1、2018-2019学年陕西省渭南市白水县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若ab0，则（）ABa3b3Cabb2Dacbc2（5分）命题：“若|x|+|y|0，则x0或y0”的逆否命题是（）A若|x|+|y|0，则x0且y0B若|x|+|y|0，则x0或y0C若x0且y0，则|x|+|y|0D若x0且y0，则|x|+|y|03（5分）不等式的解集是（）ABCD4（5分）命题“”的否定是（）AxR，BxR，lnx0CD5（5分）ABC的角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足条件“”的三
2、角形的解的个数是（）A2B1C0D不能确定6（5分）已知等比数列an，则下面对任意正整数k都成立的是（）Aakak+10Bakak+20Cakak+1ak+20Dakak+307（5分）已知向量（1，2，1），（0，1，2），则平面ABC的一个法向量可以是（）A（5，2，1）B（6，2，2）C（3，1，2）D（4，3，1）8（5分）“1k5且k3”是”方程表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9（5分）设M（a+1）（a3），N2a（a2），则（）AMABMNCMNDMN10（5分）设实数x，y满足约束条件，则z3x+y的最小值为（）A1B2C3D61
3、1（5分）关于x的方程x2（a1）x+40在区间1，3内有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A（4，5B3，6C（5，D）12（5分）已知椭圆C：x2+4y24的左右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，若直线F1P与该圆相切，则直线F1P的斜率为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）若等差数列an中，a2+a5+a89，则a1+a9 14（5分）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若，则x+y+z 15（5分）设实数满足m0，n0，且，则4m+n的最小值为 16（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2
4、，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E的离心率为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）过抛物线y24x的焦点，倾斜角为的直线l交此抛物线于A、B两点（1）求直线l的方程；（2）求|AB|18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）设等比数列bn的前n项和为Tn，若q0且b3a3，T26，求Tn19（12分）已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y236的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，3）（1）求椭圆C的方程；（2）若P
5、Q是椭圆C的弦，O是坐标原点，OPOQ，已知直线OP的斜率为，求点Q的坐标20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）求二面角PABD的大小21（12分）已知海岛B在海岛A北偏东45，且与A相距20海里，物体甲从海盗B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15方向移动（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲乙两物体的最短距离22（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1，AA1平面ABC，M，N分别为线段A
6、B，CB1的中点，ACBC1，AA12（）求证：MN平面ACC1A1；（）求直线MN与平面BCC1B1所成的角的余弦值2018-2019学年陕西省渭南市白水县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若ab0，则（）ABa3b3Cabb2Dacbc【分析】根据不等式的性质即可求出【解答】解：ab0，abb2，故选：C【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题2（5分）命题：“若|x|+|y|0，则x0或y0”的逆否命题是（）A若|x|+|y|0，则x0且y0B若|x|+|y|
7、0，则x0或y0C若x0且y0，则|x|+|y|0D若x0且y0，则|x|+|y|0【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可【解答】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x0且y0，则|x|+|y|0，故选：D【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，结合逆否命题的定义是解决本题的关键比较基础3（5分）不等式的解集是（）ABCD【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式进行求解即可【解答】解：不等式等价为0，即，即，即x3或x，即不等式的解集为，故选：D【点评】本题主要考查分式不等式的求解，转化为一元二次不等式是解决本题的关键4（5分）命题“”的否定是（）AxR，BxR，lnx0CD【分析】根据
8、特称命题的否定是全称命题，写出命题P的否定p即可【解答】解：命题“”，它的否定是：“xR，lnx”故选：A【点评】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，直接写出答案即可，是基础题5（5分）ABC的角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足条件“”的三角形的解的个数是（）A2B1C0D不能确定【分析】由正弦定理求得B有2个值，三角形的解有2个【解答】解：ABC中，a1，b，A，由正弦定理得，解得sinB，又ba，B或，三角形的解有2个故选：A【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是基础题6（5分）已知等比数列an，则下面对任意正整数k都成立的是（）Aakak
