1、正弦定理编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】要点一：学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即； 等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要点二：正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各
2、边和它所对角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推导证明：， ， ，即：， 斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当为锐角三角形时过作单位向量垂直于，则+= 两边同乘以单位向量，得(+)=，即， ，同理：若过作垂直于得： ，（2）当为钝角三角形时设，过作单位向量垂直于向量，同样可证得：法二：构造直角三角形（1）当为锐角三角形时如图，作边上的高线交于，则:在中, ，即，在中, ,即,，即.同理可证（2）当为钝角三角形时如图，作边上的高线交于，则:在中, ，即，在中, ,即,，即.同理可证法三：圆转化法（1）当为锐角三角形时如图，圆O是的外接圆，直径为，则，（为的外接圆半径）同理
3、：，故：（2）当为钝角三角形时如图，.法四：面积法任意斜中，如图作，则同理：，故，两边同除以即得：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外接圆半径）；灵活利用正弦定理，还需知道它的几个变式，比如： ，,等等.要点三：利用正弦定理解三角形一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，然后再进一步求出其他的边和
4、角.要点诠释：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；(1)若A为锐角时：如图：(2)若A为直角或钝角时：判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等？要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的
5、解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用：【高清课堂：正弦定理 例1】例1已知在中，求和B.【思路点拨】本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值，三角形中边与角的对应关系等。由正弦定理列出边a满足的方程，再根据三角形内角和来确定角B的值。【解析】， ， ，又，【总结升华】1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三：【变式1】在中，已知，求、.【答案】，根据正弦定理，.【变式2】在中，若，则等于 （ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】由可得，由正弦定理可知，故可得
6、，故或。故选B.【变式3】中，BC3，则的周长为（ ）A BC D【答案】由正弦定理得：， 得bcsinBsin(B)故三角形的周长为：3bc，故选D例2.已知下列三角形的两边及其一边的对角，判断三角形的情况，有解的作出解答。(1)a=7,b=9,A=100 (2) a=10,b=20,A=75 (3)a=10,c=5,C=60 (4) a=2【思路点拨】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体有几解可以借助于要点梳理中要点三中的方法解决。【解析】（1）本题无解。（2）本题无解。（3）本题有一个解。利用正弦定理，可得：（4）本题有两解。由正弦定理得：当综上所述：【总结升
7、华】已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具体方法可以借助于下了表格：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a=b无解无解一解absinA两解a=bsinA一解AbsinA无解举一反三：【变式1】在中，, , 求.【答案】由正弦定理，得., ，即 【变式2】在，求和，【答案】由正弦定理得：，（方法一）， 或，当时，（舍去）；当时，（方法二）， ， 即为锐角， ，【高清课堂：正弦定理 例3】【变式3】在中， ，求和【答案】， ， 或当时，；当时，；所以，或类型三：利用正弦定理判断三角形的形状例3.根据下列条件，判定的形状.【思路点拨】利用正弦定理将边化成角，分析角之间的关
8、系，再利用正弦定理将角化为边，进而判断三角形的形状.【解析】(1)由正弦定理得故是等腰三角形或直角三角形(2) 由正弦定理得故是等边三角形【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三：【变式1】在中，若，试判断的形状.【答案】由及已知条件可得：，为三角形的内角，或，所以为等腰三角形或直角三角形。【变式2】在ABC中，试判断三角形的形状.【答案】利用正弦定理将边转化为角.又 0A，B，AB 即故此三角形是等腰三角形.类型四：利用正弦定理求三角形的面积 例
9、4.在中，角的对边分别为，。（I）求的值；（）求的面积。【思路点拨】先利用三角形内角和求出C的正弦值，再利用正弦定理求边，进而求三角形的面积.【解析】（）因为A、B、C为ABC的内角，且，所以，于是（）由（）知，又因为，所以在ABC中，由正弦定理，得.于是ABC的面积.【总结升华】求三角形面积，应根据已知条件选择合适的计算方法，以减少计算量. 若已知三角形的两边，则可求其夹角，然后利用求解.举一反三：【变式】在ABC中，已知，求的面积。【答案】由，得，又，即，所以三角形的解有两种情况，或故的面积的面积为或.类型五：正弦定理的综合运用例5.如图，D是直角ABC斜边BC上一点，ABAD，记CAD，
10、ABC.(1)证明：sin cos 20；(2)若ACDC，求的值【思路点拨】先利用直角三角形中边，角的关系找到、的等量关系，然后在ADC中利用正弦定理，建立方程解之.【解析】(1)证明：ABAD，则ADB，C. 又BC90，即290，则290， cos 2sin ，即cos 2sin 0.(2)在ADC中，即sin sin . 代入整理得：2sin2sin 0.解得sin ，或sin 舍去，又为锐角，则60.【总结升华】以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优化等问题，通常是转化到三角形中，利用正弦定理、余弦定理（即将要学习）加以解决 举一反三：【变式1】在ABC中，已知a5，B105，C15，则此三角形的最大边的长为_【答案】在ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A180(BC)180(10515)60.据正弦定理【高清课堂：正弦定理 例5】【变式2】 在ABC中，c= ，C=30,求a+b的最大值。【答案】因为所以A+B=180C=150，从而所以a+b的最大值为