1、直线的点斜式与两点式方程编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】(1)掌握直线方程的点斜式，并在此基础上掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式；(2)能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。【要点梳理】要点一：直线的点斜式方程方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.要点诠释： 1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2.当直线的倾斜角为0时，直线方程为；3.当直线倾斜角为90时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:.4.表示直线去掉一个点；表示
2、一条直线.要点二：直线的斜截式方程如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即.我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.要点诠释：1.b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.要点三：直线的两
3、点式方程经过两点(其中)的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.要点诠释：1.这个方程由直线上两点确定；2.当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程. 3.直线方程的表示与选择的顺序无关.4在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式要点四：直线的截距式方程若直线与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为
4、直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距.要点诠释：1.截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线.2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.3截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况要点五：中点坐标公式若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段的中点坐标为(x，y)，则x=，y=，则此公式为线段的中点坐标公式要点六：直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数在求直线方程时，要根据
5、给出的条件采用适当的形式一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y 轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏【典型例题】类型一：点斜式直线方程 例1求满足下列条件的直线方程。 （1）过点P（4，3），斜率k=3； （2）过点A（1，4），倾斜角为135； （3）过点P（3，4），且与x轴平行；（4）过点P（5，2），且与y轴平行【答案】（1）3x+y+9=0（2）x+y3=0
6、（3）y=4（4）x=5 【解析】 （1）直线过点P（4，3），斜率k=3，由直线方程的点斜式得直线方程为y3=3(x+4)，即3x+y+9=0 （2）倾斜角为135，k=tan 135=1，直线方程为y4=(x+1)，即x+y3=0 （3）与x轴平行的直线，其斜率k=0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)=0(x3)，即y=4。 （4）与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x=5。 【点评】点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，
7、直线方程为x=x0举一反三：【变式1】根据条件写出下列各题中的直线方程：（1）经过点A（1，2），斜率为2；（2）经过点B（1，4），倾斜角为135；（3）经过点C（4，2），倾斜角为90；（4）经过点D（3，2），且与x轴平行。【答案】（1）y2=2(x1)； （2）y4=(x+1)； （3）x=4； （4）y=2类型二：斜截式直线方程例2写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？【答案】y=2x+m m=1【解析】 由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m。直线过点（1，1），将x=1，y=1代入方程y=2x+m得1=21+m，m=1即为所求。【点评】
8、 （1）选用斜截式表示直线方程的依据是知道（或可以求出）直线的斜率k和直线在y轴上的截距b。（2）直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数k、b即可确定直线的方程，而点斜式方程则需要三个参数k、x0、y0才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用。如仅知道直线的斜率为k=2，则我们可设直线方程为y=2x+b，再根据其他条件来求b的值。这种以“退”为进的思想方法是我们数学中常用的思想方法。类似地，若知道直线在y轴上的截距为2，则可设直线方程为y=kx+2（直线斜率存在的情况下）。（3）若直线过某一
9、点，则这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用。举一反三：【变式1】直线y=kx+b（k+b=0，k0）的图象是（ ） 【答案】B【解析】因为k+b=0，所以直线一定过点（1，0），故C、D不满足题意舍去，又因为k=-b，所以直线的斜率和直线的截距互为相反数，故选B。类型三：两点式直线方程例3三角形的顶点坐标分别为A（5，0），B（3，3），C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。【答案】3x+8y+15=0，5x+3y6=0，2x5y+10=0【解析】 直线AB过点A（5，0），B（3，3），由两点式得。化简整理得3x+8y+15=0，这就是直线AB的方程。同理可得直线BC的
