1、2018-2019学年陕西省汉中市汉台区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|log2x1，则AB（）A1，2B1，0，1，2C1，2，3D1，0，1，2，32（5分）已知复数，则的虚部是（）A1B1CiDi3（5分）在等差数列an中，已知a14，数列的前5项的和为50，则a10（）A27B29C31D334（5分）已知向量，满足|1，|，且，夹角为，则（+）（2）（）ABCD5（5分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）
2、A2BC3D6（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的A（）ABCD7（5分）二项式的展开式中x2的系数是（）A10B10C5D58（5分）如图，CD，BE分别是边长为4的等边ABC的中线，圆O是ABC的内切圆，线段OB与圆O交于点F在ABC中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）ABCD9（5分）若函数f（x）在R上是增函数，则a的取值范围为（）A（，1B（0，2）C（0，1D1，2）10（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A2BC1D11（5分）已知点A，B是抛物线C：y24x上的两点，且线段AB过抛物线C的焦点F，若AB的中点到y轴的距离为2，则|AB|（）A
3、2B4C6D812（5分）已知f（x），x1，3，且x1，x21，3，x1x2，2恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，B，+）C，+）D（，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡中的横线上13（5分）在正项等比数列an中，a1a39，a524，则公比q 14（5分）已知x，y满足约束条件，则zx+2y的最小值为 15（5分）已知f（x）4（0），在某一个最小正周期内，函数f（x）图象的一个最高点和最低点对应的横坐标分别为和，则 16（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则C1到平面B1D1E的距离等于 三、解答题：共70分，解答应写
4、出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知在ABC中，AC3，C120，cosAsinB（1）求边BC的长（2）设D为AB边上一点，且BCD的面积为，求sinBDC18（12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，BAD，且平面SAD平面ABCD，SASD2（1）证明：ADSB（2）求二面角ASBD的余弦值19（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：1
5、00分）数据，统计结果如表所示组别40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）男235151812女051010713（1）若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的22列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”视频率为概率在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为了鼓励市民关注环保针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动，每次抽奖获得
6、红包的金额和对应的概率如表：红包金额（单位：元）1020概率现某市民要参加此次问卷调查记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期望附表及公式，na+b+c+dP（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为点A，若AF1F2是面积为4的等边三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知M，N是椭圆C上的两点，且|MN|4，求使OMN的面积最大时直线MN的方程（O为坐标原点）21（12分）已知函
7、数f（x）（1）当a时，求f（x）的单调区间（2）若f（x）在x1处取得极大值，求a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a0，t为参数）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：（R）（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为yx，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若OMN的面积为2，求a的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+3|+|xa|（a0）（1）当a1时，求不
8、等式f（x）4的解集（2）若不等式f（x）7的解集包含a，3，求a的取值范围2018-2019学年陕西省汉中市汉台区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|log2x1，则AB（）A1，2B1，0，1，2C1，2，3D1，0，1，2，3【分析】Bx|log2x1x|0x2，可直接求出AB【解答】解：Bx|log2x1x|0x2，A1，0，1，2，3，AB1，2故选：A【点评】本题考查了解对数不等式和交集的运算，熟练掌握对数的运算性质是解题
9、关键，属基础题2（5分）已知复数，则的虚部是（）A1B1CiDi【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案【解答】解：，则则的虚部是1，故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（5分）在等差数列an中，已知a14，数列的前5项的和为50，则a10（）A27B29C31D33【分析】由已知列式求得等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求解a10【解答】解：设等差数列an的公差为d，由a14，数列的前5项的和为50，得，解得d3a10a1+9d4+9331故选：C【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题4（5分）已知向量，满足
10、|1，|，且，夹角为，则（+）（2）（）ABCD【分析】按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得【解答】解：（+）（2）222+23+1故选：A【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题5（5分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A2BC3D【分析】求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值【解答】解：双曲线（a0，b0）的渐近线方程为yx，由题意可得，即ba，即有双曲线的e2故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题6（5分）执行如图所示的
