1、2017-2018学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1（5分）设0ab1，cR，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BCab1Dbcac2（5分）命题“若a2，则a1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A1B2C3D43（5分）在等比数列an中，若a12，a416，则an的前5项和S5等于（）A30B31C62D644（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，则下列向量与相等的是（）A+B+C+D+5（5分）如果aR，且a2
2、+a0，那么a，a2，a的大小关系为（）Aa2aaBaa2aCaaa2Da2aa6（5分）“a1”是“lna0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件7（5分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da28（5分）已知x3，则函数的最小值为（）A1B4C7D59（5分）已知ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120，则这个三角形的周长为（）A15B18C21D2410（5分）方程x22ax+10的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围为（）A1aBa1或a1C1a1Da111（5分）设双曲线1（a0，b0）
3、的渐近线与圆x2+（y2）23相切，则双曲线的离心率为（）ABCD212（5分）九章算术是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等”，则其中分得钱数最多的是（）A钱B1钱C钱D钱二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知向量，若，则x+y 14（5分）已知M是抛物线C：y22px（p0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则MKF &nb
4、sp; 15（5分）若x、y满足约束条件，则zx+2y的最大值为 16（5分）如图，一个底面半径为2的圆柱被一个与其底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的半焦距c 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知动圆在运动过程中，其圆心M到点（0，1）与到直线y1的距离始终保持相等（1）求圆心M的轨迹方程；（2）若直线与点M的轨迹交于A、B两点，且|AB|8，求k的值18（12分）已知an是等比数列，a12，且a1，a3+1，a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若bnlog2an，求数列bn的
5、前n项和Sn19（12分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程表示的曲线是双曲线（1）若“pq”为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假命题、且“pq”为真命题，求实数m的取值范围20（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（）求角A；（）若，求ABC的面积S21（12分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），左、右顶点分别为A、B，经过点F且斜率为k的直线l与椭圆M交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点（1）求椭圆M的方程；（2）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|关于k的表达式，并求出当k为何值时|S1S2|有最大值22（12
6、分）在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC4，EF3，ADAEBE2，G是BC的中点（1）求证：BDEG；（2）求二面角GDEF的平面角的余弦值2017-2018学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1（5分）设0ab1，cR，则下列不等式成立的是（）Aa2b2BCab1Dbcac【分析】由二次函数的单调性可判断A；由反比例函数的单调性可判断B；由指数函数的单调性可判断C；由不等式的性质可判断D【解答】解：0ab1，可得a2b2
7、，故A错；由y在x0递减，可得，故B错；由yax（0a1）在R上递减，可得aba01，故C错；由ba可得bcac，故D对故选：D【点评】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性的运用：比较大小，考查推理能力，属于基础题2（5分）命题“若a2，则a1”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（）A1B2C3D4【分析】根据四种命题真假之间的关系进行判断即可【解答】解：若a2，则a1，成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题为：若a1，则a2，为假命题，当a1.5时，满足a1，但a2不成立，则否命题为假命题，故真命题的个数为2个，故选：B【点评】本题主要考查四种命题
8、真假关系的判断，根据逆否命题的等价性只需要判断两个命题即可，3（5分）在等比数列an中，若a12，a416，则an的前5项和S5等于（）A30B31C62D64【分析】设公比为q，运用等比数列的通项公式可得q，再由等比数列的求和公式计算即可得到所求值【解答】解：等比数列an中，a12，a416，设公比为q，q38，解得q2，则此数列的前5项的和S562故选：C【点评】本题考查等比数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的通项公式的灵活运用4（5分）在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，则下列向量与相等的是（）A+B+C+D+【分析】根据向量加法的平行四边形法
9、则即可得出，而，带入即可得到，进行向量的数乘运算即可【解答】解：故选：B【点评】考查向量加法的平行四边形法则，以及相等向量和相反向量的概念，向量的数乘运算5（5分）如果aR，且a2+a0，那么a，a2，a的大小关系为（）Aa2aaBaa2aCaaa2Da2aa【分析】由已知中a2+a0，解不等式可能求出参数a的范围，进而根据实数的性质确定出a，a2，a，的大小关系【解答】解：因为a2+a0，即a（a+1）0，所以1a0，因此aa20，有aa2a故选：B【点评】本题考查的知识点是不等式比较大小，其中解不等式求出参数a的范围是解答的关键6（5分）“a1”是“lna0”的（）A充分不必要条件B必要不
