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2018-2019学年陕西省渭南市白水县高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019学年陕西省渭南市白水县高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)若ab0,则()ABa3b3Cabb2Dacbc2(5分)命题:“若|x|+|y|0,则x0或y0”的逆否命题是()A若|x|+|y|0,则x0且y0B若|x|+|y|0,则x0或y0C若x0且y0,则|x|+|y|0D若x0且y0,则|x|+|y|03(5分)不等式的解集是()ABCD4(5分)命题“”的否定是()AxR,BxR,lnx0CD5(5分)ABC的角A、B、C的对边分别是a、b、c,满足条件“”的三

2、角形的解的个数是()A2B1C0D不能确定6(5分)已知等比数列an,则下面对任意正整数k都成立的是()Aakak+10Bakak+20Cakak+1ak+20Dakak+307(5分)已知向量(1,2,1),(0,1,2),则平面ABC的一个法向量可以是()A(5,2,1)B(6,2,2)C(3,1,2)D(4,3,1)8(5分)“1k5且k3”是”方程表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9(5分)设M(a+1)(a3),N2a(a2),则()AMABMNCMNDMN10(5分)设实数x,y满足约束条件,则z3x+y的最小值为()A1B2C3D61

3、1(5分)关于x的方程x2(a1)x+40在区间1,3内有两个不等实根,则实数a的取值范围是()A(4,5B3,6C(5,D)12(5分)已知椭圆C:x2+4y24的左右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆与椭圆C在第一象限的交点为P,若直线F1P与该圆相切,则直线F1P的斜率为()ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13(5分)若等差数列an中,a2+a5+a89,则a1+a9 14(5分)在四面体ABCD中,E、G分别是CD、BE的中点,若,则x+y+z 15(5分)设实数满足m0,n0,且,则4m+n的最小值为 16(5分)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2

4、,点P是双曲线E右支上的一点,若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点,则双曲线E的离心率为 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)过抛物线y24x的焦点,倾斜角为的直线l交此抛物线于A、B两点(1)求直线l的方程;(2)求|AB|18(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an的通项公式;(2)设等比数列bn的前n项和为Tn,若q0且b3a3,T26,求Tn19(12分)已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1:4x2+9y236的两个焦点是一个正方形的四个顶点,且椭圆C过点A(2,3)(1)求椭圆C的方程;(2)若P

5、Q是椭圆C的弦,O是坐标原点,OPOQ,已知直线OP的斜率为,求点Q的坐标20(12分)如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)求二面角PABD的大小21(12分)已知海岛B在海岛A北偏东45,且与A相距20海里,物体甲从海盗B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动,同时物体乙从海岛A以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15方向移动(1)求经过多长时间,物体甲在物体乙的正东方向;(2)求甲从海岛B到达海岛A的过程中,甲乙两物体的最短距离22(12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1,AA1平面ABC,M,N分别为线段A

6、B,CB1的中点,ACBC1,AA12()求证:MN平面ACC1A1;()求直线MN与平面BCC1B1所成的角的余弦值2018-2019学年陕西省渭南市白水县高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(5分)若ab0,则()ABa3b3Cabb2Dacbc【分析】根据不等式的性质即可求出【解答】解:ab0,abb2,故选:C【点评】本题考查了不等式的性质,属于基础题2(5分)命题:“若|x|+|y|0,则x0或y0”的逆否命题是()A若|x|+|y|0,则x0且y0B若|x|+|y|

7、0,则x0或y0C若x0且y0,则|x|+|y|0D若x0且y0,则|x|+|y|0【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可【解答】解:由逆否命题的定义得命题的逆否命题为:若x0且y0,则|x|+|y|0,故选:D【点评】本题主要考查四种命题之间的关系,结合逆否命题的定义是解决本题的关键比较基础3(5分)不等式的解集是()ABCD【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式进行求解即可【解答】解:不等式等价为0,即,即,即x3或x,即不等式的解集为,故选:D【点评】本题主要考查分式不等式的求解,转化为一元二次不等式是解决本题的关键4(5分)命题“”的否定是()AxR,BxR,lnx0CD【分析】根据

