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2017-2018学年陕西省安康市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2017-2018学年陕西省安康市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知a1,集合,Bx|x23x+20,则下列集合为空集的是()AABBR(AB)C(RA)BDA(RB)2(5分)设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是()A若l,m,则lmB若l,m,则lmC若l,lm,则mD若lm,m,则l3(5分)若x,y满足约束条件,则z4x+8y的最大值为()A16B20C24D284(5分)已知命题p1:xR,2x2x0;p2:xR,2x+2x2,则在命题q1:p1p2,

2、q2:(p1)(p2),q3:(p1)p2和q4:p1(p2)中,真命题是()Aq1,q3Bq2,q4Cq1,q4Dq2,q35(5分)过点F(0,3),且与直线y3相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ax212yBx212yCy212xDy212x6(5分)设,c满足不等式,则()AabcBacbCbacDcab7(5分)已知Sn是等差数列an的前n项和,a24,S420,若a1,ak,Sk+2成等比数列,则正整数k()A3B4C5D68(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为()A4B6C12D249(5分)执行如图所示程序框图,若输入的n16,则输出的S()ABC2D10

3、(5分)已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P是双曲线右支上一点,且PF2F160,则PF1F2的面积为()ABCD11(5分)在l和l7之间插入n个数,使这n+2个数成等差数列,若这n个数中第一个为a,第n个为b,当取最小值时,n()A4B5C6D712(5分)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,直线l过点F交抛物线于A,B两点,若|FA|3,|FB|1,则p()A1BCD3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分.13(5分)已知非零向量满足,则与的夹角为   14(5分)已知ABC的内角A,B,C满足,则角C   15(5分)已知P是椭圆上异于点A(a

4、,0),B(a,0)的一点,E的离心率为,则直线AP与BP的斜率之积为   16(5分)已知数列an的前n项和为Sn,则S2018的值为   三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)已知双曲线的离心率为,抛物线D:y22px(p0)的焦点为F,准线为l,l交C的两条渐近线于M,N两点,MFN的面积为12(1)求双曲线C的渐近线方程;(2)求抛物线D的方程18(12分)某高校自主招生一次面试成绩的茎叶图如图1和频率分布直方图如图2均受到了不同程度的损坏,其可见部分信息如下,据此解答下列问题:(1)求参加此次高校自主招生面试

5、的总人数n,面试成绩的中位数及分数在80,90)内的人数;(2)若从面试成绩在80,100)内的学生中任选两人进行随机复查,求恰好有一人分数在90,100)内的概率19(12分)如图,三棱锥ABCD中,AB平面BCD,BCCD,BC2,E是AC的中点(1)若F是AD的中点,证明:平面BEF平面ABC;(2)若AF2FD,求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的大小20(12分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,且(1)若,求sinC的值;(2)若a2,求ABC面积的最大值21(12分)已知数列bn与等差数列an满足:,且a12,b364b2(1)求数列an、bn的通项公式;(2)设

6、,nN*,求数列cn的前n项和Tn22(12分)已知椭圆的离心率为,点在C上(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B,P三点均在椭圆C上,O为坐标原点,证明:四边形OAPB的面积为定值2017-2018学年陕西省安康市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1(5分)已知a1,集合,Bx|x23x+20,则下列集合为空集的是()AABBR(AB)C(RA)BDA(RB)【分析】化简集合A、B,再根据集合的定义判断即可【解答】解:a1时,a+(a1)+12+13,当且仅当a2时取“”;集合

7、x|0x3,Bx|x23x+20x|x1或x2,ABR,R(AB)故选:B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题2(5分)设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是()A若l,m,则lmB若l,m,则lmC若l,lm,则mD若lm,m,则l【分析】分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可【解答】解:A根据线面平行的性质可知,若l,m,则lm或者l与m是异面直线,所以A错误B平行于同一个平面的两条直线,可能平行,可能相交,可能是异面直线,所以B错误C根据线面垂直和直线平行的性质可知,若l,lm,则m,所以C正确D根据线面垂直的判定定理可知,要使直线l,则必须有l

