1、2018-2019学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题(本大共12小题,每小题5分,共60分,在毎小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1（5分）已知复数z满足z2i1（其中i为虚数单位），则|z|（）A1B1CD2（5分）已知函数f（x）在xx0处的导数为1，则（）A1B1C3D33（5分）某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种A8B15C18D304（5分）下列求导计算正确的是（）A（）B（log2x）C（2x）2xD（xsinx）cosx5（5分
2、）（）4的展开式中的常数项为（）A12B6C6D126（5分）若随机变量XN（3，2），且P（X5）0.2，则P（1X5）（）A0.6B0.5C0.4D0.37（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）Vr3，观察发现VS则由四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W（）A4r4B4r2C2r4Dr48（5分）曲线y与直线y5x围成的平面图形的面积为（）ABCD9（5分）甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，事件B为“甲独自去一个
3、景点，乙、丙去剩下的景点”，则P（A|B）等于（）ABCD10（5分）已知x，y的线性回归直线方程为0.82x+1.27，且x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的为（）x0123y0.8m3.14.3A变量x，y之间呈现正相关关系B可以预测当x5时，y5.37Cm2.09D由表格数据可知，该回归直线必过点（1.5，2.5）11（5分）现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位那么坐在座位号为3的
4、座位上的是（）A甲B乙C丙D丁12（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），且对任意xR都有f（x）2，f（1）3，则不等式f（x）2x10的解集为（）A（，1）B（1，+）C（0，+）D（，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知复数z11+ai（aR），z21+2i，若为纯虚数，则a 14（5分）已知随机变量X的分布列为P（Xk）（k1，2，3，4），则a等于 15（5分）某校从6名教师中选派3名教师去完成3项不同的工作，每人完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种16（5分）已知函数f（x）在1，+）上
5、是减函数，则实数a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目（）3名女生相邻，有多少种不同的站法？（）女生甲不能站在最左端，有多少种不同的站法？18（12分）已知函数f（x）x33ax+2，曲线yf（x）在x1处的切线方程为3x+y+m0（）求实数a，m的值；（）求f（x）在区间1，2上的最值19（12分）某社区为了解居民参加体育锻炼的情况，从该社区随机抽取了18名男性居民和12名女性居民，对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调査现按是否参加体育锻炼将居民分成两类：甲类（不参加体育锻炼）、
6、乙类（参加体育锻炼），结果如表：甲类乙类男性居民315女性居民66（）根据上表中的统计数据，完成下面的22列联表；男性居民女性居民总计不参加体育锻炼参加体育锻炼总计（）通过计算判断是否有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？附：参考公式K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.01k02.7063.8416.63520（12分）已知数列an满足：nan+1（n+2）（an1），且a16（1+1）（21+1）（）求a2，a3，a4，的值，并猜想数列an的通项公式；（）试用数学归纳法证明（）中的猜想21（12分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔
7、相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与数学期望22（12分）已知函数f（x）te2x+（t+2）ex1，tR（）当t1时，求f（x）的单调区间与极值；（）当t0时，若函
8、数g（x）f（x）4exx+1在R上有唯一零点，求t的值2018-2019学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题(本大共12小题,每小题5分,共60分,在毎小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1（5分）已知复数z满足z2i1（其中i为虚数单位），则|z|（）A1B1CD【分析】把已知等式变形，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由z2i1，得z1+2i，|z|故选：D【点评】本题考查复数模的求法，是基础题2（5分）已知函数f（x）在xx0处的导数为1，则（）A1B1C3D3【分析】根据题意，由极限的运算性质可得，结合导数的定义分析可得答案【解答
