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2020浙江中考数学精准大二轮复习专题突破八:二次函数的综合

1、专题八二次函数的综合类型一 探究线段的数值或存在性 (2019温州二模)如图,抛物线yax2bx4与坐标轴分别交于A,B,C三点,其中A(3,0),B(8,0),点D在x轴上,ACCD,过点D作DEx轴交抛物线于点E,点P,Q分别是线段CO,CD上的动点,且CPQD.(1)求抛物线的解析式;(2)记APC的面积为S1,PCQ的面积为S2,QED的面积为S3,若S1S34S2,求出点Q的坐标;(3)连结AQ,则APAQ的最小值为_(请直接写出答案)【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式即可;(2)作QNOD,根据等腰三角形的性质得出D(3,0),进而求得E(3,5),根据勾股定理求得CD5,

2、设PCQDx,由NQCODC得出NQ,根据S1S34S2,列出关于x的方程,即可求得x的值,进而求得NQ和ON,就求得点Q的坐标(3)连结AE,先证明ACPEQD,则APEQ,所以APAQEQAQ,利用三角形三边的关系得到EQAQAE(当且仅当点A,Q,E三点共线时取等号),然后计算出AE即可【自主解答】1(2019贺州)如图,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(1,0),且OAOC4OB,抛物线yax2bxc(a0)图象经过A,B,C三点(1)求A,C两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PDAC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及P

3、D的最大值类型二 探究角度的数量关系或存在性 (2019咸宁)如图,在平面直角坐标系中,直线yx2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线yx2bxc经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点,当ABD2BAC时,求点D的坐标;(3)已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点,当B,O,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出所有符合条件的E点的坐标【分析】考查待定系数法,二倍角关系和平行四边形点存在类问题,将二倍角关系转化为等角关系是解题关键,根据平行四边形的性质,以OB为边和对角线是突破点解答步骤:(1)求得A,B两点坐标

4、,代入抛物线解析式,获得b,c的值,求得抛物线的解析式(2)通过平行线分割2倍角条件,得到相等的角关系,利用等角的三角函数值相等,得到点坐标(3)B,O,E,F四点作平行四边形,以已知线段OB为边和对角线分类讨论,当OB为边时,以EFOB的关系建立方程求解;当OB为对角线时,OB与EF互相平分,利用直线相交获得点E的坐标【自主解答】2(2019海南)如图,已知抛物线yax2bx5经过A(5,0),B(4,3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.(1)求该抛物线的解析式;(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时,求PBC的面

5、积的最大值;该抛物线上是否存在点P,使得PBCBCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由类型三 探究二次函数中的几何变换 (2019宁波二模)如图,函数y1的图象经过向左或向右平移一次,再向上或向下平移一次,得到函数y2的图象,我们称函数y1为“基函数”,y2为“基函数”的“像”,左右、上下平移的路径称为平移路径,对应点之间的距离称为平移距离我们所学过的函数:二次函数yax2,正比例函数ykx和反比例函数y都可以作为“基函数”,沿着平移路径平移可以得到“像”如一次函数y2x5是基函数y2x的像,由y2x52(x1)3可知,平移路径可以是向右平移1个单位,再向下平移3个单位,平移距

6、离.(1)一位同学经过思考后,为函数y2x5又找到了一条平移路径,由基函数y2x先向_个单位,再向下平移7个单位,相应的平移距离为_;(2)已知函数yx26x5是基函数yx2的像,请写出平移路径和相应的平移距离;(3)已知函数y是基函数y的像,求出平移路径,并求相应的平移距离【分析】(1)由条件可知,向左右平移即含x的项加一个数(左正右负),向上下平移即整个函数式子加一个数(上正下负)故可设由基函数y2x先左右平移a个单位,再向下平移7个单位得y2x5,展开计算即求得a1,故向左平移1个单位,代入平移距离公式即求得平移距离为5.(2)把yx26x5进行配方得y(x3)24,根据平移规律可知是由

7、yx2向右平移3个单位,向下平移4个单位得到,代入平移距离公式即求得5.(3)把y进行分解,目标是分解到含x项的分式分子不含未知数,所以把3x4分解为3(x1)1,反用同分母分式加法法则计算得y3,含x的项1说明向左平移1个单位,整个式子3即向上平移3个单位,再计算平移距离【自主解答】3(2019黄石)如图,已知抛物线yx2bxc经过点A(1,0),B(5,0)(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;(2)若点C在抛物线上,且点C的横坐标为8,求四边形AMBC的面积;(3)定点D(0,m)在y轴上,若将抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,点P在新的抛物线上运