9、+10Bakak+20Cakak+1ak+20Dakak+30【分析】根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当q0时，ak与ak+1异号，则akak+10，A 错误；对于B，akak+2akakq2（akq）20，B正确；对于C，akak+1ak+2（ak+1）3，则akak+1ak+20不一定成立，C错误；对于D，akak+3ak2q3，则akak+30不一定成立，D错误；故选：B【点评】本题考查等比数列的性质，注意等比中项的性质，属于基础题7（5分）已知向量（1，2，1），（0，1，2），则平面ABC的一个法向量可以是（）A（5
10、，2，1）B（6，2，2）C（3，1，2）D（4，3，1）【分析】平面ABC的一个法向量与向量，的数量积都为0【解答】解：由（1，2，1），（0，1，2），知：在A中，平面ABC的一个法向量可以是（5，2，1），故A正确；在B中，故B错误；在C中，故C错误；在D中，故D错误故选：A【点评】本题考查平面的法向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意法向量的性质的合理运用8（5分）“1k5且k3”是”方程表示椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的定义求出k的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若方程表示椭圆，则
11、，即，即1k5且k3，则“1k5且k3”是”方程表示椭圆”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆方程的定义求出k 的范围是解决本题的关键9（5分）设M（a+1）（a3），N2a（a2），则（）AMABMNCMNDMN【分析】利用作差法，进行比较即可【解答】解：NM2a（a2）（a+1）（a3）2a24a（a22a2）a22a+2（a1）2+10，即MN，故选：C【点评】本题主要考查不等式大小的比较，利用作差法结合配方法是解决本题的关键10（5分）设实数x，y满足约束条件，则z3x+y的最小值为（）A1B2C3D6【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义
12、求z的最小值【解答】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（0，1），由z3x+y得y3x+z，平移y3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z1故选：A【点评】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值11（5分）关于x的方程x2（a1）x+40在区间1，3内有两个不等实根，则实数a的取值范围是（）A（4，5B3，6C（5，D）【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a的范围【解答】解：关于x的方程x2（a1）x+40在区间1，3内有两个不等实根，令f（x）x2（a1）x+4，则有，求得5a
13、，故选：C【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于中档题12（5分）已知椭圆C：x2+4y24的左右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，若直线F1P与该圆相切，则直线F1P的斜率为（）ABCD【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用切线与圆相切，得到三角形的斜边大于直角边，然后求解直线F1P的斜率【解答】解：如图，在椭圆C：x2+4y24中，所以，根据题意，F1PF2P，所以且|F1P|F2P|，解得：，则直线F1P的斜率为故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力二、填空题（本大题
14、共4小题，每小题5分，共20分.）13（5分）若等差数列an中，a2+a5+a89，则a1+a96【分析】利用等差数列通项公式的性质得a2+a5+a83a59，从而a53，再由a1+a92a5，能求出结果【解答】解：等差数列an中，a2+a5+a89，a2+a5+a83a59，解得a53，a1+a92a56故答案为：6【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若，则x+y+z1【分析】（），由此能求出x+y+z【解答】解：在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，（）（+
15、），x+y+z1故答案为：1【点评】本题考查三个数的和的求法，考查空间向量的加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题15（5分）设实数满足m0，n0，且，则4m+n的最小值为9【分析】根据题意，分析可得4m+n（4m+n）（+）5+，结合基本不等式的性质分析可得+的最小值，进而分析可得答案【解答】解：根据题意，若，则4m+n（4m+n）（+）5+，又由m0，n0，则+24，当且仅当n2m时等号成立，则4m+n5+9，即4m+n的最小值为9；故答案为：9【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键利用进行恒等变形16（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P是
16、双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E的离心率为【分析】根据已知可得P为通径的一个端点，再由线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，构造方程，可得答案【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点M恰好是虚轴的一个端点，可得OM为PF1F2的中位线，可得PF2F1F2，可得P点横坐标为c，则P为通径的一个端点，则b，即b2a，则ca，故双曲线E的离心率e，故答案为：【点评】本题考查的知识点是双曲线的性质，其中根据已知分析出P为通径的一个端点，是解答的关键三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（1
17、0分）过抛物线y24x的焦点，倾斜角为的直线l交此抛物线于A、B两点（1）求直线l的方程；（2）求|AB|【分析】（1）先求出抛物线的焦点的坐标，再利用点斜式可写出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的定义可求出|AB|【解答】解：（1）抛物线y24x的焦点为（1，0），所以，直线l的方程为；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与抛物线的方程联立，消去y并整理得3x210x+30，由韦达定理得，由抛物线的定义可得【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，同时也考查了韦达定理设而不