9、】解：根据题意，f（x0）1，故选：B【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的运算性质，属于基础题3（5分）某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种A8B15C18D30【分析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+58种结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+
10、58种结果，故选：A【点评】本题看出分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果4（5分）下列求导计算正确的是（）A（）B（log2x）C（2x）2xD（xsinx）cosx【分析】根据题意，依次对选项的函数求导，分析即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（），故A错误；对于B、（log2x），B正确；对于C、（2x）2xln2，故C错误；对于D、（xsinx）（x）sinx+x（sinx）sinx+xcosx，故D错误；故选：B【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式以及法则5（5分）（）4的展开式中
11、的常数项为（）A12B6C6D12【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：（）4的展开式中的通项公式为Tr+1（1）rx2r4，令2r40，求得r2，可得展开式中的常数项为6，故选：C【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题6（5分）若随机变量XN（3，2），且P（X5）0.2，则P（1X5）（）A0.6B0.5C0.4D0.3【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解【解答】解：随机变量XN（3，2），且P（X5）0.2，P（1X5）12P（X5）120.20.6故选：A【点评】本题考查正
12、态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题7（5分）二维空间中圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2，观察发现Sl；三维空间中球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）Vr3，观察发现VS则由四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W（）A4r4B4r2C2r4Dr4【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到WV，从而求出所求【解答】解：二维空间中圆的一维测度（周长）l2r，二维测度（面积）Sr2，观察发现Sl三维空间中球的二维测度（表面积）S4r2，三维测度（体积）Vr3
13、，观察发现VS四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W，则WV8r3；W2r4故选：C【点评】本题考查类比推理，解题的关键是理解类比的规律，解题的关键主要是通过所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是低一维的测度，属于基础题8（5分）曲线y与直线y5x围成的平面图形的面积为（）ABCD【分析】联立，解得两曲线的交点为（1，4），（4，1），所以两曲线围成的面积为y5x在1，4上的积分【解答】解：如图：联立，解得，两曲线的交点坐标为（1，4），（4，1），所以两曲线围成的图形的面积为S（5x4lnx）|故选：D【点评】本题考查了定积分，找到积分区间和被积函数是解决此类问题的
14、关键本题属于基础题9（5分）甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，事件B为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则P（A|B）等于（）ABCD【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论【解答】解：甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，可能性为224所以甲独自去一个景点的可能性为32212因为三个人去的景点不同的可能性为3216，所以P（A|B）故选：C【点评】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键10（5分）已知x，y的
15、线性回归直线方程为0.82x+1.27，且x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的为（）x0123y0.8m3.14.3A变量x，y之间呈现正相关关系B可以预测当x5时，y5.37Cm2.09D由表格数据可知，该回归直线必过点（1.5，2.5）【分析】A中，根据线性回归直线方程中回归系数0.820，判断x，y之间呈正相关关系；B中，利用回归方程计算x5时的值即可预测结果；C中，计算、，代入回归直线方程求得m的值；D中，由题意知m1.8时求出、，可得回归直线方程过点（，）【解答】解：已知线性回归直线方程为0.82x+1.27，0.820，所以变量x，y之间呈正相关关系，A正确；计算x5