11、程序框图，则输出的A（）ABCD【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况可得答案【解答】解：A1，n1，第一次执行循环体后，n2，A0.5A，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，n3，A0.5A（）2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，n4，A0.5A（）3，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，n5，A0.5A（）4，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，n6，A0.5A（）5，满足退出循环的条件；故输出A值为，故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论
12、，是基础题7（5分）二项式的展开式中x2的系数是（）A10B10C5D5【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数【解答】解：二项式的展开式中，通项公式为 Tr+1（1）r，令2，求得r3，可得 x2的系数是（1）10，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题8（5分）如图，CD，BE分别是边长为4的等边ABC的中线，圆O是ABC的内切圆，线段OB与圆O交于点F在ABC中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）ABCD【分析】由几何概型中的面积型及扇形的面积公式可得：“此点取自图中阴影部分”
13、为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），得解【解答】解：由题意可知：ABC的内切圆的半径为4，又DOB，所以S阴，又SABC4，设“此点取自图中阴影部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A），故选：A【点评】本题考查了几何概型中的面积型及扇形的面积公式，属中档题9（5分）若函数f（x）在R上是增函数，则a的取值范围为（）A（，1B（0，2）C（0，1D1，2）【分析】根据f（x）在R上是增函数即可得出，y（2a）2x在1，+）上是增函数，yax+1在（，1）上是增函数，且（2a）2a+1，从而得出，解出a的范围即可【解答】解：f（x）在R上是增函数；解得0a1；a的取值范围为：（
14、0，1故选：C【点评】考查指数函数、一次函数和分段函数的单调性，增函数的定义10（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A2BC1D【分析】画出图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：如图所示，三棱锥PABC，则三棱锥的体积V故选：D【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（5分）已知点A，B是抛物线C：y24x上的两点，且线段AB过抛物线C的焦点F，若AB的中点到y轴的距离为2，则|AB|（）A2B4C6D8【分析】由题意先求出抛物线的参数p，由于直线过焦点，先利用中点的坐标公式求出x1+x2，利用弦长公式x1+x
15、2+p求出AB的长【解答】解：因为抛物线为y24x，所以p2设A、B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则2即x1+x24，故|AB|x1+x2+p4+26故选：C【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质，抛物线的定义及其焦点弦弦长公式，中点坐标公式，属于中档题12（5分）已知f（x），x1，3，且x1，x21，3，x1x2，2恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，B，+）C，+）D（，【分析】由题意可得g（x）2x在x1，3递减，求得g（x）的导数，可得g（x）20在x1，3恒成立，再由参数分离和导数，判断单调性，可得最值，即可得到所求范围【解答】解：x1，x
16、21，3，x1x2，2即0恒成立，即有g（x）f（x）2x，即g（x）2x在x1，3递减，可得g（x）20在x1，3恒成立，可得x1上式恒成立；当1x3时，的最小值，由y的导数为y0，可得y在（1，3为减函数，即有x3时，取得最小值，即为，即a，故选：D【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，以及构造函数法，考查导数的运用，以及化简运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在答题卡中的横线上13（5分）在正项等比数列an中，a1a39，a524，则公比q2【分析】运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比【解答】解：在正项等比数列an中，a1a39，a524，
17、可得a12q29，a1q424，解得q2，a1，（负的舍去）故答案为：2【点评】本题考查等比数列的通项公式和方程思想，属于基础题14（5分）已知x，y满足约束条件，则zx+2y的最小值为8【分析】由约束条件作差可行域，求得最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作差可行域如图，联立，解得A（2，3），由图可知，当直线zx+2y过A时，z有最小值为2+238故答案为：8【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题15（5分）已知f（x）4（0），在某一个最小正周期内，函数f（x）图象的一个最高点和最低点对应的横坐标分别为和，则1【分析】由题意求得周期
18、，再由周期公式求解值【解答】解：由题意可得，则T，2，即1故答案为：1【点评】本题考查正弦型函数周期的求法，是基础题16（5分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则C1到平面B1D1E的距离等于【分析】根据题意画出图形，结合图形求出B1D1E的边长和面积，再利用求得点C1到平面B1D1E的距离【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，E是棱BC的中点，B1D1E中，B1D12，B1E，D1E3，cosB1ED1，sinB1ED1，33；设点C1到平面B1D1E的距离为h，由，即3h222，解得h故答案为：【点评】本题考查了点到平面的距离计算问题，也考查
19、了三棱锥体积计算问题，是中档题三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知在ABC中，AC3，C120，cosAsinB（1）求边BC的长（2）设D为AB边上一点，且BCD的面积为，求sinBDC【分析】（1）利用三角函数关系式的变换可求tanB，求得B，A的值，可求BC的值（2）由三角形的面积公式可求得BD，利用余弦定理可求CD，根据正弦定理即可求解sinBDC的值【解答】解：（1）由cosAsin B及C120，得cos（60B）sin B，展开得c
20、osB+sinBsinB0，即sinBcos B，tanB，所以B30从而A60B30，即AB30，所以BCAC3（2）由SBCD，解得BD，在BCD中，CD2BC2+BD22BCBDcosB，所以CD，由，可得：，所以sinBDC【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，BAD，且平面SAD平面ABCD，SASD2（1）证明：ADSB（2）求二面角ASBD的余弦值【分析】（1）取AD中点为O，连接SO，BO，可证明AD平面