8、垂直平面内的两条直线,所以D错误故选:C【点评】本题主要考查线面平行和线面垂直的位置关系的判断和应用,要求熟练掌握相应的定义和判断定理3(5分)若x,y满足约束条件,则z4x+8y的最大值为()A16B20C24D28【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,A(2,2),化目标函数z4x+8y为yx+,由图可知,当直线yx+过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为42+2824故选:C【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题4(5

9、分)已知命题p1:xR,2x2x0;p2:xR,2x+2x2,则在命题q1:p1p2,q2:(p1)(p2),q3:(p1)p2和q4:p1(p2)中,真命题是()Aq1,q3Bq2,q4Cq1,q4Dq2,q3【分析】利用函数判断命题的真假;用真值表判断复合命题的真假【解答】解:根据题意得,p1:真;p2:假q1:假;q2:真;q3:假;q4:真故选:B【点评】本题考查简单命题的真假判断;真值表的用法;函数的零点和单调性5(5分)过点F(0,3),且与直线y3相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ax212yBx212yCy212xDy212x【分析】由已知条件可知:动圆圆心符合抛物线的定义,进而可

10、求出【解答】解:由已知条件:过点F(0,3),且和直线y3相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y3为准线的抛物线,故其方程为x212y故选:B【点评】本题考查轨迹方程的求法,掌握抛物线的定义与性质是解题的关键6(5分)设,c满足不等式,则()AabcBacbCbacDcab【分析】分别利用有理指数幂与对数的运算性质半径a,b,与1的大小,再求解对数不等式得到c的范围得答案【解答】解:,1由,得log2c2,即0cabc故选:A【点评】本题考查对数值的大小比较,考查对数的运算性质,是基础题7(5分)已知Sn是等差数列an的前n项和,a24,S420,若a1,ak,Sk+2成等比数列,

11、则正整数k()A3B4C5D6【分析】设等差数列的公差为d,运用等差数列通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,再由等比数列中项性质,解方程可得k的值【解答】解:设等差数列an的公差为d,a24,S420,可得a1+d4,4a1+6d20,解得a1d2,则an2+2(n1)2n,a1,ak,Sk+2成等比数列,可得a1Sk+2ak2,即2(k+2)(2+2k+4)4k2,解得k6,故选:D【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查等比数列中项性质,以及方程思想和运算能力,属于基础题8(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为()A4B6C12D24【分析】由

12、三视图还原原几何体,可知原几何体为四棱锥,侧棱PA底面ABCD,底面ABCD为正方形,PA2,ABAD1,然后利用补形法求其外接球的半径,代入表面积公式得答案【解答】解:由三视图还原原几何体如图:该几何体为四棱锥,侧棱PA底面ABCD,底面ABCD为正方形,PA2,ABAD1把该四棱锥补形为长方体,则长方体的对角线长为该四棱锥外接球的半径为,外接球的表面积为故选:B【点评】本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题9(5分)执行如图所示程序框图,若输入的n16,则输出的S()ABC2D【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程

13、序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,其中,S+,由于:(),所以:S+()+()+()(71)2故选:C【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题10(5分)已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P是双曲线右支上一点,且PF2F160,则PF1F2的面积为()ABCD【分析】由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60,由双曲线定义得:|PF1|PF2|2,由此推导出|PF1|PF2|60,从而能求出P

14、F1F2的面积【解答】解:F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,F1(4,0),F2(4,0),P是双曲线右支上一点,且PF2F160,|F1F2|2|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60,64|PF1|2+|PF2|2|PF1|PF2|,由双曲线定义得:|PF1|PF2|2,|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|4,联立,得:|PF1|PF2|60,PF1F2的面积:S|PF1|PF2|sin6015故选:B【点评】本题考查三有形面积的求法,考查双曲线的性质、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题11(5分)在l和l7之间插入n个数,使这n

