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高考总复习:知识讲解_圆的方程_提高

1、圆的方程编稿:丁会敏 审稿:王静伟【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径,解决一些简单的实际问题,并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点,能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法,由已知条件导出圆的方程【要点梳理】【高清课堂:圆的方程370891 知识要点】要点一:圆的标准方程,其中为圆心,为半径.要点诠释:(1)如果圆心在坐标原点,这时,圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化:如:圆心在x轴上:b=0;圆与y轴相切时:;圆与x轴相切时:;与坐标轴相切时

2、:;过原点:(2)圆的标准方程圆心为,半径为,它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知,确定一个圆的方程,只需要a、b、r这三个独立参数,因此,求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二:点和圆的位置关系如果圆的标准方程为,圆心为,半径为,则有(1)若点在圆上(2)若点在圆外(3)若点在圆内要点三:圆的一般方程当时,方程叫做圆的一般方程.为圆心,为半径.要点诠释:由方程得(1)当时,方程只有实数解.它表示一个点.(2)当时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形(3)当时,可以看出方程表示以为圆心,为半径的圆.要点四:几种特殊位置的圆的方程条件方程

3、形式标准方程一般方程圆心在原点过原点圆心在x轴上圆心在y轴上圆心在x轴上且过原点圆心在y轴上且过原点与x轴相切与y轴相切要点五:用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件,建立关于或的方程组.(3)解方程组,求出或的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.要点六:轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程1当动点满足的几何条件易于“坐标化”时,常采用直接法;当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如

4、圆)时,常采用定义法;当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时,可采用代入法(或称相关点法)2求轨迹方程时,一要区分“轨迹”与“轨迹方程”;二要注意检验,去掉不合题设条件的点或线等3求轨迹方程的步骤:(1)建立适当的直角坐标系,用表示轨迹(曲线)上任一点的坐标;(2)列出关于的方程;(3)把方程化为最简形式;(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点);(5)作答【典型例题】类型一:圆的标准方程例1求满足下列条件的各圆的方程:(1)圆心在原点,半径是3;(2)已知圆经过两点,圆心在轴上;(3)经过点,圆心在点【思路点拨】一般情况下,如果已知圆心或易于求出圆心,可用圆的标准方程来求解,用待定系数法

5、,求出圆心坐标和半径. 【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)(2)线段的中垂线方程为,与轴的交点即为圆心的坐标,所以半径为 ,所以圆的方程为.(3)解法一:圆的半径,圆心在点圆的方程是解法二:圆心在点,故设圆的方程为又点在圆上,所求圆的方程是.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为:(1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2;(2)根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组;(3)解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程举一反三:【变式1

6、】圆心是(4,1),且过点(5,2)的圆的标准方程是( )A(x4)2+(y+1)2=10 B(x+4)2+(y1)2=10C(x4)2+(y+1)2=100 D【答案】A例2求圆心在直线2xy3=0上,且过点(5,2)和(3,2)的圆的方程【答案】(x2)2+(y1)2=10【解析】 解法一:设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,由题意得,解方程组得a=2,b=1,所求圆的方程为(x2)2+(y1)2=10解法二:因点(5,2)和(3,2)在圆上,故圆心在这两点所连线段的垂直平分线上,可求得垂直平分线的方程为x+2y4=0又圆心在直线2xy3=0上,故圆心为两直线的交点由求得两直线交点为(2

7、,1),由两点间距离公式可求得半径为故所求圆的方程为(x2)2+(y1)2=10【总结升华】求圆的标准方程的关键是求圆的坐标和圆的半径,这就需要充分挖掘题目中所给的几何条件,并充分利用平面几何中的有关知识求解,如“若圆经过某两点,则圆心必在这两点连线的中垂线上”等举一反三:【高清课堂:圆的方程370891 典型例题1】【变式1】(1)过点且圆心在直线上;(2)与轴相切,圆心在直线上,且被直线截得的弦长为【答案】(1)(2)或【解析】(1)设圆的方程为:,则 ,解得:所求圆的方程为:(2)设圆的方程为:,则 解得:或所求圆的方程为:或类型二:圆的一般方程例3已知直线x2+y22(t+3)x+2(