8、动,求定点D与动点P之间距离的最小值d.(用含m的代数式表示)类型四 探究二次函数的最值存在问题 (2019台州)已知函数yx2bxc(b,c为常数)的图象经过点(2,4)(1)求b,c满足的关系式;(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;(3)若该函数的图象不经过第三象限,当5x1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值【分析】(1)将点(2,4)代入yx2bxc得c2b;(2)m,n,得n4mm2;(3)yx2bx2b(x)22b,当b0时,c0,函数不经过第三象限,则c0;此时yx2,最大值与最小值之差为25;当b0时,c0,函数不经过第三象

9、限,则0,得0b8当5x1时,函数有最小值2b,当52时,函数有最大值13b,当21时,函数有最大值253b;当最大值为13b时,13b2b16,b6;当最大值为253b时,b2.【自主解答】4(2019滨州中考改编)如图1,抛物线yx2x4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90,所得直线与x轴交于点D.(1)求直线AD的函数解析式;(2)如图2,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点,当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离类型五 探究二次函数中相似问题 (2019襄阳)如图,在直角坐标系中,直线yx3与x轴,y轴分别交于点B,点C,对称轴为x1的抛物

10、线过B,C两点,且交x轴于另一点A,连结AC.(1)直接写出点A,点B,点C的坐标和抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外),使以点Q,A,B为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由【分析】考查的是二次函数综合运用,涉及一次函数、解直角三角形、三角形相似等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏(1)yx3,令x0,则y3;令y0,则x6,故点B,C的坐标分别为(6,0),(0,3),即可求解;(2)PHPGcos (x2x3x3),即可求解;(3)分点Q在x轴上方

11、、点Q在x轴下方两种情况,分别求解【自主解答】5(2018鄂州)如图,已知直线yx与抛物线yax2bxc相交于A(1,0),B (4,m)两点,抛物线yax2bxc交y轴于点C(0,),交x轴正半轴于D点,抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式及点M的坐标;(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点,当PAB的面积最大时,求此时PAB的面积及点P的坐标;(3)点Q为x轴上一动点,点N是抛物线上一点,当QMNMAD(点Q与点M对应),求Q点坐标类型六 探究二次函数中特殊四边形的存在性 (2019鹿城区一模)如图,抛物线yx2bxc过等腰RtOAB的A,B两点,点B在点A的右侧,直角顶点A(0,

12、3)(1)求b,c的值(2)P是AB上方抛物线上的一点,作PQAB交OB于点Q,连结AP,是否存在点P,使四边形APQO是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由【分析】(1)根据题意得到点B的坐标,把A,B的坐标代入二次函数解析式,列出关于系数b,c的方程组,通过解方程组可以求得它们的值;(2)由条件可知OAPQ,则PQ3时,四边形OAPQ为平行四边形,设P(m,m23m3),Q(m,m),可得关于m的方程,求出m的值即可求解【自主解答】6(2019通辽)已知,如图,抛物线yax2bxc(a0)的顶点为M(1,9),经过抛物线上的两点A(3,7)和B(3,m)的直线交抛物线

13、的对称轴于点C.(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式;(2)在抛物线上A,M两点之间的部分(不包含A,M两点),是否存在点D,使得SDAC2SDCM?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P的坐标参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 (1)抛物线yax2bx4与坐标轴分别交于A,B,C三点,其中A(3,0),B(8,0),C(0,4),设抛物线的解析式为ya(x3)(x8),代入C点的坐标得424a,a,y(x3)(x8),抛物线的解析式为yx2x4.(2)ACCD,COAD

14、,ODOA3,D(3,0),E点的横坐标为3,把x3代入yx2x4得y5,E(3,5)OD3,OC4,CD5.设PCQDx,如图,作QNOD,交OC于N,NQCODC,即,NQ.S1S34S2,x3534x,解得x10(舍去),x2,QD.CQ5.,NQ,CN2,ON4CN2,Q(,2)(3)如图,连结AE,ACCD,COAD,CO平分ACD,ACODCO.EDOC,DCOCDE.DECDAC5,CPQD,ACPEDQ,APEQ,APAQEQAQ.而EQAQAE(当且仅当点A,Q,E三点共线时取等号),EQAQ的最小值,AQAP的最小值为,故答案为.跟踪训练1解:(1)OAOC4OB4,故点A

15、,C的坐标分别为(4,0),(0,4)(2)抛物线的解析式为ya(x1)(x4)a(x23x4),即4a4,解得a1,故抛物线的解析式为yx23x4.(3)直线CA过点C,设其函数解析式为ykx4.将点A坐标代入上式并解得k1,故直线CA的解析式为yx4,如图,过点P作y轴的平行线交AC于点H,OAOC4,OACOCA45,PHy轴,PHDOCA45.设点P(x,x23x4),则点H(x,x4),PDHPsinPHD(x4x23x4)x22x.0,PD有最大值,当x2时,其最大值为2,此时点P(2,6)类型二【例2】 (1)在yx2中,令y0,得x4.令x0,得y2,A(4,0),B(0,2)