8、特称命题的否定是全称命题,写出命题P的否定p即可【解答】解:命题“”,它的否定是:“xR,lnx”故选:A【点评】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题,解题时应根据特称命题的否定是全称命题,直接写出答案即可,是基础题5(5分)ABC的角A、B、C的对边分别是a、b、c,满足条件“”的三角形的解的个数是()A2B1C0D不能确定【分析】由正弦定理求得B有2个值,三角形的解有2个【解答】解:ABC中,a1,b,A,由正弦定理得,解得sinB,又ba,B或,三角形的解有2个故选:A【点评】本题考查了解三角形的应用问题,是基础题6(5分)已知等比数列an,则下面对任意正整数k都成立的是()Aakak

9、+10Bakak+20Cakak+1ak+20Dakak+30【分析】根据题意,结合等比数列的性质依次分析选项,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,当q0时,ak与ak+1异号,则akak+10,A 错误;对于B,akak+2akakq2(akq)20,B正确;对于C,akak+1ak+2(ak+1)3,则akak+1ak+20不一定成立,C错误;对于D,akak+3ak2q3,则akak+30不一定成立,D错误;故选:B【点评】本题考查等比数列的性质,注意等比中项的性质,属于基础题7(5分)已知向量(1,2,1),(0,1,2),则平面ABC的一个法向量可以是()A(5

10、,2,1)B(6,2,2)C(3,1,2)D(4,3,1)【分析】平面ABC的一个法向量与向量,的数量积都为0【解答】解:由(1,2,1),(0,1,2),知:在A中,平面ABC的一个法向量可以是(5,2,1),故A正确;在B中,故B错误;在C中,故C错误;在D中,故D错误故选:A【点评】本题考查平面的法向量的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意法向量的性质的合理运用8(5分)“1k5且k3”是”方程表示椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的定义求出k的取值范围,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:若方程表示椭圆,则

11、,即,即1k5且k3,则“1k5且k3”是”方程表示椭圆”的充要条件,故选:C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合椭圆方程的定义求出k 的范围是解决本题的关键9(5分)设M(a+1)(a3),N2a(a2),则()AMABMNCMNDMN【分析】利用作差法,进行比较即可【解答】解:NM2a(a2)(a+1)(a3)2a24a(a22a2)a22a+2(a1)2+10,即MN,故选:C【点评】本题主要考查不等式大小的比较,利用作差法结合配方法是解决本题的关键10(5分)设实数x,y满足约束条件,则z3x+y的最小值为()A1B2C3D6【分析】首先画出可行域,利用目标函数的几何意义

12、求z的最小值【解答】解:作出实数x,y满足约束条件表示的平面区域(如图示:阴影部分):由得A(0,1),由z3x+y得y3x+z,平移y3x,易知过点A时直线在y上截距最小,所以z1故选:A【点评】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值首先画出可行域,利用几何意义求值11(5分)关于x的方程x2(a1)x+40在区间1,3内有两个不等实根,则实数a的取值范围是()A(4,5B3,6C(5,D)【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,求得a的范围【解答】解:关于x的方程x2(a1)x+40在区间1,3内有两个不等实根,令f(x)x2(a1)x+4,则有,求得5a

13、,故选:C【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系,二次函数的性质,属于中档题12(5分)已知椭圆C:x2+4y24的左右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心的圆与椭圆C在第一象限的交点为P,若直线F1P与该圆相切,则直线F1P的斜率为()ABCD【分析】求出椭圆的焦点坐标,利用切线与圆相切,得到三角形的斜边大于直角边,然后求解直线F1P的斜率【解答】解:如图,在椭圆C:x2+4y24中,所以,根据题意,F1PF2P,所以且|F1P|F2P|,解得:,则直线F1P的斜率为故选:A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,圆与椭圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力二、填空题(本大题