8、14t2)y+16t4+9=0表示一个圆(1)求t的取值范围;(2)求这个圆的圆心和半径;(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程【思路点拨】若一个圆可用一般方程表示,则它具备隐含条件D2+E24F0,解题时,应充分利用这一隐含条件【答案】(1)(2)(t+3,4t21) (3) 【解析】(1)已知方程表示一个圆D2+E24F0,即4(t+3)2+4(14t2)24(16t4+9)0,整理得7t26t10(2)圆的方程化为x(t+3)2+y+(14t2)2=1+6t7t2它的圆心坐标为(t+3,4t21),半径为(3)由r的最大值为,此时圆的标准方程为【总结升华】 在本例中,当t在中任取一

9、个值,它对应着一个不同的圆,它实质上是一系列的圆,因此本例中的圆的方程实质上是一个圆系方程,由得y=4(x3)21,再由,知,因此它是一个圆心在抛物线的圆系方程举一反三:【高清课堂:圆的方程370891 典型例题2】【变式1】(1)求过的圆的方程,及圆心坐标和半径;(2)求经过点且与直线相切于点(8,6)的圆的方程【答案】(1) (4,1) (2)【解析】(1)法一:设圆的方程为:,则,解得:所以所求圆的方程为:,即,所以圆心为(4,1),半径为法二:线段的中点为为,线段的中垂线为,即同理得线段中垂线为联立,解得所以所求圆的方程为(4,1),半径所以(2)法一:设圆的方程为:,则,解得:所以圆

10、的方程为法二:过点与直线垂直的直线是,线段的中垂线为,由得:圆心坐标为,由两点间距离公式得半径,所以圆的方程为【变式2】判断方程ax2+ay24(a1)x+4y=0(a0)是否表示圆,若表示圆,写出圆心和半径长 【答案】表示圆,圆心坐标,半径【变式3】方程表示圆,则a的取值范围是 A或 B C D【答案】D【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0转化为,所以若方程表示圆,则有, , 例4(1)ABC的三个顶点分别为A(1,5),B(2,2),C(5,5),求其外接圆的方程;(2)圆C过点P(1,2)和Q(2,3),且圆C在两坐标轴上截得的弦长相等,求圆C的方程【思路点拨】在(1

11、)中,由于所求的圆过三个点,因而选用一般式,从而只要确定系数D、E、F即可;注意到三角形外接圆的圆心为各边的垂直平分线的交点,所以也可先求圆心,再求半径,从而求出圆的方程在(2)中,可用圆的一般方程,但这样做计算量较大,因此我们可以通过作图,利用图形的直观性来进行分析,从而得到圆心或半径所满足的条件【答案】(1)x2+y24x2y20=0(2)(x+1)2+(y1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25【解析】(1)解法一:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意有,解得故所求的圆的方程为x2+y24x2y20=0解法二:由题意可求得AC的中垂线的方程为x=2,BC的中垂线方

12、程为x+y3=0圆心是两中垂线的交点(2,1),半径,所求的圆的方程为(x2)2+(y1)2=25,即x2+y24x2y20=0(2)解法一:如右图所示,由于圆C在两坐标轴上的弦长相等,即|AD|=|EG|,所以它们的一半也相等,即|AB|=|GF|,又|AC|=|GC|,RtABCRtGFC,|BC|=|FC|设C(a,b),则|a|=|b| 又圆C过点P(1,2)和Q(2,3),圆心在PQ的垂直平分线上,即,即y=3x+4,b=3a+4 由知a=b,代入得或或5故所求的圆的方程为(x+1)2+(y1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25即x2+y2+2x2y3=0或x2+y2+4x+4

13、y17=0解法二:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆C过点P(1,2)和Q(2,3),解得圆C的方程为x2+y2+Dx+(3D8)y+117D=0,将y=0代入得x2+Dx+117D=0圆C在x轴上截得的弦长为将x=0代入得y2+(3D8)y+117D=0,圆C在y轴上截得的弦长为由题意有,即D24(117D)=(3D8)24(117D),解得D=4或D=2故所求的圆的方程为x2+y2+4x+4y7=0或x2+y2+2x2y3=0【总结升华】 (1)本例(1)的解法二思维迂回链过长,计算量过大,而解法一则较为简捷,因此,当所有已知的条件与圆心和半径都无直接关系,在求该圆的方程时