16、时，0.825+1.275.37，即预测当x5时y5.37，B正确；（0+1+2+3）1.5，（0.8+m+3.1+4.3），代入回归直线方程得0.821.5+1.27，解得m1.8，C错误；由题意知m1.8时，1.5，2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D正确故选：C【点评】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题11（5分）现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求，甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位那么坐在座位号为3
17、的座位上的是（）A甲B乙C丙D丁【分析】先阅读再进行简单的合情推理得：乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；可得：坐在座位号为3的座位上的是乙或丙，若坐在座位号为3的座位上的是乙，则坐在座位号为2的座位上的是丙，则坐在座位号为4的座位上的是丁，则坐在座位号为1的座位上的是甲，与题设矛盾，若坐在座位号为3的座位上的是丙，则坐在座位号为2的座位上的是乙，则坐在座位号为1的座位上的是丁，则坐在座位号为4的座位上的是甲，与题设相符，得解【解答】解：由已知乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；可得：坐在座位号为3的座位上的是乙或丙，若坐在座位号为3的座位上的是乙，则坐在座
18、位号为2的座位上的是丙，则坐在座位号为4的座位上的是丁，则坐在座位号为1的座位上的是甲，与题设矛盾，若坐在座位号为3的座位上的是丙，则坐在座位号为2的座位上的是乙，则坐在座位号为1的座位上的是丁，则坐在座位号为4的座位上的是甲，与题设相符，综合得：坐在座位号为3的座位上的是丙，故选：C【点评】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题12（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），且对任意xR都有f（x）2，f（1）3，则不等式f（x）2x10的解集为（）A（，1）B（1，+）C（0，+）D（，0）【分析】由题意构造函数g（x）f（x）2x1，求导可得g（x）在（，+）上为增
19、函数，则不等式f（x）2x10g（x）g（1），由此可得不等式f（x）2x10的解集【解答】解：令g（x）f（x）2x1，则g（x）f（x）20，g（x）在（，+）上为增函数，又g（1）f（1）30，不等式f（x）2x10g（x）g（1），可得x1不等式f（x）2x10的解集为（1，+）故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，正确构造函数是关键，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知复数z11+ai（aR），z21+2i，若为纯虚数，则a【分析】把z11+ai（aR），z21+2i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用
20、实部为0且虚部不为0求解【解答】解：z11+ai（aR），z21+2i，由为纯虚数，得2a+10，即a故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14（5分）已知随机变量X的分布列为P（Xk）（k1，2，3，4），则a等于5【分析】根据概率和为1，建立方程，进而得到a的数值【解答】解：由题意，（1+2+3+4）1，a5故答案为：5【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与分布列的性质，本题考查用解方程的数学思想解决分布列问题，此题是一道基础题15（5分）某校从6名教师中选派3名教师去完成3项不同的工作，每人完成一项，每项工作由1人完成，其中甲
21、和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有48种【分析】按照以下两种情况考虑：（1）甲和丙同去；（2）甲和丙同不去分别计算即可【解答】解：按照以下两种情况考虑：（1）甲和丙同去，因此先选择两个地方将甲和丙同时派去，再从剩下的四个人中找一个去剩下的一个地方，有24种方案；（2）甲和丙同不去，因此从剩下的四个人中选出三个人分配到三个地方去，有种方案故共有24+2448种方案【点评】本题主要考查排列和组合，属于容易题16（5分）已知函数f（x）在1，+）上是减函数，则实数a的取值范围是（，2【分析】依题意可知将函数f（x）在1，+）上是减函数转化成f（x）0在1，+）上恒成立将以上问题转化成a2x2
22、+4x在1，+）上恒成立，转化成求h（x）2x2+4x在1，+）上最小值为，进而得到a的范围【解答】解：函数f（x）在1，+）上是减函数f（x）0在1，+）上恒成立即2x24x+a0在1，+）上恒成立a2x2+4x在1，+）上恒成立令h（x）2x2+4x，开口向上，对称轴是x1h（x）在1，+）上是减函数，最小值为h（1）2a2故答案为：（，2【点评】本题考查了利用导数研究函数单调性问题，转化化归思想和恒成立问题的处理是核心，也是一种常见的题型，常规的方法属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排
23、表演节目（）3名女生相邻，有多少种不同的站法？（）女生甲不能站在最左端，有多少种不同的站法？【分析】（）根据相邻问题与捆绑即可求出，（）根据特殊位置优先安排即可求出【解答】解：（）3名女生相邻可以把3名女生作为一个元素，和4名男生共有5个元素排列，有120种情况，其中3名女生内部还有一个排列，有6种情况，一共有1206720种不同的站法；（）女生甲不能站在最左端，从不包含甲的另外6人任选1人排在最左端，其余的人全排，故有A61A664320钟【点评】本题考查了排列问题，相邻问题和特殊位置问题，属于基础题18（12分）已知函数f（x）x33ax+2，曲线yf（x）在x1处的切线方程为3x+y+m