14、共4小题,每小题5分,共20分.)13(5分)若等差数列an中,a2+a5+a89,则a1+a96【分析】利用等差数列通项公式的性质得a2+a5+a83a59,从而a53,再由a1+a92a5,能求出结果【解答】解:等差数列an中,a2+a5+a89,a2+a5+a83a59,解得a53,a1+a92a56故答案为:6【点评】本题考查等差数列中两项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题14(5分)在四面体ABCD中,E、G分别是CD、BE的中点,若,则x+y+z1【分析】(),由此能求出x+y+z【解答】解:在四面体ABCD中,E、G分别是CD、BE的中点,()(+

15、),x+y+z1故答案为:1【点评】本题考查三个数的和的求法,考查空间向量的加法法则等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题15(5分)设实数满足m0,n0,且,则4m+n的最小值为9【分析】根据题意,分析可得4m+n(4m+n)(+)5+,结合基本不等式的性质分析可得+的最小值,进而分析可得答案【解答】解:根据题意,若,则4m+n(4m+n)(+)5+,又由m0,n0,则+24,当且仅当n2m时等号成立,则4m+n5+9,即4m+n的最小值为9;故答案为:9【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用,关键利用进行恒等变形16(5分)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,点P是

16、双曲线E右支上的一点,若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点,则双曲线E的离心率为【分析】根据已知可得P为通径的一个端点,再由线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点,构造方程,可得答案【解答】解:由已知中点P是双曲线E右支上的一点,线段PF1的中点M恰好是虚轴的一个端点,可得OM为PF1F2的中位线,可得PF2F1F2,可得P点横坐标为c,则P为通径的一个端点,则b,即b2a,则ca,故双曲线E的离心率e,故答案为:【点评】本题考查的知识点是双曲线的性质,其中根据已知分析出P为通径的一个端点,是解答的关键三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(1

17、0分)过抛物线y24x的焦点,倾斜角为的直线l交此抛物线于A、B两点(1)求直线l的方程;(2)求|AB|【分析】(1)先求出抛物线的焦点的坐标,再利用点斜式可写出直线l的方程;(2)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),将直线l的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,利用抛物线的定义可求出|AB|【解答】解:(1)抛物线y24x的焦点为(1,0),所以,直线l的方程为;(2)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),将直线l的方程与抛物线的方程联立,消去y并整理得3x210x+30,由韦达定理得,由抛物线的定义可得【点评】本题考查抛物线的几何性质,考查抛物线的定义,同时也考查了韦达定理设而不

18、求法在抛物线综合问题中的应用,属于中等题18(12分)已知数列an的前n项和为Sn,且(1)求数列an的通项公式;(2)设等比数列bn的前n项和为Tn,若q0且b3a3,T26,求Tn【分析】(1)根据题意,由数列的前n项和公式分析:当n1时,有a1S1,当n2时,有anSnSn1,验证即可得an的通项公式;(2)设等比数列bn的公比为q,由等比数列的通项公式可得+6,解可得q的值,进而可得bn3,据此分析可得答案【解答】解:(1)根据题意,数列an满足,当n1时,有a1S1+1,当n2时,有anSnSn1(n2+n)(n1)2+(n1)n,a11符合ann,故ann;(2)根据题意,由(1)

19、的结论,ann,等比数列bn中,设其公比为q,b3a33,又由T26,则+6,解可得:q1或(舍),故bn3,则Tn3n【点评】本题考查数列的前n项和与通项的关系,涉及等比数列的通项公式以及前n项和的计算,属于基础题19(12分)已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1:4x2+9y236的两个焦点是一个正方形的四个顶点,且椭圆C过点A(2,3)(1)求椭圆C的方程;(2)若PQ是椭圆C的弦,O是坐标原点,OPOQ,已知直线OP的斜率为,求点Q的坐标【分析】(1)根据椭圆的简单性质和方程即可求出,(2)根据直线垂直,即可求出直线OQ的斜率为,可得直线OQ的方程为yx,与椭圆的方程联立方程组,

