1、2018-2019学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）与命题“若x3，则x22x30”等价的命题是（）A若x3，则x22x30B若x3，则x22x30C若x22x30，则x3D若x22x30，则x32（5分）在等比数列an中，若a2，a9是方程x2x60的两根，则a5a6的值为（）A6B6C1D13（5分）设xa0，则下列不等式一定成立的是（）Ax2axa2Bx2axa2Cx2a2axDx2a2ax4（5分）命题“xR，exx”的否定是（）AxR，exxBxR，exxCx
2、R，exxDxR，exx5（5分）不等式0的解集为（）Ax|x3Bx|x3Cx|x3Dx|x或x36（5分）命题甲：x2是命题乙：x24的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）函数yf（x）的图象如图所示，则导函数yf（x）的图象可能是（）ABCD8（5分）ABC中，a，b，c分别是角A，B、C所对应的边，a4，b4，A30，则B（）A60或120B60C30或150D309（5分）设实数a，b1，c，则（）AbacBcbaCabcDcab10（5分）已知x，y满足约束条件，则zx+3y的最小值为（）A0B2C6D811（5分）在等差数列an中，已知a6
3、+a70，且S110，则Sn中最大的是（）AS5BS6CS7DS812（5分）已知f（x）是可导函数，且f（x）f（x）对于xR恒成立，则（）ABf（0），f（0）Cf（0），f（0）Df（0），f（0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线f（x）2xex在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为 14（5分）若一元二次不等式ax22x+20的解集是（，），则a的值是 15（5分）已如双曲线C：1（a0）的右点为F，则点F到双线C的渐近线的距离 16（5分）已知两个正实数x，y满足+1，且恒有x+2ym2+7m，则实数m的取值范围 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解
4、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知an为等差数列，且a36，S630（1）求an的通项公式；（2）若等比数列bn满足b18，b2a1+a2+a3，求bn的前n项和公式18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）求角A的大小；（）若b+c10，SABC4，求a的值19（12分）已知f（x）x3+3ax2+bx+a2（a1）在x1时的极值为0求常数a，b的值并求f（x）的单调区间20（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）（a2），抛物线ymx2的焦点是（0，1），P是抛物线上的动点（）求抛物线的方程；（）若PA的最小值是2，求a的值21
5、（12分）已知椭圆C：+1（ab0）过点（，），（，1），直线l：xmy+10与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（）求椭圆C的标准方程；（）已知点A（，0），且A、M、N三点不共线，证明：向量与的夹角为锐角22（12分）已知函数f（x）x2a2lnx（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）在1，e上没有零点，求a的取值范围2018-2019学年陕西省咸阳市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）与命题“若x3，则x22x30”等价的命题是（）A若x3
6、，则x22x30B若x3，则x22x30C若x22x30，则x3D若x22x30，则x3【分析】原命题与逆否命题属于等价命题，写出命题的逆否命题得答案【解答】解：原命题与逆否命题属于等价命题，此命题的逆否命题是：若x22x30，则x3故选：C【点评】本题考查了四种命题间的逆否关系，是基础题2（5分）在等比数列an中，若a2，a9是方程x2x60的两根，则a5a6的值为（）A6B6C1D1【分析】利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解【解答】解：在等比数列an中，a2，a9是方程x2x60的两根，a5a6a2a96a5a6的值为6故选：B【点评】本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等
7、比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）设xa0，则下列不等式一定成立的是（）Ax2axa2Bx2axa2Cx2a2axDx2a2ax【分析】直接利用不等式性质ab，在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断【解答】解xa0，axa2，x2ax，x2axa2故选：B【点评】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题4（5分）命题“xR，exx”的否定是（）AxR，exxBxR，exxCxR，exxDxR，exx【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“xR，ex”的否定是：xR，exx故选：D
