1、直线、平面垂直的判定编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1了解空间直线和平面的位置关系；2掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理； 3能利用直线与平面、平面与平面垂直的定义、判定定理解决与其相关的问题。 【要点梳理】要点一：直线与直线垂直的定义两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。要点诠释：空间中两直线垂直可能是相交垂直，也可能是异面垂直，即两条直线互相垂直时可能没有垂足。要点二：直线与平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面
2、叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段。垂线段的长度叫做这个点到平面的距离。要点诠释：(1)定义中的“任何直线”与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直 (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示符号语言描述：(4)在平面几何中，我们有命题：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
3、在本节中，也有类似的命题 命题1：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 命题2：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言：符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.相关的重要结论 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条 如果两条平行
4、线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直要点三：平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图： 2.平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：图形语言：特征：线面垂直面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面
5、垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.要点四：求点线、点面、线面距离的方法 (1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OAa，连接PA，则以PAa则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示) (2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离 (3)求点面距离的常用方法：直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊
6、点到平面的距离来求解 体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解【典型例题】类型一、直线和平面垂直的定义例1下列命题正确的个数为（ ） （1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；（3）一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；（4）如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线所确定的平面；（5）垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】（1）错误因为空间内和一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面（2）正确因为命题条件不满足线面垂直定义的要
7、求，因此直线一定不与这个平面垂直（3）错误因为这无数条直线可能是一组平行直线（4）正确设三条直线共点于O，由，且确定一平面，设为，得同理可知垂直于由确定的平面，垂直于由确定的平面（5）正确因为垂直于三角形两边的直线必垂直于该三角形所在的平面，所以这条直线就垂直于三角形的第三条边故正确答案为B举一反三：【变式1】设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）A在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B过直线有且只有一个平面与平面垂直 C与直线垂直的直线不可能与平面平行 D与直线平行的平面不可能与垂直【答案】B【解析】可以通过观察正方体进行判断，取为直线，平面为平面，由均与垂直知，选项错；由与垂
8、直且与平行知，选项错；由平面与平行且与垂直知，选项错，故选B。类型二、直线与平面垂直的判定例2如图，已知空间四边形ABDC的边BC=AC，AD=BD，作BECD，E为垂足，作AHBE于H，求证：AH平面BCD。【思路点拨】要证AH平面BCD，只需利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直平面BCD中两条相交直线即可。【解析】证明：取AB中点F，连CF，DF，AB=BD，CFAB。又AD=BD，DFAB，AB平面CDF，ABCD。又BECD，且ABBE=B，根据直线与平面垂直的判定定理，直线CD平面ABE。CDAH。而AHBE，CDBE=E，AH平面BCD。【总结升华】本题主要考查线面垂直的判定，
9、关键是找到平面BCD内与AH垂直的两条相交直线，要证线面垂直，需证线线垂直；要证线线垂直，需证线面垂直，即通过判定定理实现线线垂直与线面垂直的互相转化。例3如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MNCD；（2）若PDA=45.求证：MN平面PCD. 【证明】（1）连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，AN=PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，BN=PC.AN=BN，ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，MNAB，又A
10、BCD，MNCD.（2）连接PM、CM,PDA=45，PAAD，AP=AD.四边形ABCD为矩形.AD=BC，PA=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，PCCD=C,MN平面PCD.【总结升华】（1）判定线面垂直的方法：利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线