10、充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件【分析】当a0时，满足a1，但此时lna0不成立若 lna0，由对数函数得性质得0a1，满足a1【解答】解：a1推不出“lna0”，比如 当a0时若 lna0，由对数函数得性质得0a1，满足a1故选：B【点评】本题利用对数的知识考查充要条件的知识属于基础题7（5分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2Ca2Da2【分析】根据不等式的性质进行转化求解即可【解答】解：由得，即，若不等式组有解，则a2，即a2，故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，结合一元一次不等式的性质是解决本题的关键8（5分）已知x3，则函数的最小值为（）A1B
11、4C7D5【分析】由题意可得x30，函数y（x3）+3，由基本不等式即可得到所求最小值【解答】解：x3，可得x30，则y（x3）+32+37，当且仅当x5时，上式取得等号，则函数y的最小值为7故选：C【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用变形和基本不等式，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题9（5分）已知ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角为120，则这个三角形的周长为（）A15B18C21D24【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且abc0，设公差为d2，推出abbc2，ac+4，bc+2，利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长【解答】解：不妨设三角形的三
12、边分别为a、b、c，且abc0，设公差为d2，三个角分别为、A、B、C，则abbc2，ac+4，bc+2，A120cosAc3，bc+25，ac+47这个三角形的周长3+5+715故选：A【点评】本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想注意余弦定理的合理运用，是中档题10（5分）方程x22ax+10的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围为（）A1aBa1或a1C1a1Da1【分析】由已知中关于x的方程x22ax+10的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则函数f（x）x22ax+1在（0，1）与（1，2）内各有一个零点，由
13、此构造关于a的不等式，解不等式组即可得到实数a的取值范围【解答】解：若关于x的方程x22ax+10的两根分别在（0，1）与（1，2）内，则函数f（x）x22ax+1在（0，1）与（1，2）内各有一个零点则f（0）0，f（1）0，f（2）0即10，22a0，54a0解得1a故选：A【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，二次函数的性质，其中根据方程的根与零点零点的关系，将问题转化为确定函数的零点问题，是解答本题的关键11（5分）设双曲线1（a0，b0）的渐近线与圆x2+（y2）23相切，则双曲线的离心率为（）ABCD2【分析】写出双曲线渐近线方程，求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式
14、列式求得双曲线的离心率【解答】解：双曲线1（a0，b0）的一条渐近线方程为y，即bxay0圆x2+（y2）23的圆心坐标为（0，2），半径为由题意可得，即，双曲线的离心率e故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线的距离公式的应用，是中档题12（5分）九章算术是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等”，则其中分得钱数最多的是（）A钱B1钱C钱D钱【分析】依题意设5人所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，由题意求
15、得a6d，结合a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5求得a1，则答案可求【解答】解：依题意设5人所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a2d+ada+a+d+a+2d，即a6d，又a2d+ad+a+a+d+a+2d5a5，a1，则a2da2（）a故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知向量，若，则x+y7【分析】利用向量平行的性质直接求解【解答】解：向量，解得x1，y6，x+y7故答案为：7【点评】本题考查代数式求和，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力
16、，是基础题14（5分）已知M是抛物线C：y22px（p0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则MKF45【分析】设点M（，p），K（，0），则直线KM的斜率k1，即可求得MKF45【解答】解：由题意，|MF|p，则设点M（，p），K（，0），kKM1，MKF45，故答案为：45【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，直线的斜率公式，属于基础题15（5分）若x、y满足约束条件，则zx+2y的最大值为6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图：化目标函数
17、zx+2y为，y+由图可知，当直线y+过点A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6故答案为：6【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题16（5分）如图，一个底面半径为2的圆柱被一个与其底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的半焦距c【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长轴为：8，a2b2+c2，c2，该椭圆的半焦为：2；故答案为：【点评】本题考查椭圆焦距的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力