10、方程为5x+3y6=0，直线AC的方程为2x5y+10=0。【点评】 已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程。举一反三：【变式1】（1）若直线经过点A（2，5），B（2，7），则直线的方程为_； （2）若点P（3，m）在过点A（2，1），B（3，4）的直线上，则m的值为_【答案】（1）x=2 （2）2【解析】（1）因为两点的横坐标相等都是2，所以直线方程是x=2。（2）因为直线过点A（2，1），B（3，4），所以直线方程是：，即，把点P（3，m）代入得，。类型四：截距式直线方程例4直线过点（3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12
11、，求直线的方程【答案】x+3y9=0或4xy+16=0 【解析】 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不为零，故可设为截距式直线方程 设直线的方程为，则a+b=12 又直线过点（3，4）， 由解得或。 故所求的直线方程为或， 即x+3y9=0或4xy+16=0 【点评】（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可 （2）选用截距式直线方程时。必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直（3）要注意截距式直线方程的逆向运用，如由方程可知该直线在x轴和y轴上的截距分别为3和2举一反三：【变式1】 根据条件求下列
12、各题中直线的截距式方程： （1）在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为2；（2）在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为4【答案】（1）（2）例5 求过定点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程【答案】x+y5=0或3x2y=0【解析】 错解 设直线的两截距皆为a，则有 ， 即x+y=a，将点P（2，3）代入，得a=5所求的直线方程为 x+y=5 错因 这种解法是有问题的，问题在于所设直线方程不包括两截距都是零的情况 正解 应增补两截距为零的情况当直线两截距都是零时，设直线方程为y=kx，将P（2，3）代入得 所求直线方程为，即3x2y=0 综上所述，所求直线方程为x+y5=0或3x2y=0
13、【点评】 本例解法是一些学生解此题常出现的问题，究其根源，就是审题时，没能把题中“非零截距相等”和“零截距相等”的分类因素挖掘出来进行分类讨论，把“零截距”的情况丢掉了由此可见，如果题目中出现“直线在两坐标轴上的截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上截距是在另一坐标轴上截距的m（m0）倍”等条件，采用截距式求直线方程时，要注意考虑“零截距”的情况一般地，在非零截距的情况下，可设在零截距的情况下，由直线过原点可设y=kx举一反三：【变式1】 已知直线过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程【答案】x+y5=0或xy+1=0或3x2y=0【解析】当截距都为0时，设直线为
14、，把点P（2，3）代入得：3x2y=0当截距都不为0时，设直线为，由直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，得，所以或，把点P（2，3）代入得x+y5=0或xy+1=0。类型五：中点坐标公式例6 过点P（3，0）作直线，使它被两条相交直线2xy2=0和x+y+3=0所截得的线段AB恰好被P点平分，求直线的方程【答案】8xy24=0【解析】 设直线与直线2xy2=0交于点A（x1，y1） 点P（3，0）是线段AB的中点，由中点坐标公式得B点的坐标为（6x1，y1），解得。 由两点式直线方程得直线的方程为，即8xy24=0。 【点评】（1）中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题，如
15、本例中，设A点坐标为（x1，y1），而P（3，0）为AB的中点，从而得到B点坐标为（6x1，y1） （2）在运用中点坐标公式时，要注意与“中点”等价的有关概念的运用，如本例中，AB被P点平分，通过画图分析，它事实上等价于AB的中点为P （3）在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等（4）本例中，在求直线方程时，不是先设直线方程，而是先设A点坐标（横、纵坐标均为参数），再利用A、B分别在两直线上，从而得到两个方程组成的方程组，解之便得到A点坐标，再利用两点式便可求出所求直线方程。这是以“退”为进
16、的思想方法的灵活运用，也是解决解析几何问题的基本思想方法，应深刻领悟，熟练掌握它举一反三： 【变式1】已知三角形的顶点是A（5，0），B（3，3），C（0，2），求AC边上中线所在直线的方程【答案】8x+11y+9=0【解析】线段的中点坐标为，所以AC边上中线所在直线的方程为：，整理得：8x+11y+9=0类型六：直线方程的综合应用高清：直线方程的点斜式与两点式 381492例1例7已知ABC的三个顶点坐标分别是A（5，0），B（3，3），C（0，2），分别求BC边上的高和中线所在的直线方程【答案】x+13y+5=0【解析】 BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，由点斜
17、式得方程；利用中点坐标公式得BC的中点坐标，由两点式得BC边上的中线所在的直线方程 设BC边上的高为AD，则BCAD， ，解得， BC边上的高所在的直线方程是，即3x5y+15=0 设BC的中点是M，则， BC边上的中线所在直线方程是，即x+13y+5=0 BC边上的高所在的直线方程是3x5y+15=0，BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0【点评】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式本题根据已知求BC边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式 举一反三： 【变式1】 已知倾斜角为45的直线过点A（1，2）和点B，B在第一象限，求点B的坐标【答案】（4，1）【解析】设B点坐标为，直线的方程为：，因为B在直线上，且，所以，解之得：或（舍去），所以B点坐标为（4，1）。 7