11、线垂直与线面垂直的相互转化举一反三：【变式1】如图所示，直角ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点 (1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC【证明】 (1) SASC，D为AC的中点， SDAC在RtABC中，则ADDCBD，又SASB， ADSBDS， SDASDB90， SDBD又ACBDD， SD平面ABC(2) BABC，D为AC的中点， BDAC又由(1)知SD平面ABC， SDBD又SDACD， BD平面SAC【总结升华】(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用方法在论证中利用题设的已知条件来寻找判定定理的条件是证明过程中的基本
12、思路 (2)线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直于平面内的两条相交直线，是直线垂直于平面的必备条件【变式2】 一个多面体的三视图的直观图如下图（1），（2）所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一个动点。（1）求证：GNAC；（2）当FG=GD时，在AD上确定一点P，使GP平面FMC。 【解析】如图，（1）连接FN，BD，由题意知，B，D，N三点共线，且ACDN。因为FDAD，FDCD，ADCD=C，所以FD平面ABCD。又AC平面ABCD，所以FDAC。又ACDN，FDDN=D，所以AC平面FDN。又GN平面FDN，所以ACGN。（2）取DC的中点S，连接AS，G
13、S，GA，因为M是AB的中点，G是DF的中点，则GSFC，ASCM。因为GSAS=S，MCFC=C，所以平面GSA平面FMC。又GA平面GSA，所以GA平面FMC。因此，当点P在点A处时，有GP平面FMC。举一反三：【变式1】 如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体（如图），使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是（ ） ASG平面EFG BSD平面EFG CGF平面SEF DGD平面SEF 【答案】A类型五、平面与平面垂直的判定例4如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDEC，
14、且EC=CA=2BD，M是EA的中点，求证： （1）DE=DA；（2）平面BDM平面ECA；（3）平面DEA平面ECA。【思路点拨】（1）欲证DE=DA，只需要证EFD和DBA全等即可。（2）证明面面垂直转化成线面垂直。【证明】（1）取EC的中点F，连接DF。ECBC，易知DFBC，DFEC。在RtEFD和RtDBA中，FD=BC=AB，RtEFDRtDBA。ED=DA。（2）取CA的中点N，连接MN，BN，则MNEC，MNBD，点N在平面BDMN内。EC平面ABC，ECBN，又CABN，BN平面ECA。BN在平面MNBD内，平面MNBD平面ECA，即平面BDM平面ECA。（3）BDEC，MN
15、EC，BDMN，MNBD为平行四边形。DMBN。由（2）知BN平面ECA，DM平面ECA。又DM平面DEA，平面DEA平面ECA。【总结升华】面面垂直的证明要回归为线面垂直的证明，利用垂直关系的相互转化是证明的基本方法。举一反三：高清：空间的面面垂直 399110 典型例题1【变式1】已知是圆的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于、的任一点求证：平面平面证明：是圆的直径，又垂直于所在的平面，平面又平面，平面平面【变式2】 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA。（1）求证：平面EFG平面PDC；（
16、2）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比。【解析】（1）由已知MA平面ABCD，PDMA，PD平面ABCD。又BC平面ABCD，PDBC。四边形ABCD为正方形，BCDC。又PDDC=D，因此BC平面PDC。在PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，GFBC，因此GF平面PDC。又GF平面EFG，平面EFG平面PDC。（2）VPMABVPABCD=14。例5如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为O. （）求证：平面；（）已知为侧棱上一个动点. 试问对于上任意一点，平面与平面是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由.OSABCDE 【证明】（
17、）因为四边形是正方形，所以O是，中点.由已知，, ,所以,又，所以平面. （）对于上任意一点，平面平面.证明如下：由（）知，而，所以.又因为四边形是正方形，所以.因为，所以.又因为，所以平面平面. 举一反三：【变式1】如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.（1）证明：平面PBE平面PAC；（2）如何在BC上找一点F，使AD平面PEF？并说明理由.【解析】（1）证明 因为PA底面ABC，所以PABE.又因为ABC是正三角形，且E为AC的中点，所以BECA.又PACA=A，所以BE平面PAC. 因为BE平面PBE，所以平面PBE平面PAC.（
18、2）取CD的中点F，则点F即为所求.因为E、F分别为CA、CD的中点，所以EFAD.又EF平面PEF，AD平面PEF，所以AD平面PEF.类型四：求点线、点面、线面的距离 例6如图所示，已知P为ABC外一点，PA、PB、PC两两垂直，PAPBPCa，求P点到平面ABC的距离【解析】 如图所示，过P作PO平面ABC于O点，连接AO、BO、CO， POOA，POOB，POOC PAPBPCa， PAOPBOPCO OAOBOC， O为ABC的外心 PA、PB、PC两两垂直， ABBCCA， ABC为正三角形， ， 即点P到平面ABC的距离为 【总结升华】求点到平面距离的基本步骤是：首先找到或作出要
19、求的距离对应的线段；然后使所求距离对应的线段在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离 举一反三：【变式1】 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为_ 【答案】 【解析】 如上图，连接B1C，交BC1于点F过O作OMB1C1于点M，过M作MEB1C交BC1于点E由作图知B1CBC1， MEBC1 OMB1C1，A1B1B1C1，O为正方形A1B1C1D1的中心， OMA1B1AB， OM平面ABC1D1 点O到平面ABC1D1的距离等于点M到平面ABC1D1的距离易知B1F平面ABC1D1，又MEB1F， ME平面ABC1D1 ME即为所求，且9