20、解得即可【解答】解:(1)由椭圆C1:4x2+9y236化为+1,可得两个焦点(,0)椭圆C的两个焦点和椭圆C1:4x2+9y236的两个焦点是一个正方形的四个顶点椭圆C的两个焦点为(0,)可设椭圆C的方程为:+1又椭圆C过点A(2,3),+1,且a2b25,解得b210,a215椭圆C的方程为+1(2)OPOQ,直线OP的斜率为,直线OQ的斜率为,直线OQ的方程为yx,将直线yx代入+1可得x29,解得x3,或,Q(3,),或(3,)【点评】本题考查了椭圆的简单性质,以及直线和椭圆的位置关系,考查了运算能力,属于中档题20(12分)如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,PD

21、DC,E是PC的中点(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)求二面角PABD的大小【分析】(1)推导出ABAD,ABPD,从而AB平面PAD,由此能证明平面PAB平面PAD(2)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角PABD的大小【解答】证明:(1)四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点ABAD,ABPD,又ADPDD,AB平面PAD,AB平面PAB,平面PAB平面PAD解:(2)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,设PDDCDP2,则A(2,0,0),P(0,0,2),D(

22、0,0,0),B(2,2,0),(2,0,2),(0,2,0),设平面PAB的法向量(x,y,z),则,取x1,得(1,0,1),平面ABD的法向量(0,0,1),设二面角PABD的大小为,则cos,45,二面角PABD的大小为45【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题21(12分)已知海岛B在海岛A北偏东45,且与A相距20海里,物体甲从海盗B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动,同时物体乙从海岛A以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15方向移动(1)求经过多长时间,物体甲在物体乙的正

23、东方向;(2)求甲从海岛B到达海岛A的过程中,甲乙两物体的最短距离【分析】(1)由正弦定理可解得;(2)由余弦定理及配方法可求得最小值【解答】解:(1)设经过t(0t10)小时,物体甲移动到E的位置,物体乙移动到F的位置,物体甲与海岛A的距离为AE202t海里,物体乙与海岛A距离为AF4t海里,当甲在乙正东方时,AFE75,AEF45,在AEF中,由正弦定理得:,即,则t2010,所以,经过2010小时,物体甲在物体乙的正东方向(2)由(1)题设,AE202t,AF4t,由余弦定理得:EF2AE2+AF22AEAFcosEAF(202t)2+(4t)22(202t)28(t)2+,由0t5,得

24、当t时,EFmin海里所以,甲乙两物体之间的距离最短为海里【点评】本题考查了解三角形属中档题22(12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1,AA1平面ABC,M,N分别为线段AB,CB1的中点,ACBC1,AA12()求证:MN平面ACC1A1;()求直线MN与平面BCC1B1所成的角的余弦值【分析】(1)连接C1B,AC1,则MNAC1,由此能证明MN平面ACC1A1(2)过M点作MHBC,交BC于H,连接NH,则ACBC,MHBC,AA1MH,CC1MH,从而MH平面BCC1B1,进而MNH为直线MN与平面BCC1B1所成的角,由此能求出直线MN与平面BCC1B1所成的角的余弦值【解答】证明

25、:(1)连接C1B,AC1,在ABC1中,由题意得M、N为线段AB和C1B的中点,MNAC1,又MN平面ACC1A1,AC1平面ACC1A1,MN平面ACC1A1 (7分)解:(2)过M点作MHBC,交BC于H,连接NH,ACBC1,AB,ACBC,MHAC,又在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1平面ABC,AA1MH,又AA1CC1,CC1MH,BCCC1C,MH平面BCC1B1,MNH为直线MN与平面BCC1B1所成的角,在RtMNH中,MH1,MN,cosMNH,直线MN与平面BCC1B1所成的角的余弦值为(14分)【点评】本题考查线面平行的证明,考查线面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题