24、0（）求实数a，m的值；（）求f（x）在区间1，2上的最值【分析】（）由已知可得，解得a，m即可（）由导数可得f（x）在1，上单调递减，在（，2单调递增即可求解【解答】解：（）f（x）3x23a，曲线f（x）x23ax+2在x1处的切线方程为3x+y+m0，解得a2，m0（）由（）知f（x）x36x+2f（x）3x26，令f（x）0，得xf（x）在1，上单调递减，在（，2单调递增又f（1）3，f（2）24f（x）在区间1，2上的最大值为2，最小值为24【点评】本题考查了导数的应用，属于中档题19（12分）某社区为了解居民参加体育锻炼的情况，从该社区随机抽取了18名男性居民和12名女性居民，对他
25、们参加体育锻炼的情况进行问卷调査现按是否参加体育锻炼将居民分成两类：甲类（不参加体育锻炼）、乙类（参加体育锻炼），结果如表：甲类乙类男性居民315女性居民66（）根据上表中的统计数据，完成下面的22列联表；男性居民女性居民总计不参加体育锻炼参加体育锻炼总计（）通过计算判断是否有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？附：参考公式K2，其中na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.01k02.7063.8416.635【分析】（）根据题目所给的数据填写22列联表即可；（）计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论【解答】解：（）根据上表中的统计数据，填写的22列联表如下男性居
26、民女性居民总计不参加体育锻炼369参加体育锻炼15621总计181230（）附：参考公式K23.812.706，其中na+b+c+d有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关，【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目20（12分）已知数列an满足：nan+1（n+2）（an1），且a16（1+1）（21+1）（）求a2，a3，a4，的值，并猜想数列an的通项公式；（）试用数学归纳法证明（）中的猜想【分析】（）利用数列的递推关系式直接求a2，a3，a4，的值，并猜想数列an的通项公式；（）利用数学归纳法证明步骤直接证明（）中的猜想【解答】解：（）由递推公式
27、可得a215，a328，a445，猜想an（n+1）（2n+1）2n2+3n+1（）下面用数学归纳法证明猜想成立当n1时，猜想显然成立；假设当nk（k1）时猜想成立，即a2k2+3k+1，则nk+1时，由kak+1（k+2）（ak1），可得ak+1（2k+3）（k+2）2（k+1）2+3（k+1）+1即当nk+1时，猜想也成立，由可知，an2n2+3n+1对任意nN+均成立【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，是基本知识的考查21（12分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉
28、子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与数学期望【分析】（1）记“小球落入4号容器”为事件A，要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左由此能求出小球落入4号容器的概率（2）落入4号容器的小球个数X的可能取值为0，1，2，3分
29、别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（1）记“小球落入4号容器”为事件A，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左理论上，小球落入4号容器的概率是（3分）（2）落入4号容器的小球个数X的可能取值为0，1，2，3，X的分布列为：X0123P（7分）（9分）故落入4号容器的小球个数X的数学期望为 （10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（12分）已知函数f（x）te2x+（t+2）ex1，tR（）当t1时，求f（x）的单调区间与极值；（）当t
30、0时，若函数g（x）f（x）4exx+1在R上有唯一零点，求t的值【分析】（）依题意 t1则可知f（x）e2x+ex1，则f（x）2e2x+exex（12ex）利用导数求单调性和极值的常规方法即可求出结果（）当t0时，函数g（x）f（x）4exx+1te2x+（t2）exx，利用导数的方法可得g（x）的单调递减区间是（，lnt），单调递增区间是（lnt，+） g（x）的极小值是g（lnt）只有g（lnt）0，即lnt+10时，能满足题意； 构造函数F（t）lnt+1，则F（t）+0，F（t）lnt+1在（0，+）上单调递增，从而确定t1时有唯一的零点，满足题意得出结果【解答】解：（）当t1时，
31、f（x）e2x+ex1，则f（x）2e2x+exex（12ex）令f（x）0，解得xln2f（x）的单调递增区间是（，ln2），单调递减区间是（ln2，+）f（x）的极大值是f（ln2），无极小值（）当t0时，g（x）f（x）4exx+1te2x+（t2）exxg（x）2te2x+（t2）ex1（tex1）（2ex+1）0，解得xlntg（x）的单调递减区间是（，lnt），单调递增区间是（lnt，+）g（x）的极小值是g（lnt）g（lnt）0，即lnt+10时，能满足题意令F（t）lnt+1，则F（t）+0F（t）lnt+1在（0，+）上单调递增，唯有t1时，F（1）0t1【点评】本题考查了利用导数求单调性、极值、零点问题；有一定的综合性；构造新函数，灵活利用导数的知识判断函数单调性以及分析零点的唯一性是关键属于偏难题