18、求法在抛物线综合问题中的应用，属于中等题18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，且（1）求数列an的通项公式；（2）设等比数列bn的前n项和为Tn，若q0且b3a3，T26，求Tn【分析】（1）根据题意，由数列的前n项和公式分析：当n1时，有a1S1，当n2时，有anSnSn1，验证即可得an的通项公式；（2）设等比数列bn的公比为q，由等比数列的通项公式可得+6，解可得q的值，进而可得bn3，据此分析可得答案【解答】解：（1）根据题意，数列an满足，当n1时，有a1S1+1，当n2时，有anSnSn1（n2+n）（n1）2+（n1）n，a11符合ann，故ann；（2）根据题意，由（1）
19、的结论，ann，等比数列bn中，设其公比为q，b3a33，又由T26，则+6，解可得：q1或（舍），故bn3，则Tn3n【点评】本题考查数列的前n项和与通项的关系，涉及等比数列的通项公式以及前n项和的计算，属于基础题19（12分）已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y236的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，3）（1）求椭圆C的方程；（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OPOQ，已知直线OP的斜率为，求点Q的坐标【分析】（1）根据椭圆的简单性质和方程即可求出，（2）根据直线垂直，即可求出直线OQ的斜率为，可得直线OQ的方程为yx，与椭圆的方程联立方程组，
20、解得即可【解答】解：（1）由椭圆C1：4x2+9y236化为+1，可得两个焦点（，0）椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y236的两个焦点是一个正方形的四个顶点椭圆C的两个焦点为（0，）可设椭圆C的方程为：+1又椭圆C过点A（2，3），+1，且a2b25，解得b210，a215椭圆C的方程为+1（2）OPOQ，直线OP的斜率为，直线OQ的斜率为，直线OQ的方程为yx，将直线yx代入+1可得x29，解得x3，或，Q（3，），或（3，）【点评】本题考查了椭圆的简单性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题20（12分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，PD
21、DC，E是PC的中点（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）求二面角PABD的大小【分析】（1）推导出ABAD，ABPD，从而AB平面PAD，由此能证明平面PAB平面PAD（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PABD的大小【解答】证明：（1）四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点ABAD，ABPD，又ADPDD，AB平面PAD，AB平面PAB，平面PAB平面PAD解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PDDCDP2，则A（2，0，0），P（0，0，2），D（
22、0，0，0），B（2，2，0），（2，0，2），（0，2，0），设平面PAB的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，1），平面ABD的法向量（0，0，1），设二面角PABD的大小为，则cos，45，二面角PABD的大小为45【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21（12分）已知海岛B在海岛A北偏东45，且与A相距20海里，物体甲从海盗B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15方向移动（1）求经过多长时间，物体甲在物体乙的正
23、东方向；（2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲乙两物体的最短距离【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）由余弦定理及配方法可求得最小值【解答】解：（1）设经过t（0t10）小时，物体甲移动到E的位置，物体乙移动到F的位置，物体甲与海岛A的距离为AE202t海里，物体乙与海岛A距离为AF4t海里，当甲在乙正东方时，AFE75，AEF45，在AEF中，由正弦定理得：，即，则t2010，所以，经过2010小时，物体甲在物体乙的正东方向（2）由（1）题设，AE202t，AF4t，由余弦定理得：EF2AE2+AF22AEAFcosEAF（202t）2+（4t）22（202t）28（t）2+，由0t5，得
24、当t时，EFmin海里所以，甲乙两物体之间的距离最短为海里【点评】本题考查了解三角形属中档题22（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1，AA1平面ABC，M，N分别为线段AB，CB1的中点，ACBC1，AA12（）求证：MN平面ACC1A1；（）求直线MN与平面BCC1B1所成的角的余弦值【分析】（1）连接C1B，AC1，则MNAC1，由此能证明MN平面ACC1A1（2）过M点作MHBC，交BC于H，连接NH，则ACBC，MHBC，AA1MH，CC1MH，从而MH平面BCC1B1，进而MNH为直线MN与平面BCC1B1所成的角，由此能求出直线MN与平面BCC1B1所成的角的余弦值【解答】证明
25、：（1）连接C1B，AC1，在ABC1中，由题意得M、N为线段AB和C1B的中点，MNAC1，又MN平面ACC1A1，AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1 （7分）解：（2）过M点作MHBC，交BC于H，连接NH，ACBC1，AB，ACBC，MHAC，又在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1MH，又AA1CC1，CC1MH，BCCC1C，MH平面BCC1B1，MNH为直线MN与平面BCC1B1所成的角，在RtMNH中，MH1，MN，cosMNH，直线MN与平面BCC1B1所成的角的余弦值为（14分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题