1、核心母题三动点、存在性、距离、面积问题(2019舟山)如图，一副含30和45角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC与EF重合，AC12 cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为_ cm；连结BD，则ABD的面积最大值为_ cm2.【母题分析】过点D作DNAC于点N，作DMBC于点M，由直角三角形的性质可得BC4 cm，AB8 cm，EDDF6 cm，由“AAS”可证DNEDMF，可得DNDM，即点D在射线CD上移动，且当EDAC时，DD值最大，则可求点D运动的路径长，由三角形面积公式可求SADBBCACA
2、CDNBCDM24(124)DN，则EDAC时，SADB有最大值【母题解答】【思想方法】此类题目主要涉及分类讨论思想，背景主要是借助一次、二次、反比例函数、全等、相似、动点、等腰、等边、直角三角形或平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆等，探索存在性、面积、距离等问题，解决此类问题的关键是找出变化过程中的关键点，如分界点、交点、最值点等，然后分类讨论【母题多变】变化1：在坐标平面内，已知两个定点A，B，探索第三个点P与A，B构成的三角形：当构成的PAB为等腰三角形时，可分三种情况讨论，即PAPB，APAB，BABP；当构成的PAB为直角三角形时，可分三种情况讨论，即A90，B90，P90.变化2：
3、平行四边形以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形是平行四边形，通常有两种常见模式：若已知其中三个点的位置，求第四个点的位置(坐标)，则可过这三个点中的任意一点作对边的平行线，这三条不同的平行线交于三个点，则这三个点均满足题意，如图若已知其中两个点的位置，求其他两个点的位置(坐标)，则连结已知两点的线段可以是平行四边形的边，也可以是对角线，此时应该通过画图、平移线段等方法分析，以此确定另外两点的位置此外，如果要确定另外两点的坐标，则还需运用全等三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识做进一步的分析若“以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形是梯形(或菱形、正方形等)”，还按上述方法进行分析变化3：相似
4、三角形的存在性问题通常是从相似三角形的判定方法入手，先确定已知的对应条件，然后再根据情况分类讨论，如在ABC和DEF中，确定点A与点D对应，则分两种情况讨论，即ABCDEF，ABCDFE.变化4：坐标系下的距离问题主要指的是两点间的距离，以及点到直线的距离(1)若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，根据勾股定理可得AB，使用此公式的前提是点A，点B的坐标已求出(或已表示出)(2)点A(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.变化5：动点下的面积问题求一个封闭图形的面积一般有以下几个思考的方向(1)利用面积公式三角形、平行四边形、梯形、圆等图形都有相应的面积公式，如果能够顺利地求
5、得(或表达)相应的线段长，则直接可以利用面积公式求(或表示)图形的面积(2)利用割补法，将图形分割成若干个能用面积公式表示面积的部分，在利用割补法求面积时注意下面关系的运用：如图，SABCSACDSABDSBCD；如图，SABCSABDSBCDBDh1BDh2BD(h1h2)，即SABC水平宽铅垂高(3)利用等积变形原理如图，过PBC的顶点P作所对的边BC的平行线l，则l上的任一点P与BC组成的三角形的面积等于PBC的面积由PBC变形成PBC保持面积不变，因此，这种变形称为等积变形，此外，若PBC与PBC面积相等，且点P与P在直线BC的同侧，则可得直线PPBC.变化6：图形运动下的面积问题图形
6、运动下的面积问题，往往涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、动点问题、函数图象等知识点解决此类问题，根据图形的运动变化进行适当分类是解题的关键探究运动变化过程中的多种可能情况，特别要关注不同情况之间的分界点(临界位置、极端位置)，进而分析关键量的取值范围或最值如果题目明确要求求取某个量的变化范围，应有“分别考虑上界和下界”的意识，不能只考虑一半对于临界点，应有“考虑能否取等号”的意识，只要时间允许，建议临界点情况单独作图分析1(2018舟山)如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2，点E在CD上，DE1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作RtEFP.若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角
7、三角形恰好有两个，则AF的值是_2(2019金华)图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，EF90，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上，两门关闭时(图2)，A，D分别在E，F处，门缝忽略不计(即B，C重合)；两门同时开启，A，D分别沿EM，FN的方向匀速滑动，带动B，C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB50 cm，CD40 cm.(1)如图3，当ABE30时，BC_ cm.(2)在(1)的基础上，当A向M方向继续滑动15 cm时，四边形ABCD的面积为_ cm2.3(2017衢州)在直角坐标系中，过原点O及点A(8，0)