8、【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查5（5分）不等式0的解集为（）Ax|x3Bx|x3Cx|x3Dx|x或x3【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可【解答】解：不等式等价为，得，即|x3，即不等式的解集为x|x3，故选：C【点评】本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键6（5分）命题甲：x2是命题乙：x24的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】把x24转化为x2，由x2x2，x2推不出x2，得x2是x24的充分不必要条件【解答】解：x24x2，x2x2，x2推不出x2，x
9、2是x24的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键7（5分）函数yf（x）的图象如图所示，则导函数yf（x）的图象可能是（）ABCD【分析】根据f（x）0，函数f（x）单调递增；f（x）0时，f（x）单调递减，根据图形可得f（x）0，即可判断答案【解答】解：由函数图象可知函数在（，0），（0，+）上均为减函数，所以函数的导数值f（x）0，因此D正确，故选：D【点评】本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f（x）0时，函数f（x）单调递增；f（x）0时，f（x）单调递减8（5分）ABC中，a，b，c分别是角A，B、C所对
10、应的边，a4，b4，A30，则B（）A60或120B60C30或150D30【分析】根据正弦定理和大边对大角，可得答案【解答】解：由a4，b4，A30，可得BA30；正弦定理：，可得解得：sinB；0B，B60或120；故选：A【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题9（5分）设实数a，b1，c，则（）AbacBcbaCabcDcab【分析】利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可【解答】解：1，+1+，即bac，故选：A【点评】本题主要考查不等式的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键10（5分）已知x，y满足约束条件，则zx+3y的
11、最小值为（）A0B2C6D8【分析】画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值【解答】解：x，y满足约束条件表示的区域如图：由zx+3y，当直线经过图中A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，所以最小值为2；故选：B【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键11（5分）在等差数列an中，已知a6+a70，且S110，则Sn中最大的是（）AS5BS6CS7DS8【分析】由a6+a70，且S11（a1+a11）11a60，得到a60，a70，由此能求出Sn中最大的是S6【解答】解：在等差数列an中，a6+a70，且S110，S11（
12、a1+a11）11a60，a60，a70，Sn中最大的是S6故选：B【点评】本题考查等差数列中前n项和最大时项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（5分）已知f（x）是可导函数，且f（x）f（x）对于xR恒成立，则（）ABf（0），f（0）Cf（0），f（0）Df（0），f（0）【分析】由题意构造函数g（x），求导后可知函数g（x）为减函数，从而得到答案【解答】解：由f（x）f（x），得f（x）f（x）0，令g（x），则g（x）0g（x）在R上单调递减，即g（1）g（0），g（2018）g（0），f（0），故选：D【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造
13、函数是关键，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线f（x）2xex在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为45【分析】求得f（x）的导数，可得x0处的切线斜率，由斜率公式可得所求倾斜角【解答】解：f（x）2xex的导数为f（x）2ex，可得曲线在x0处的切线的斜率为k211，由ktan，（为倾斜角），则切线的倾斜角为45，故答案为：45【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和倾斜角，考查运算能力，属于基础题14（5分）若一元二次不等式ax22x+20的解集是（，），则a的值是12【分析】根据一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值【解答】解：
14、一元二次不等式ax22x+20的解集是（，），则和是一元二次方程ax22x+20的实数根，解得a12故答案为：12【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题15（5分）已如双曲线C：1（a0）的右点为F，则点F到双线C的渐近线的距离【分析】设F（c，0），求得双曲线的渐近线方程，结合双曲线的a，b，c的关系，由点到直线的距离公式，计算可得所求值【解答】解：设F（c，0），即a2+b2a2+3c2，双曲线的一条渐近线方程设为xay0，可得F到渐近线的距离为d，故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题16（
15、5分）已知两个正实数x，y满足+1，且恒有x+2ym2+7m，则实数m的取值范围（8，1）【分析】由已知x+2y（x+2y）（）4+可求最小值，然后由x+2ym2+7m恒成立可知（x+2y）minm2+7m，即可求解【解答】解：x0，y0，且+1，x+2y（x+2y）（）4+8当且仅当且+1，即y2，x4时取最小值8x+2ym2+7m，8m2+7m，解可得，8m1，故答案为：（8，1）【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的恒成立问题的转化思想的应用三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知an为等差数列，且a36，S630（