15、+2个数成等差数列,若这n个数中第一个为a,第n个为b,当取最小值时,n()A4B5C6D7【分析】利用等差数列的性质可得a+b18,再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解:由已知得a+b18,则+(+)(25+1+)(26+10)2,当且仅当b5a时取等号,此时a3,b15,可得n7故选:D【点评】本题考查了等差数列的性质、“乘1法”与基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题12(5分)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,直线l过点F交抛物线于A,B两点,若|FA|3,|FB|1,则p()A1BCD3【分析】求出焦点坐标,设出直线方程,利用直线与抛物线方程联立,利用弦长

16、公式,转化求解即可【解答】解:由题意可知抛物线的焦点坐标(,0),如图:AM,BN,垂直抛物线的准线,BHAM于M,|FA|3,|FB|1,可得AH2,所以BH2,k,直线l方程为:y(x),代入抛物线方程可得:3x25px+0,x1+x2,|FA|3,|FB|1,可得|AB|4x1+x2+p+p,解得p故选:C【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分.13(5分)已知非零向量满足,则与的夹角为120【分析】设与的夹角为,(0,180),由题意根据两个向量数量积的定义,求向量的模的方法,求得cos的值,可得的值【解答】解:设与的夹

17、角为,(0,180),非零向量满足,即 2cos+3,求得cos,120,故答案为:120【点评】本题主要考查两个向量数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题14(5分)已知ABC的内角A,B,C满足,则角C135【分析】由正弦定理及已知可得:c2b2ab,ba,解得:ca,由余弦定理可求cosC,结合范围C(0,180),可求C的值【解答】解:,由正弦定理可得:c2b2ab,ba,解得:ca,由余弦定理可得:cosC,C(0,180),C135故答案为:135【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题15(5分)已知P是椭圆上异于点A(

18、a,0),B(a,0)的一点,E的离心率为,则直线AP与BP的斜率之积为【分析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式,建立等式,考查双曲线的方程,即可确定a,b的关系,从而通过双曲线的离心率,求解即可【解答】解:设P(x,y),点A(a,0),B(a,0),椭圆,y2椭圆的离心率为,则,所以,点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为:,故答案为:【点评】本题考查斜率的计算,考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于中档题16(5分)已知数列an的前n项和为Sn,则S2018的值为2018【分析】由已知可得:当n2时,an+an1,进而利用分组求和法,可得答案【解答】解:数列an的

19、前n项和为Sn,当n1时,a11,当n2时,得:an+an1,故S201822018,故答案为:2018【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式,分组求和法,难度不大,属于中档题三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)已知双曲线的离心率为,抛物线D:y22px(p0)的焦点为F,准线为l,l交C的两条渐近线于M,N两点,MFN的面积为12(1)求双曲线C的渐近线方程;(2)求抛物线D的方程【分析】(1)利用双曲线的标准方程,然后求解渐近线方程即可(2)利用渐近线方程求出M、N坐标,通过三角形的面积转化求解抛物线方程即可【解答】解:(1),即

20、,C的渐近线方程为y3x(2)由已知得,代入渐近线方程得,|MN|3p,解得,D的方程为【点评】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用,抛物线方程的求法,考查计算能力18(12分)某高校自主招生一次面试成绩的茎叶图如图1和频率分布直方图如图2均受到了不同程度的损坏,其可见部分信息如下,据此解答下列问题:(1)求参加此次高校自主招生面试的总人数n,面试成绩的中位数及分数在80,90)内的人数;(2)若从面试成绩在80,100)内的学生中任选两人进行随机复查,求恰好有一人分数在90,100)内的概率【分析】(1)面试成绩在50,60)内的频数为2,由此能求出n20由茎叶图能求出面试成绩

21、的中位数由频率分布直方图可以看出,分数在90,100)内有2人,由此能求出分数在80,90)内的人数(2)将80,90)内的4人编号为a,b,c,d,90,100)内的2人编号为A,B,在80,100)内任取两人,利用列举法能法语出恰好有一人分数在90,100)内的概率【解答】解:(1)面试成绩在50,60)内的频数为2,由,得n20由茎叶图可知面试成绩的中位数为由频率分布直方图可以看出,分数在90,100)内有2人,故分数在80,90)内的人数为20(2+5+7+2)4(2)将80,90)内的4人编号为a,b,c,d,90,100)内的2人编号为A,B,在80,100)内任取两人的基本事件为