8、，C(0，6)作矩形OABC，连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DFDE，交OA于点F，连结EF.已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒(1)如图1，当t3时，求DF的长(2)如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tanDEF的值(3)连结AD，当AD将DEF分成的两部分的面积之比为12时，求相应的t的值4(2019乐陵模拟)如图，关于x的二次函数yx2bxc的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求
9、二次函数的解析式；(2)在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积5(2019遵义)如图，抛物线C1：yx22x与抛物线C2：yax2bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA2OB.(1)求抛物线C2的解析式；(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PAPC的值最小？若存在，
10、求出点P的坐标，若不存在，说明理由；(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连结MO，MC，M运动到什么位置时，MOC面积最大？并求出最大面积参考答案【核心母题】AC12 cm，BAC30，DEF45，BC4 cm，AB8 cm，EDDF6 cm，如图1，当点E沿AC方向下滑时，得EDF，过点D作DNAC于点N，作DMBC于点M，图1MDN90，且EDF90EDNFDM，且DNEDMF90，EDDF，DNEDMF(AAS)，DNDM，且DNAC，DMCM，CD平分ACM，即点E沿AC方向下滑时，点D在射线CD上移动，当EDAC时，DD值最大，最大值EDCD(126) cm，当点E从点A滑
11、动到点C时，点D运动的路径长2(126)(2412) cm.如图2，连结BD，AD，图2SADBSABCSADCSBDC，SADBBCACACDNBCDM24(124)DN，当EDAC时，SADB有最大值，SADB最大值24(124)6(243612) cm2.故答案为(2412)，(243612)【深度练习】10或1AF或42解：A，D分别在E，F处，门缝忽略不计(即B，C重合)，且AB50 cm，CD40 cm，EF504090(cm)B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，B，C两点的路程之比为54.(1)当ABE30时，在RtABE中，BEAB25 cm，B运动的路程为(5025)
12、 cm.B，C两点的路程之比为54；此时点C运动的路程为(5025)(4020) cm，BC(5025)(4020)(9045) cm，故答案为(9045)(2)当A向M方向继续滑动15 cm时，设此时点A运动到了点A处，点B，C，D分别运动到了点B，C，D处，连结AD，如图，则此时AA15 cm，AE152540(cm)，由勾股定理得EB30 cm，B运动的路程为503020(cm)，C运动的路程为16 cm，CF401624(cm)，由勾股定理得DF32 cm，四边形ABCD的面积梯形AEFD的面积AEB的面积DFC的面积90(4032)304024322 256(cm2)，四边形ABCD
13、的面积为2 256 cm2.故答案为2 256.3解：(1)当t3时，点E为AB的中点，A(8，0)，C(0，6)，OA8，OC6，点D为OB的中点，DEOA，DEOA4，四边形OABC是矩形，OAAB，DEAB，OABDEA90，又DFDE，EDF90，四边形DFAE是矩形，DFAE3；(2)DEF的大小不变作DMOA于M，DNAB于N，如图1所示，四边形OABC是矩形，OAAB，四边形DMAN是矩形，MDN90，DMAB，DNOA，点D为OB的中点，M，N分别是OA，AB的中点，DMAB3，DNOA4.EDF90，FDMEDN，又DMFDNE90，DMFDNE，EDF90，tanDEF；(
14、3)作DMOA于M，DNAB于N，若AD将DEF的面积分成12的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；当点E到达中点之前时，如图2所示，NE3t，由DMFDNE得MF(3t)，AF4MFt，点G为EF的三等分点，G(，t)，设直线AD的解析式为ykxb，把A(8，0)，D(4，3)代入得解得直线AD的解析式为yx6，把G(，t)代入得t.当点E越过中点之后，如图3所示，NEt3，由DMFDNE得MF(t3)，AF4MFt.点G为EF的三等分点，G(，t)，代入直线AD的解析式yx6得t.综上所述，当AD将DEF分成的两部分的面积之比为12时，t的值为或.4解：(1)把A(1，0)
15、和C(0，3)代入yx2bxc得解得b4，c3，二次函数的解析式为：yx24x3.(2)令y0，则x24x30，解得x1或x3，B(3，0)，BC3.点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CPCB时，PC3，OPOCPC33或OPPCOC33，P1(0，33)，P2(0，33)；当BPBC时，OPOC3，P3(0，3)；当PBPC时，OCOB3，此时P与O重合，P4(0，0)；综上所述，点P的坐标为(0，33)或(0，33)或(0，3)或(0，0)(3)如图2，设M运动的时间为t，由AB2，得BM2t，则DN2t，SMNB(2t)2tt22t(t1)21，即当M(2
16、，0)，N(2，2)或(2，2)时MNB面积最大，最大面积是1.5解：(1)令yx22x0，则x0或2，即点B(2，0)，C1，C2：yax2bx开口大小相同、方向相反，则a1，OA2OB，则点A(4，0)，将点A的坐标代入C2的解析式得0164b，解得b4，故抛物线C2的解析式为yx24x.(2)联立C1，C2的解析式并解得x0或3，故点C(3，3)，如图1，作点C关于C2对称轴的对称点C(1，3)，连结AC交C2的对称轴于点P，图1此时PAPC的值最小，最小值为线段AC的长度3.(3)直线OC的解析式为yx，过点M作y轴的平行线交OC于点H，如图2，图2设点M(x，x24x)，则点H(x，x)，则SMOCMHxC(x24xx)x2x(x)2，0，故x时，SMOC的值最大，最大值为.