1、不得关系与基本不等式编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1在复习不等式性质的基础上，介绍了含有绝对值的不等式及其解法，平均值不等式及简单应用、证明不等式的一些基本方法，以及不等式在实际生活中的应用2特别强调了不等式及证明的几何意义和背景，以加深学生对不等式的数学本质的理解、提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力【要点梳理】要点一：不等式的性质性质1 对称性：；性质2 传递性：；性质3 加法法则（同向不等式可加性）：； 推论：性质4 乘法法则：若，则 推论1: ；推论2：；推理3：；推理4：要点二：含有绝对值的不等式绝对值的几何意义设是一个实数，在数轴上|表示实数对应的点与原点的距离；|-
2、|表示实数对应的点与实数对应的点之间的距离关于绝对值的几个结论定理对任意实数和，有推论 1；23 要点诠释：（1）关于定理，可以把、看作是三角形三边，很象三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“绝对值的三角形不等式”（2）绝对值不等式|或|c|c|，从左到右是一个不等式放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接使用，也可通过适当的添、拆项证明不等式，还可利用它消去变量求最值绝对值不等式的解法含绝对值的不等式|的解集不等式0=00|的解集-的解集或-R和型不等式的解法1 先去绝对值符号，
3、化为不等式组：；2解关于的不等式不等式的解法1将不等式两边平方，去绝对值：；2解不等式：含有两个绝对值符号的不等式解法一般有三种解法，分别是“零点划分法”、“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集要点三：平均值不等式定理1
4、 对任意实数，有（当且仅时，取“=”号）定理2 对任意两个正数，有（当且仅时，取“=”号）定理3 对任意三个正数，有（当且仅时，取“=”号）定理4 对任意三个正数，有（当且仅时，取“=”号）推广 对于n个正数，有（当且仅当时取“=”号）其中，、 叫作这n个正数的算术平均值和几何平均值， 因此这个结论也可以阐述为n个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值要点四：不等式的证明不等式的性质和基本不等式是证明不等式的理论依据但是由于不等式的形式多样，因此不等式的证明方法也很多比较法有两种：1求差比较法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小；2求商比较法：任意两个值为正的代数式
5、、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小；要点诠释：（1）比较法通常是进行因式分解或进行配方，利用非负数的性质来进行判断（2）若代数式、均为负数，也可以用求商比较法综合法和分析法综合法和分析法是直接证明的两种常用的思维方法1综合法一般地，从命题的已知条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过演绎推理，一步步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这种思维方法叫做综合法2分析法一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方
6、法，叫做分析法要点诠释：综合法的基本思路：执因索果；分析法的基本思路：执果索因它们是思维方向互逆的两种推理方法放缩法通过缩小（或放大）分式的分母（或分子），或通过放大（或缩小）被减式（或减式）来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法要点诠释：放缩法的要求较高，要想用好它，必须有目标，目标可以从要证的结论中去寻找几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法反证法反证法是间接证明的一种基本方法一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此
7、说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法的基本思路：假设矛盾肯定要点五：不等式的应用不等式的应用十分广泛，不仅可以解决一些数学问题，而且也可以解决其他学科中以及生产生活中的一些问题。在应用时一般按以下步骤进行：先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大或最小值；写出正确答案【典型例题】类型一： 绝对值不等式例1解下列关于的不等式：（1）； （2）； （3）|4|2+5|1； （4）【思路点拨】去绝对值，转化为解一元一次（二次）不等式（组）的形式【
