPEl于E,yP,代入抛物线的方程可得,解得xP|PF|PE|xP+1故答案为:【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立,属于中档题三解答题:(本大题4小题共44分,要求写出必要的推理过程)17(10分)已知an是公差不为零的等差数列,a11,且a1,a3,a9成等比数列(1)求数列an的通项;(2)求数列的前n项和Sn【分析】(1)利用等差数列以及等比数列的关系求出公差d,然后求解通项公式(2)化简通项公式,利用等比数列求和公式求解即可【解答】本题(满分12分)解:(1)由题设知公差d0,由a11,a1,a3,a9成

17、等比数列得,解得d1,d0(舍去),故an的通项an1+(n1)1n(6分)(2)由()知2n,由等比数列前n项和公式得(12分)【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和,公差计算能力18(10分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosCc2b()求角A的大小;()若c,角B的平分线BD,求ABC 的面积【分析】()由已知等式及余弦定理化简可求cosA的值,结合范围0A,由特殊角的三角函数值即可得解A的值()在ABD中,由正弦定理得,由,可求,进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】(本题满分为12分)解:()因为:2acosCc2b,所以:2ac2b(2

18、分)即:,所以:,(4分)因为:0A,所以:(6分)()在ABD中,由正弦定理得:,所以:,(8分)即:,(9分)因为:,所以:,即:(10分)所以:,所以:ABC 的面积(12分)【点评】本题主要考查了余弦定理,特殊角的三角函数值,正弦定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题19(12分)已知函数f(x)x3+ax+4(aR)在x2处有极值()求a的值;()求f(x)在0,3上的最大值和最小值;【分析】()f(x)x2+a,f(2)4+a0,解得a经过验证即可得出()f(x)x34x+4,f(x)x24(x+2)(x2),令f(x)0得x2或x2列出表格即

19、可得出单调性极值与最值【解答】解:()f(x)x2+a,f(2)4+a0,解得a4经过验证满足条件()f(x)x34x+4,f(x)x24(x+2)(x2),令f(x)0得x2或x2当x变化时如下表:x0(0,2)2(2,3)3f(x)10+f(x)4单调递减极小值单调递增1因此,当x2时,f(x)有极小值,并且极小值为f(2)又由于f(0)4,f(3)1因此函数f(x)在0,3上最大值为4,最小值为【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题20(12分)已知椭圆C的中心在原点,离心率为,右焦点到直线的距离为2(1)求椭圆C的

20、标准方程;(2)椭圆C的下顶点为A,直线ykx+m(k0)与椭圆C相交于不同的两点M,N,当|AM|AN|时,求m的取值范围【分析】(1)设椭圆的右焦点为(c,0),通过右焦点到直线的距离为2,列出方程求解c,通过离心率求解a,然后求解b,即可求出椭圆方程(2)求出椭圆C的下顶点A(0,1),设M(xM,ym),N(xN,yN),弦MN的中点为P(xP,yP),由消去y,并整理利用0,得到m23k2+1,通过APMN,推出2m3k2+1,然后求解m的取值范围【解答】(1)解:设椭圆的右焦点为(c,0),右焦点到直线的距离为2,解得,即,有,所求椭圆E的标准方程为(2)解:由(1)椭圆C的方程知,其下顶点为A(0,1),设M(xM,ym),N(xN,yN),弦MN的中点为P(xP,yP),由消去y,并整理得,(3k2+1)x2+6mkx+3(m21)0直线与椭圆有两个不同的交点,0,即(6km)24(3k2+1)3(m21)0化简得,m23k2+1,又|AM|AN|,P是MN的中点,APMN,化简得,2m3k2+1,把代入得,2mm2解得0m2,又由得,解得,所以m的取值范围为【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,范围问题的求解方法,不等式以及等式关系的建立是解题的难点,同时本题考查椭圆方程的求法,考查分析问题解决问题的能力