14、,一般设圆的方程为一般方程,再用待定系数法来确定系数即可(2)本例(2)中,尽管所给的条件也都与圆心和半径无直接关系,但可通过画图分析,利用平面几何知识,找到与圆心和半径相联系的蛛丝马迹,从而避免了选用圆的一般方程带来的繁琐的计算(3)一般地,当给出了圆上的三点坐标,特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时,选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷;而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程,此时要注意从几何角度来分析问题,以便找到与圆心和半径相联系的可用条件举一反三:【变式1】如图,等边ABC的边长为2,求这个三角形的外接圆的方程,并写出圆心坐标和半径长 【答案】,类型三:

15、点与圆的位置关系例5判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)与圆(x5)2+(y6)2=10的位置关系【答案】M在圆上 N在圆外 Q在圆内【解析】 圆的方程为(x5)2+(y6)2=10,分别将M(6,9),N(3,3),Q(5,3)代入得(65)2+(96)2=10,M在圆上;(35)2+(36)2=1310,N在圆外;(55)2+(36)2=910,Q在圆内【总结升华】点与圆的位置关系,从形的角度来看,设圆心为O,半径为r,则点P在圆内|PQ|r;点P在圆上|PQ|=r;点P在圆外|PO|r从数的角度来看,设圆的标准方程为(xa)2+(yb)2=r2,圆心为A(a,b),半径为r,则

16、点M(x0,y0)在圆上(x0a)2+(y0b)2=r2;点M(x0,y0)在圆外(x0a)2+(y0b)2r2;点M(x0,y0)在圆内(x0a)2+(y0b)2r2举一反三:【变式1】已知两点P1(3,8)和P2(5,4),求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上、在圆内、还是在圆外?【答案】点M在此圆外,点N在此圆上,点P在此圆内类型四:轨迹问题例6等腰ABC的底边一个端点B(1,-3),顶点A(0,6),求另一个端点C的轨迹方程,并说明轨迹的形状【思路点拨】可以判断出C的轨迹以A为圆心,半径为|AB|的圆.利用直接法求出方程.【答案】

17、除去点(-1,15)和点(1,-3)【解析】由题意得|CA|=|AB|,则点C到定点A的距离等于定长|AB|,所以C的轨迹是圆.又,C的轨迹方程为除去点(-1,15)和点(1,-3),即C的轨迹形状是以点A(0,6)为圆心,半径为的圆,其中去除点(-1,15)和点(1,-3).【总结升华】 本例求轨迹方程的方法是直接法用直接法求曲线方程的步骤如下:(1)建系设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点坐标为M(x,y);(2)几何点集:写出满足题设的点M的集合P=M|P (M);(3)翻译列式:将几何条件P(M)用坐标x、y表示,写出方程f (x,y)=0;(4)化简方程:通过同解变形化简方程;

18、(5)查漏除杂:验证方程表示的曲线是否为已知的曲线,重点检查方程表示的曲线是否有多余的点,曲线上是否有遗漏的点例7已知定点A(4,0),P点是圆x2+y2=4上一动点,Q点是AP的中点,求Q点的轨迹方程【答案】(x2)2+y2=1【解析】 设Q点坐标为(x,y),P点坐标为(x,y),则且,即x=2x4,y=2y又P点在圆x2+y2=4上,x2+y2=4,将x=2x4且y=2y代入得(2x4)2+(2y)2=4,即(x2)2+y2=1故所求的轨迹方程为(x2)2+y2=1【总结升华】 本题是求轨迹时常用的方法代入法,对于“双动点”问题,即若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时,通

19、常用这一方法代入法是先设所求轨迹的动点坐标为(x,y),在已知曲线上运动的点的坐标为(x,y),用x,y表示x,y,即x=f (x,y),y=g (x,y),并将它代入到已知曲线方程,即求出所求动点的轨迹方程一般情况下,证明可以省略不写,如有特殊情况,可适当予以说明,即扣除不合题意的解或补上失去的解举一反三:【变式1】已知定点A(2,0),点Q是圆x2+y2=1上的动点,AOQ的平分线交AQ于M,当Q点在圆上移动时,求动点M的轨迹方程 【答案】 【高清课堂:圆的方程370891 典型例题5】【变式2】平面内到两定点距离的比值是一个不等于1的常数的动点的轨迹是一个圆【解析】以两定点所在的直线为轴,以两定点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系,设两定点分别为,设动点,则,整理得:所以,即所以动点的轨迹是一个圆