1、直线、平面垂直的性质编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题【要点梳理】要点一：直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：3直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面（2）若于，则（3）垂直于同一条直线的两个平面平行（4）如
2、果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化要点二：平面与平面垂直的性质1性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法2平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内要点三：垂直关
3、系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示： 在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁 垂直间的关系可按下面的口诀记忆： 线面垂直的关键，定义来证最常见， 判定定理也常用，它的意义要记清 平面之内两直线，两线交于一个点， 面外还有一条线，垂直两线是条件 面面垂直要证好，原有图中去寻找， 若是这样还不好，辅助线面是个宝 先作交线的垂线，面面转为线和面， 再证一步线和线，面面垂直即可见 借助辅助线和面，加的时候不能乱， 以某性质为基础，不能主观凭臆
4、断， 判断线和面垂直，线垂面中两交线 两线垂直同一面，相互平行共伸展， 两面垂直同一线，一面平行另一面 要让面和面垂直，面过另面一垂线， 面面垂直成直角，线面垂直记心间【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）（1）若a，b都平行于平面，求证：AB；（2）若a，b分别垂直于平面，且，求证：ABc【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB，可先证明线与线的平行（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明ABc证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a，设
5、直线b与点P确定的平面与平面的交线为ba，b，aa，bb又AB，ABb，ABa，ABb，AB（2）如图，过B作BB，则ABBB又ABb，AB垂直于由b和BB确定的平面b，bc，BB，BBcc也垂直于由BB和b确定的平面故cAB【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直如题中，通过作出辅助线BB，构造出平面，即由相交直线b与BB确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明举一反三：【变式1】 设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A若m，m，则 B若，m，则mC若，m，则m D若，m，则m【答案】B
6、【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面高清：空间的线面垂直398999 例3例2如图，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC=60，PA=AB=BC，E是PC的中点（1）证明：AECD；（2）证明：PD平面ABE 【思路点拨】（1）由PA底面ABCD，可得 CDPA，又CDAC，故CD面PAC，从而证得CDAE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AEPC，由（）知CDAE，从而AE面PCD，AEPD，再由 ABPD 可得 PD面ABE【解析】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又CDAC，
7、PAAC=A，CD面PAC，AE面PAC，故CDAE（2）证明：由PA=AB=BC，ABC=60，可得PA=AC，E是PC的中点，AEPC，由（1）知CDAE，从而AE面PCD，故AEPD由（1）知，AECD，且PCCD=C，所以AE平面PCD而PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD又ABAE=A，PD面ABE【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们举一反三：【变式1】如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中
8、点(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：MNCD；(3)若PDA=45，求证：MN平面PCD【解析】要证明MN平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MNAE即可证明如下证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形， MNAE AE平面PAD，MN平面PAD， MN平面PAD(2)要证MNCD，可证MNAB由(1)知，需证AEAB PA平面ABCD， PAAB又ADAB， AB平面PAD ABAE即ABMN又CDAB， MNCD(3)由(2)知，MNCD，即AECD，再证AEPD即可 PA平面
9、ABCD， PAAD又PDA=45，E为PD的中点 AEPD，即MNPD又MNCD， MN平面PCD【总结升华】本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多要点的一道综合题(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化线线垂直线面垂直线线垂直类型二：平面与平面垂直的性质高清：空间的面面垂直399110 例2例3如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面【解析】已知：，求证：证法1：如图（左），在内取一点P，作PA垂直于与的交线于A，PB垂直于与的交线于B，则PA，PB，PA，PBPA，PB，PAPB=P， 证法2：如图（右），在内作直线m垂直于与的交线
10、，在内作直线n垂直于与的交线，mn又，m，m，证法3：如图，在上取一点A，过A作直线m，使，且，同理，即与m重合【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷由此可见，我们必须熟练掌握这一推论举一反三：【变式1】如图，已知ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点求证：（1）MNAB；（2）若PAD=45，则平面MND平面PDC【解析】证明：（1）取AC的中点K,连接
11、NK,MK，则NK是的中位线，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，PA平面ABCDNK平面ABCD NKAB又AB平面MNK，ABMN（2）在中，取PD的中点G，连接AG，则AGPD连接GN， GN /AM四边形AMNG为平行四边形CD平面PAD，CDAG又AGPD，AG平面PCDMN平面PCD，平面MND平面PDC.类型三：综合应用例4如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC（1）若D是BC的中点，求证：ADCC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；
12、（3）若截面MBC1平面BB1C1C，则AM=MA1吗？请叙述你的判断理由【解析】 （1）AB=AC，D是BC的中点，ADBC底面ABC平面BB1C1C，AD平面BB1C1CADCC1（2）延长B1A1与BM的延长线交于N，连接C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1C1=A1N=A1B1，C1NB1C1，C1N侧面BB1C1C，截面MBC1侧面BB1C1C（3）AM=MA1，证明如下：过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1C，ME侧面BB1C1C又AD侧面BB1C1C，MEAD，M，E，D，A共面AM侧面BB1C1C，AMDE四边形ADEM为平行四边形CC1AM，DECC1D是BC
13、的中点，E是BC1的中点，AM=MA1【总结升华】垂直关系在立体几何中无处不在，是重中之重，我们必须做好它们之间的相互转化工作，即直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直例5如图1，在中，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2()求证：平面；()求证：；()线段上是否存在点，使平面？说明理由【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化【解析】()因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC，又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB()由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC所以DEA1DDECD所以DE平面A1DC而A1F平面A1DC
14、，所以DEA1F又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE所以A1FBE()线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQBC又因为DEBC，所以DEPQ所以平面DEQ即为平面DEP由()知，DE平面A1DC，所以DEA1C又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP所以A1C平面DEP从而A1C平面DEQ故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ 举一反三： 【变式1】 如下图，已知三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足 （1）求证：PA平面ABC；（2）当E为PBC的垂心时，求
15、证：ABC是直角三角形证明 ： （1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DFAC于F因为平面PAC平面ABC，且交线为AC，所以DF平面PAC又PA平面PAC，所以DFPA作DGAB于G，同理可证DGPA又因为DG、DF都在平面ABC内，且DGDF=D，所以PA平面ABC （2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）因为E是PBC的垂心，所以PCBE又已知AE是平面PBC的垂线，所以PCAE所以PC平面ABE，所以PCAB又因为PA平面ABC，所以PAAB，所以AB平面PAC，所以ABAC，即ABC是直角三角形【总结升华】 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直面面垂直来实现
16、的因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的【变式2】 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为中点，平面，为中点()证明：/平面；()证明：平面；【答案】（1）略（2）略【解析】()连接，在平行四边形中，因为为的中点，所以为的中点又为的中点，所以因为平面，平面，所以平面()因为，且，所以，即，又平面，平面，所以，而，所以平面【变式3】如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，求证：【答案】略【解析】 （I）取AB中点E，连结DE、SE， 四边形BCDE为矩形，DE=CB=2， 侧面为等边三角形 又SD=1，为直角又， AB平面SDE， 又SD与两条相交直线AB、SE都垂直 SD平面SAB 9