22、:ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB,共15个,其中恰好有一人分数在90,100)内的基本事件为:aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,共8个,恰好有一人分数在90,100)内的概率为【点评】本题考查频率分布直方图的应用,考查总体单元数、中位数、概率的求法,考查频率分布直方图、茎叶图的性质、列举法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题19(12分)如图,三棱锥ABCD中,AB平面BCD,BCCD,BC2,E是AC的中点(1)若F是AD的中点,证明:平面BEF平面ABC;(2)若AF2FD,求平面BEF与平面BCD

23、所成锐二面角的大小【分析】(1)证明ABCD,结合BCCD,求出CD平面ABC通过EFCD,证明EF平面ABC然后推出平面BEF平面ABC(2)建立如图所示空间直角坐标系Cxyz,求出平面BEF的一个法向量,平面BCD的一个法向量,利用空间向量的数量积求解,平面BEF与平面BCD所成的锐二面角即可【解答】(1)证明:AB平面BCD,ABCD,又BCCD,BCABB,CD平面ABCE、F分别是AC、AD的中点,EFCD,EF平面ABC又EF平面BEF,平面BEF平面ABC(2)解:建立如图所示空间直角坐标系Cxyz,则B(2,0,0),设平面BEF的一个法向量为,则,取平面BCD的一个法向量,平

24、面BEF与平面BCD所成的锐二面角为45【点评】本题考查直线与平面以及平面与平面垂直的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及计算能力20(12分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,且(1)若,求sinC的值;(2)若a2,求ABC面积的最大值【分析】(1)根据题意,将变形可得2sin2A+5sinA30,解可得sinA的值,进而可得cosA、sinB的值,由正弦的和角公式分析可得答案;(2)根据题意,由余弦定理分析可得a24b2+c22bccosA,结合基本不等式分析可得答案【解答】解:(1)根据题意,若,则有2cos2A5sinA1,即2sin2A+5sin

25、A30,解可得,显然cosA0,(2)由余弦定理得a24b2+c22bccosA,当且仅当时取等号,ABC面积的最大值为【点评】本题考查解三角形,涉及余弦定理以及和差公式的应用,属于综合题21(12分)已知数列bn与等差数列an满足:,且a12,b364b2(1)求数列an、bn的通项公式;(2)设,nN*,求数列cn的前n项和Tn【分析】(1)利用数列的递推关系式,转化求解数列的公差,然后利用等差数列求和即可(2)利用错位相减法求解数列的和,求解即可【解答】解:(1)由已知得a1+a2+a3log2b3,a1+a2log2b2,设an的公差为d,则a3a1+2d2+2d6,d2,an2+(n

26、1)22na1+a2+a3+anlog2bn,(2),两式相减得,【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列的求和,考查计算能力22(12分)已知椭圆的离心率为,点在C上(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B,P三点均在椭圆C上,O为坐标原点,证明:四边形OAPB的面积为定值【分析】(1)利用离心率以及点在C上,求出a,b,即可求椭圆C的方程;(2)当ABx轴时,AB方程为x1,此时SOAPB3当AB与x轴不垂直时,设AB:ykx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)将AB代入C方程整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2120,利用韦达定理以及距离公式,通过三角形的面积,推出四边形OAPB的面积为定值【解答】解:(1)由已知可得,a2b2+c2,联立解得c1,a2,椭圆C的方程为(2)证明:当ABx轴时,AB方程为x1,此时SOAPB3当AB与x轴不垂直时,设AB:ykx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)将AB代入C方程整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2120,(x1+x2,y1+y2),将代入C方程整理得4m23+4k2,原点O到直线AB的距离,SOAPBd|AB|3四边形OAPB的面积为定值3【点评】本题考查椭圆的简单性质与题意方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力