16、1）求an的通项公式；（2）若等比数列bn满足b18，b2a1+a2+a3，求bn的前n项和公式【分析】（1）设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则an的通项公式可求；（2）求出b2，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解【解答】解：（1）an为等差数列，设公差为d，由已知可得，解得a110，d2ana1+（n1）d2n12；（2）由b18，b2a1+a2+a3108624，等比数列bn的公比q，bn的前n项和公式22（3）n【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c
17、，且（）求角A的大小；（）若b+c10，SABC4，求a的值【分析】（）由正弦定理化简已知等式可得：sinC，结合sinC0，利用两角和的正弦函数公式可求sin（A+），结合范围A+（，），可求A的值（）利用三角形的面积公式可求bc16，进而根据余弦定理即可解得a的值【解答】解：（）由正弦定理可得：sinC，sinC0，sinA（1cosA），sinA+cosA2sin（A+），可得：sin（A+），A+（，），A+，可得：A，（）SABC4bcsinAbc，可得：bc16，b+c10，a2【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查
18、了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）已知f（x）x3+3ax2+bx+a2（a1）在x1时的极值为0求常数a，b的值并求f（x）的单调区间【分析】求导函数，利用函数在x1时的极值为0，建立方程组，可求常数a，b的值；由导数的正负，可得f（x）的单调区间【解答】解：f（x）3x2+6ax+b，由题意知，解得a2，b96分所以f （x）x3 +6x2 +9 x+4，f（x）3x2+12x+9由f（x）0可得x3或x1，所以增区间为（，3）和（1，+）由f（x）0可得3x1，所以减区间为（3，1）13分【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，属于中档题20（12分
19、）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，a）（a2），抛物线ymx2的焦点是（0，1），P是抛物线上的动点（）求抛物线的方程；（）若PA的最小值是2，求a的值【分析】（）根据抛物线的焦点直接代入计算即可，（）设P（x，y），可得PA2y（a2）2+4a44a4，即可求出a的值【解答】解：（）抛物线ymx2的焦点是（0，1），1，m抛物线的方程为：x24y（）设P（x，y），y0x24yPA2x2+（ya）24y+（ya）2y（a2）2+4a44a4，PA，PA的最小值是2，2a4【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了二次函数的运用，属于基础题21（12分）已知椭圆C：+1（ab0）过
20、点（，），（，1），直线l：xmy+10与椭圆C交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（）求椭圆C的标准方程；（）已知点A（，0），且A、M、N三点不共线，证明：向量与的夹角为锐角【分析】（）将题干中两点坐标代入椭圆C的方程，求出a和b的值，即可得出椭圆C的标准方程；（）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算，并结合A、M、N三点不共线，可证明出MAN是锐角【解答】解：（）将点（，），（，1）的坐标代入椭圆C的方程得，解得，所以，椭圆C的标准方程为；（）将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x并化简得（m2+2）y22my30，0恒成立，
21、由韦达定理得y1+y2（my1+）（my2+）+y1y2（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+0由于A、M、N三点不共线，因此，MAN是锐角【点评】本题考查直线与椭的综合问题，考查椭圆的方程，结合向量数量积的坐标运算进行考察，属于中等题22（12分）已知函数f（x）x2a2lnx（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）在1，e上没有零点，求a的取值范围【分析】（）求出f（x），解不等式f（x）0，f（x）0，即可求出f（x）的单调区间；（）用导数求出函数f（x）在区间1，e上没有零点，只需在1，e上f（x）min0或f（x）max0，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出【解答
22、】解：（）f（x）x （x0），令f（x）0，解得xa；令f（x）0，解得0xa，函数f（x）的单调增区间为（a，+），单调减区间为（0，a）（）要使f（x）在1，e上没有零点，只需在1，e上f（x）min0或f（x）max0，又f（1）0，只需在区间1，e上，f（x）min0当ae时，f（x）在区间1，e上单调递减，则f（x）minf（e）e2a20，解得0ae与ae矛盾当1ae时，f（x）在区间1，a）上单调递减，在区间（a，e上单调递增，f（x）minf（a）a2（12lna）0，解得0a，1a，当0a1时，f（x）在区间1，e上单调递增，f（x）minf（1）0，满足题意，综上所述，实数a的取值范围是：0a【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用