18、三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知动圆在运动过程中，其圆心M到点（0，1）与到直线y1的距离始终保持相等（1）求圆心M的轨迹方程；（2）若直线与点M的轨迹交于A、B两点，且|AB|8，求k的值【分析】（1）通过圆心M到点（0，1）与到直线y1的距离始终保持相等，判断圆心M的轨迹为抛物线，利用抛物线的定义求解即可（2）联立消去y并整理，得x24kx+80，设A（x1，y1）、B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可【解答】解：（1）圆心M到点（0，1）与到直线y1的距离始终保持相等，圆心M的轨迹为抛物线，且，解得p2，圆心
19、M的轨迹方程为x24y；（2）联立消去y并整理，得x24kx+80，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x24k，x1x28，解得，结合已知得【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力18（12分）已知an是等比数列，a12，且a1，a3+1，a4成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn【分析】（）设数列an的公比为q0，由a1，a3+1，a4成等差数列2（a3+1）a1+a4可得：2（2q2+1）2+2q3，解得q即可得出（）bnn，利用等差数列的求和公式即可得出【解答】解：（）设数列an的公比为q0，a1
20、，a3+1，a4成等差数列2（a3+1）a1+a42（2q2+1）2+2q3，整理为q2（q2）0，q0解得q2an2n（）bnlog2ann，Sn1+2+n【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（12分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程表示的曲线是双曲线（1）若“pq”为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假命题、且“pq”为真命题，求实数m的取值范围【分析】（1）求出连接命题是真命题时，m的范围，然后“pq”为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“pq”为假命题、且“pq”为真命题，利用
21、两个命题一真一假，转化求实数m的取值范围【解答】解：（1）若p为真，则方程表示焦点在y轴上的椭圆，即m3；若q为真，则方程表示的曲线是双曲线，即（m+2）（m4）0，解得m2或m4；若“pq”为真命题，则p、q均为真命题，综合得m4，故当“pq”为真命题时，实数m的取值范围为（4，+）；（2）若“pq”为假命题、且“pq”为真命题，则p、q一真一假，若p真q假，则，解得3m4；若p假q真，则，解得m2，综上，当“pq”为假、且“pq”为真时，实数m的取值范围为（，2）（3，4【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，是基本知识的考查20（12分）在ABC中，角A，B，C的对
22、边分别是a，b，c，若（）求角A；（）若，求ABC的面积S【分析】（）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求cosA，结合A的范围可求A的值（）由已知及余弦定理可求b+c的值，进而可求ab的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（）在ABC中，由正弦定理可得：，又sinBsin（A+C），即，又sinC0，又A为内角，A60；（）由余弦定理得：a2b2+c22bccosAb2+c2bc（b+c）23bc，又，（b+c）24（b+c）12，b+c6，可得：bc8，【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在
23、解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题21（12分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），左、右顶点分别为A、B，经过点F且斜率为k的直线l与椭圆M交于C（x1，y1），D（x2，y2）两点（1）求椭圆M的方程；（2）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|关于k的表达式，并求出当k为何值时|S1S2|有最大值【分析】（1）利用已知条件求出c，b，然后求解a，得到椭圆方程（2）设出直线方程，利用直线与椭圆联立，利用韦达定理弦长公式表示三角形的面积，通过基本不等式求解最值即可【解答】解：（1）F（1，0）为椭圆M的焦点，c1，又，a2，椭圆M的方程为；（2）依题意，知k0，设直线
24、方程为yk（x+1），和椭圆方程联立消掉y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2120，计算知0，方程有两实根，且，此时，将上式变形，得，当且仅当，即时等号成立，当时，|S1S2|有最大值【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的求法，考查转化思想以及计算能力22（12分）在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC4，EF3，ADAEBE2，G是BC的中点（1）求证：BDEG；（2）求二面角GDEF的平面角的余弦值【分析】（1）根据题目条件先证明EB、EA、EF两两相互垂直，然后以E为原点，以EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间
25、直角坐标系，运用向量数量积等于0，从而证明BDEG；（2）在（1）的基础上，求出二面角的两个半平面的法向量，利用法向量求二面角的平面角的余弦值【解答】解：（1）证EF平面ABE，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE，又AEEB，FE，BE，AE两两垂直以点E为坐标原点，FE，BE，AE分别为X，Y，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0），BDEG（2）由已知得是平面DEF的法向量设平面DEG的法向量为，即，令x1，得设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为，则cos平面EDG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为【点评】本题考查了，直线与平面垂直的性质，考查了运用平面法向量求二面角的三角函数值，解答此题的关键是正确建立空间直角坐标系，是中档题