8、解析】（1）原不等式等价于，即 原不等式的解集为（2）解法一：原不等式等价于，两边平方得，解得，原不等式的解集为解法二：原不等式等价于，表示数轴上与-1对应的点的距离；表示数轴上与1对应的点的距离由于数轴上0与-1对应的点的距离和它到1对应的点的距离相等，所以若要使与-1对应的点的距离和它到1对应的点的距离相等，那么应满足：原不等式的解集为（3）原不等式可化为：当 或解不等式组得：4综上所述，原不等式的解集为|（4）当时，原不等式可化为：14三种情况举一反三：【变式1】集合中的最小整数为_【答案】-3【变式2】解下列关于的不等式：【答案】当时，得，无解 当，得 解得： 当时，得 解得： 综上所
9、述，原不等式的解集为【变式3】解下列关于的不等式：【答案】当时，即，因，故原不等式的解集是空集。当时，即，原不等式等价于，解得：综上，当时，原不等式解集为空集；当时，不等式解集为例2 设函数|1|(1)若1，解不等式；(2)如果R，求的取值范围【思路点拨】（1）解含有两个绝对值符号的不等式，可利用零点分段或函数图像法，又由于的系数相同，|1|+1|表示数轴上所对应的点，到1和-1对应点的距离之和，故利用绝对值的几何意义解不等式更加简便；（2）是含参数的恒成立问题，将问题转化为，不等式的零点和1大小不确定，需要分类讨论【解析】【总结升华】等价转化思想在数学中是一重要的数学思想方法之一，应用其思想
10、的关键是强调“等价”两字，转化的目的是使问题简单化举一反三：【变式1】若存在实数使|1|3成立，求实数的取值范围【解析】由绝对值不等式的几何意义可知，数轴上点到点与1点的距离的和小于等于3由图可得24【变式2】已知不等式的解集为，求的值【答案】表示数轴上任意一点对应的点到2与-3对应的点的距离之和，易知，所以，【变式3】已知函数f()|2|(1)当3时，求不等式f()3的解集；(2)若f()|4|的解集包含1,2，求的取值范围【思路点拨】本题第(1)问较简单，一般用零点划分法就可以转化，第(2)问容易犯直接求解f()|4|的解集的错误，应该是利用1,2是其解集而将绝对值先去掉再转化为1,2 2
11、,2这一问题，注意不要弄反【解析】(1)当3时，当2时，由f()3得253，解得1；当20，也就是证 ，由条件可知，显然成立 故例7 用比较法证明：.【思路点拨】本题用比较法给予证明【证明】证法一：求差比较法：解法二：求商比较法：【总结升华】比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（商）变形判断符号（比较与1的大小）下结论。举一反三：【变式1】设不等式|2x1|1的解集为M（1）求集合M；（2）若a，bM，试比较与的大小【答案】（1）由|2x1|1，得12x11， 解得0x1，所以Mx|0x1 （2）由(1)和a，bM可知0a1,0b1 所以(ab1)
12、(ab)(a1)(b1)0,故ab1ab 当m1时，ylogmX在(0，)上递增， 当0m1时logmX在(0，)上单调递减， 【变式2】设，试比较与的大小【解析】，.例8 用放缩法证明：【证明】【总结升华】在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如上面不等式中kN，k1时，举一反三：【变式】函数，用放缩法证明： 【证明】=1-得例9已知，用反证法证明：【思路点拨】首先假设结论的否命题成立，以此为条件推出一个错误的结论【解析】 【总结升华】结论中若有“都是”、“都不是”、“至多”、“至
13、少”等字眼，或直接从正面证明较为困难的问题，一般可以考虑使用反证法举一反三：【变式1】试证一元二次方程至多有两个不同的实根【证明】假设一元二次方程有两个以上的实数根，且各不相 等。令为方程的三个相异实根,则：这与各不相等矛盾。故原命题成立。【变式2】若为自然数，且,则中至少有一个为偶数。【证明】假定均为奇数，令，类型四：不等式的应用例10某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求的千克；（2）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品
14、所获得利润最大.【解析】（1）=5时，解得=2.（2）由（1）可知，该商品每日销售量，所以商场每日销售该商品所获得利润为：当且仅当，即=4时取“=”号.所以，当销售价格为4元/千克时，使商场每日销售该商品所获得利润最大，最大利润为42元.【总结升华】用平均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案举一反三：【变式1】设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(1)，画面的上下各留出8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？【解析】设画面的宽为 cm，面积为S cm2，则当且仅当，即取等号所以，当画面的宽为55 cm、高为88 cm时，宣传画所用纸张面积最小【变式2】用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形菜园长、宽个为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？【解析】设矩形菜园的长为 m，宽为y m，则y=100，篱笆的长为2（+y）m由可得，2（+y）40，当且仅当=y时等号成立，此时=y=10这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m