21、SBO，即可得ADSB（2）以O为原点激励空间直角坐标系Oxyz，求得平面SDB的法向量及平面ASB的法向量，即可【解答】证明：（1）取AD中点为O，连接SO，BO，在SAD中，SASD，O是AD的中点，则SOAD，又底面ABCD是菱形，BAD60，BOAD又SOBOO，AD平面SBO；ADSB解：（2）以O为原点激励空间直角坐标系Oxyz，则A（2，0，0），B（0，2，0），D（2，0，0），S（0，0，2），设平面SDB的法向量为设面ASB的法向量为cos二面角ASBD为锐角二面角ASBD的余弦值为【点评】本题考查了空间线线垂直、二面角求解，属于中档题19（12分）某市环保部门对该市市民
22、进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示组别40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）男235151812女051010713（1）若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的22列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”视频率为概率在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为了鼓励
23、市民关注环保针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动，每次抽奖获得红包的金额和对应的概率如表：红包金额（单位：元）1020概率现某市民要参加此次问卷调查记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期望附表及公式，na+b+c+dP（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题目所给的数据可求22列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论（2）由相互独立事件的概率可得男“环保
24、达人”又有女“环保达人”的概率：P1（）3（）3，解出X的分布列数学期望E（X）即可；【解答】解：（1）由图中表格可得22列联表如下： 男 10 4555 女 15 30 45 合计 2575100规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，将22列联表中的数据代入公式，na+b+c+d计算得：3.033.841；所以在犯错误的概率不超过0.05的前下，不能认为是否为环保关注者”与性别有关，（2）视频率为概率，用户为男“环保达人”的概率为：，为女“环保达人”的概率为：，抽取的3名用户中既有男“环保达人“又有女“环保达人”的概率为：P1（）3（）3，X的取值为：10，20，30，40；P（
25、X10）；P（X20）+；P（X30）C21；P（X40）；所以X的分布列为：X 10 20 30 40 P E（X）10+20+30+40【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目20（12分）已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为点A，若AF1F2是面积为4的等边三角形（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知M，N是椭圆C上的两点，且|MN|4，求使OMN的面积最大时直线MN的方程（O为坐标原点）【分析】（1）可得，a4即可椭圆C的标准方程；（2）设MN：ykx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由题意可设直l的方
26、程为：ykx+m，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用三角形的面积计算公式即可得出SOMN即可得出【解答】解：（1）AF1F2是面积为4的等边三角形，a4椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，当MNx轴时，且|MN|4，则MN为椭圆的短轴，不符合题意故设MN：ykx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由得：（3+4k2）x2+8mkx+4（m212）0064m2k216（3+4k2）（m212）012+16k2m20且x1+x2，x1x2|MN|4，k2+11，3m24原点O到直线MN的距离为d，OMN的面积为S|MN|d2d当d最大时，OMN的面积最大m2（4m2）4（m22）2
27、，而3m24当m23时，d2取得最大值，OMN的面积最大值S2d6把m23代入，可得k0，m即直线MN的方程为y【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于中档题21（12分）已知函数f（x）（1）当a时，求f（x）的单调区间（2）若f（x）在x1处取得极大值，求a的取值范围【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+），把a代入函数解析式，求出导函数，利用导函数的零点对定义域分段，可得原函数的单调区间；（2）f（x）对a分类求解可得使f（x）在
28、x1处取得极大值的a的取值范围【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+），当a时，f（x），f（x）令f（x）0，解得x或x1若x（0，）（1，+），f（x）0，若x（），f（x）0，f（x）的单调减区间为（），增区间为（0，），（1，+）；（2）f（x）当a0时，（a+1）x+a0，令f（x）0，得0x1；令f（x）0，得x1，f（x）在x1处取得极大值；当a1时，（a+1）x+a0，由可知，f（x）在x1处取得极大值；当a时，f（x）0，f（x）无极值；当1a时，令f（x）0，得0x1或x，令f（x）0，得1xf（x）在x1处取得极大值；当a0时，令f（x）0，得0x或x1，令f（x）
29、0，得x1f（x）在x1处取得极小值综上，a的取值范围为（，）（0，+）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a0，t为参数）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：（R）（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为yx，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若OMN的面积为2，求a的值【分析】（1）
30、直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值【解答】解：（1）曲线C1：（a0，t为参数）转换为直角坐标方程为：（xa）2+y2a2，该曲线为以（a，0）为圆心a为半径的圆圆的极坐标方程为2acos（2）直线C3的方程为yx，转换为极坐标方程为：将代入2cos，解得：，则：，解得：a2【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力属于基础题型选修4-5：不等式选讲23已知函数f（
31、x）|x+3|+|xa|（a0）（1）当a1时，求不等式f（x）4的解集（2）若不等式f（x）7的解集包含a，3，求a的取值范围【分析】（1）运用分类讨论思想和不等式解法可得所求解集；（2）由题意可得xa，3时，f（x）7恒成立，求得f（x）的最大值，解不等式可得a的范围【解答】解：（1）f（x）|x+3|+|x1|，即有|x+3|+|x1|4，可得或或，解得x1或x3，则解集为x|x1或x3；（2）不等式f（x）7的解集包含a，3，可得xa，3时，f（x）7恒成立，由a0，|x+3|+|xa|x+3+xa2x+3a7，可得2x+3a的最大值为9a，由9a7，可得a2，又a3，可得2a3【点评】本题考查绝对值不等式的解法和集合的包含关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题