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高考总复习:知识讲解_基本不等式_基础

1、基本不等式编稿:张希勇 审稿:李霞 【学习目标】 1. 理解基本不等式的内容及其证明.2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.【要点梳理】要点一:基本不等式1.对公式及的理解.(1)成立的条件是不同的:前者只要求都是实数,而后者要求都是正数;(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论(同号);(异号);或要点诠释: 可以变形为:,可以变形为:.要点二:基本不等式的证明方法一:几何面积法如图,在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、,那么正方形的边长为.这样,4个直角三角形的面

2、积的和是,正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,所以:.当直角三角形变为等腰直角三角形,即时,正方形缩为一个点,这时有.得到结论:如果,那么(当且仅当时取等号“=”)特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得:如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作:如果,,,(当且仅当时取等号“=”)方法二:代数法 ,当时,;当时,.所以,(当且仅当时取等号“=”).要点诠释:特别的,如果,,我们用、分别代替、,可得:如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).通常我们把上式写作:如果,,,(当且仅当时取等号“=”).要点三:基本不等式的几何意义如图,是圆的直径,点是上的一点

3、,,,过点作交圆于点D,连接、.易证,那么,即.这个圆的半径为,它大于或等于,即,其中当且仅当点与圆心重合,即时,等号成立.要点诠释:1.在数学中,我们称为的算术平均数,称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项,看作是正数的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.要点四:用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等. 一正:函数的解析式中,各项均为正数; 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; 三取等:函数的解析式中,

4、含变数的各项均相等,取得最值.要点诠释:1两个不等式:与成立的条件是不同的,前者要求a,b都是实数,后者要求a,b都是正数.如是成立的,而是不成立的.2两个不等式:与都是带有等号的不等式,对于“当且仅当时,取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b取等号,其含义是;仅当a=b取等号,其含义是.综合上述两条,a=b是的充要条件.3基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积的形式,则考虑使用平均不等式;若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值,则“和”有最小值,对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值,则“积”有最大值.4利用两个数的基本不等式求函数的最值必须

5、具备三个条件:各项都是正数;和(或积)为定值;各项能取得相等的值.5基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,在应用时一般按以下步骤进行:先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;在定义域内,求出函数的最大或最小值;写出正确答案.【典型例题】类型一:对公式及的理解例1.下列结论正确的是()A当x0且x1时,B当x0时,C当x2时,的最小值为2D当00且x1时,lg x的正负不确定,或;C中,当x2时,;D中,当0x2时,在(0,2上递增,.故选B.【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时,必须同时具备三个条

6、件:一“正”二“定”三“取等”,缺一不可.举一反三:【变式1】,给出下列推导,其中正确的有 (填序号).(1)的最小值为;(2)的最小值为;(3)的最小值为.【答案】(1);(2)(1),(当且仅当时取等号).(2),(当且仅当时取等号).(3),(当且仅当即时取等号),与矛盾,上式不能取等号,即【变式2】给出下面四个推导过程: ,; ,; , ; ,.其中正确的推导为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,符合基本不等式的条件,故推导正确.虽然,但当或时,是负数,的推导是错误的.由不符合基本不等式的条件,是错误的.由得均为负数,但在推导过程中,将整体提出负号后,均变为正数,符合基本不

7、等式的条件,故正确.选D.类型二:利用基本不等式证明不等式例2.已知,求证:【思路点拨】对于“和”式求最小值时,要设法配凑得“积”为定值,常采用“配分母”的办法.【解析】(当且仅当即,等号成立).【总结升华】注意凑出条件,再利用基本不等式证明.举一反三:【变式】已知、都是正数,求证:.【答案】、都是正数 ,(当且仅当即时,等号成立)故.例3. 已知、都是正数,求证:【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。【解析】、都是正数 (当且仅当时,取等号) (当且仅当时,取等号) (当且仅当时,取等号) (当且仅当时,取等号)即.【总结升华】 1. 在运用时,注意条件、均为正数,

8、结合不等式的性质,进行变形.2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时,三个式子才能相乘,最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中,常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.举一反三:【高清课堂:基本不等式392186 例题3】【变式】已知a0,b0,c0,求证:.【答案】证明:a0,b0,c0,.类型三:利用基本不等式求最值例4. 若,求的最小值.【解析】因为,由基本不等式得(当且仅当即时,取等号)故当时, 取最小值.【总结升华】1. 形如(,)的函数的最值可以用基本不等式求最值;2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数

9、,若为负数,则添负号变正.举一反三:【变式1】若,求的最大值.【答案】因为,所以, 由基本不等式得:,(当且仅当即时, 取等号)故当时,取得最大值.【变式2】已知,当取什么值时,函数的值最小?最小值是多少?【答案】,(当且仅当即时,取等号) 故当时,的值最小为18.例5. 已知x0,y0,且,求x+y的最小值.【思路点拨】要求的最小值,根据基本不等式,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请认真体会.【解析】方法一:,x0,y0,(当且仅当,即y=3x时,取等号)又,x=4,y=12当x=4,y=12时,x+y取最小值16.方法二:由,得x0,y0,y9y9,y90

10、,(当且仅当,即y=12时,取等号,此时x=4)当x=4,y=12时,x+y取最小值16.【总结升华】方法一是条件最值常用的变形方法,方法二利用了代数消元的方式变为函数的最值来求.举一反三:【变式1】若,且,求的最小值 .【答案】,,(当且仅当即,时,等号成立)(当且仅当,时,等号成立)故当,时,的最小值为64.【高清课堂:基本不等式392186 例题1】【变式2】已知x0,y0,且2xy1,则的最小值为_;【答案】 类型四:利用基本不等式解应用题例6. 围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的

11、进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).()将y表示为x的函数:()试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.【思路点拨】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型,然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题。【解析】()设矩形的另一边长为m,则由已知xa=360,得a=,所以y=225x+().当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.【总结升华】用均值不等式解决此类问题时

12、,应按如下步骤进行:(1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.举一反三:【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张卡240元.并规定不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次.某班有48名学生,教师准备组织学生集体冬泳,除需要购买若干张游泳卡外,每次去游泳还要包一辆汽车,无论乘坐多少学生,每次的包车费为40元.要使每个学生游8次,每人最少交多少钱?【答案】设购买x张游泳卡,活动开支为y元, 则(当且仅当x=8时取“=”)此时每人最少交80元.【变式2】 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位:)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?【解析】由题意可得,.于是,框架用料长度为.当,即时等号成立.此时,.故当约为2.343 m,约为2.828 m时用料最省.