1、余弦定理编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法； 2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题； 3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系. 【要点梳理】要点一：学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即； 等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据要点二：余弦定理及其证明三角形任意一边的
2、平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：余弦定理的推导已知：中，及角，求角的对应边.证明：方法一：向量法（1）锐角中（如图）， ，即： (*)同理可得：,要点诠释：（1）推导（*）中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的夹角应为，而不是.（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。（3）对于直角三角形中时，, ，也满足余弦定理。方法二：几何法（1）当为锐角三角形时如图，作边上的高根据勾股定理有：，中， = 即：.（2）当为钝角三角形且C为钝角时如图，作边上的高 根据勾股定理有：，.中， 即：仍然成立。（3）在直角中，当时，, ，也满足余弦定理。方法三：解析
3、几何方法利用两点间距离公式这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。如图所示建立坐标系.则点，由、两点间的距离可知，即整理得到.余弦定理的变形公式：要点三：利用余弦定理解三角形1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； 已知三角形的三条边，求其三个角。要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.2.解斜三角形的基本问题：已知条件解法解的情况一边和两角（例如a,B,C)1利用A+B+C=180，求A2应用正弦定理求b,c唯一解两边和夹角（例如a,b,C）1应用余弦定理求边c
4、2应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）3利用A+B+C=180，求第三个角.唯一解三边（例如a,b,c)法一:1、应用余弦定理先求任意两个角2用A+B+C=180，求第三个角法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3、利用A+B+C=180，求第三个角唯一解两边及其中一边的对角（例如a,b,A)此类问题首先要讨论解的情况1应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）2、利用A+B+C=180，求第三个角3、应用正弦或余弦定理求第三边两解、一解或无解要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的
5、选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。4、判断三角形形状余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余
6、弦定理.【典型例题】类型一：余弦定理的简单应用例1在中，已知，求最大角的余弦值.【思路点拨】求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角时最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边，找到最大角.【解析】由余弦定理有，故b是最大边，那么B是最大角。故最大角的余弦值是【总结升华】 1.中，若已知两边及夹角，一般优先考虑用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6【答案】BA、C显然不满足。B中：根据余弦定理：，所以C是钝角。D中： ，所以C是锐角。【变式2】在
7、中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小【答案】设，根据余弦定理得：，；同理可得；【高清课堂：余弦定理 题一】【变式3】在中，若，则角等于（ ）.A. B. C. D. 或【答案】， ， 类型二：利用余弦定理判断三角形的形状例2在ABC中，已知(abc)(abc)3ab，且2cos Asin BsinC，确定ABC的形状【思路点拨】判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.【解析】由正弦定理，得由2cos Asin Bsin C，有又根据余弦定理，得所以即c2b2c2a2，所以ab.又因为(abc)(abc)3ab，所以
8、(ab)2c23ab，所以4b2c23b2，所以bc，所以abc，因此ABC为等边三角形【总结升华】恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键. 举一反三：【变式1】在ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状【答案】由正弦定理及余弦定理，得，所以整理得，因为所以，因此ABC为等腰三角形【高清课堂：余弦定理 题六】【变式2】 三角形ABC中满足下列条件 ；试判断三角形的形状.【答案】利用余弦定理得，化简得，所以三角形为等腰三角形.类型三：正弦定理、余弦定理的综合应用例3已知O的半径为R，在它的内接三角形ABC中，有成立，求ABC面积S的最大值【思路点拨】本题出现三角形外接圆半径，先考虑正弦定理，然后将角化为边后，用余弦定理，最后列出面积表达式转化为三角函数求最值.【解析】由已知条件得即有 ，又 当时, 【总结升华】1.边角互化是解三角形问题常用的手段一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理在求值时，要利用三角函数的有关性质举一反三：【变式1】在中，是方程的两个根，且，求：（1） 角C的度数；（2） AB的长度。【答案】(1) 由得，得，所以C=120o(2)由题设：【变式2】在中，已知，求及.【答案】由余弦定理得：=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理） ，（法二：正弦定理） 又，即