16、把A(4,0),B(0,2),代入yx2bxc得解得抛物线的解析式为yx2x2.(2)如图1,过点B作x轴的平行线交抛物线于点E,过点D作BE的垂线,垂足为点F.图1BEx轴,BACABE.ABD2BAC,ABD2ABE,即DBEABE2ABE,DBEABE,DBEBAC.设D点的坐标为(x,x2x2),则BFx,DFx2x,tanDBE,tanBAC,即,解得x10(舍去),x22,当x2时,x2x23,点D的坐标为(2,3)(3)如图2,当BO为边时,OBEF,且OBEF,图2设E(m,m2),F(m,m2m2),EF|(m2)(m2m2)|2,解得m12,m222,m322.如图3,当B

17、O为对角线时,OB与EF互相平分,图3过点O作OFAB,直线OF:yx交抛物线于点F(22,1)和(22,1),求得直线EF的解析式为yx1或yx1,直线EF与AB的交点为E,点E的横坐标为22或22.综上,E点的坐标为(2,1)或(22,1)或(22,1)或(22,3)或(22,3)跟踪训练2解:(1)将点A,B坐标代入二次函数解析式得解得故抛物线的解析式为yx26x5,令y0,则x1或5,即点C(1,0)(2)如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点G,图1将点B,C的坐标代入一次函数解析式并解得直线BC的解析式为yx1,设点G(t,t1),则点P(t,t26t5),SPBCPG(xCxB)

18、(t1t26t5)t2t6.0,SPBC有最大值,当t时,其最大值为.如图2,设直线BP与CD交于点H,图2当点P在直线BC下方时,PBCBCD,点H在BC的中垂线上,线段BC的中点坐标为(,),过该点与BC垂直的直线的k值为1,设BC的中垂线的解析式为yxm,将点(,)代入上式并解得直线BC中垂线的解析式为yx4,同理直线CD的解析式为y2x2,联立并解得x2,即点H(2,2)同理可得直线BH的解析式为yx1,联立并解得x或4(舍去4)故点P(,);当点P(P)在直线BC上方时,PBCBCD,BPCD,则直线BP的解析式为y2xs,将点B的坐标代入上式并解得s5,即直线BP的解析式为y2x5

19、,联立并解得x0或4(舍去4),故点P(0,5)综上,点P的坐标为(,)或(0,5)类型三【例3】 (1)15提示:设由基函数y2x先左右平移a个单位,再向下平移7个单位得y2x5,y2(xa)72x5,2x2a72x5,a1,即y2(x1)7,向左平移1个单位,平移距离5.(2)yx26x5(x3)24,是基函数yx2的像,平移路径为:向右平移3个单位,向下平移4个单位,平移距离5.(3)y3,是基函数y的像,平移路径为:向左平移1个单位,向上平移3个单位,平移距离.跟踪训练3解:(1)函数的解析式为y(x1)(x5)(x24x5)x2x,点M坐标为(2,3)(2)当x8时,y(x1)(x5

20、)9,即点C(8,9),S四边形AMBCAB(yCyM)6(93)36.(3)y(x1)(x5)(x24x5)(x2)23,抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位得到一条新的抛物线,则新抛物线解析式为yx2,则定点D与动点P之间距离PD.0,PD有最小值,当x23m时,PD值最小,当m时,d|m|,当m时,d.类型四【例4】 (1)将点(2,4)代入yx2bxc得2bc0,c2b.(2)m,n,n,n2bm24mm2.(3)yx2bx2b(x)22b,对称轴为直线x,当b0时,c0,函数不经过第三象限,则c0;此时yx2,当5x1时,函数的最小值是0,最大值是25,最大值与最小值之差

21、为25;(舍去)当b0时,c0,函数不经过第三象限,则0,0b8,4x0,当5x1时,函数有最小值2b,当52时,函数有最大值13b,当21时,函数有最大值253b;函数的最大值与最小值之差为16,当最大值为13b时,13b2b16,b6或b10,4b8,b6;当最大值为253b时,253b2b16,b2或b18,2b4,b2.综上所述b2或b6.跟踪训练4解:(1)当x0时,y4,则点A的坐标为(0,4),当y0时,0x2x4,解得x14,x28,则点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(8,0),OAOB4,OBAOAB45,将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD,BAD90,OAD45

22、,ODA45,OAOD,点D的坐标为(4,0),设直线AD的函数解析式为ykxb,则解得即直线AD的函数解析式为yx4.(2)如图,作PNx轴交直线AD于点N,作PHAD于点H,设点P的坐标为(t,t2t4),则点N的坐标为(t,t4),PN(t2t4)(t4)t2t,PNx轴,PNy轴,OADPNH45,则PHN90,PHPN(t2t)t2t(t6)2,当t6时,PH取得最大值,此时点P的坐标为(6,),即当点P到直线AD的距离最大时,点P的坐标是(6,),最大距离是.类型五【例5】 (1)yx3,令x0,则y3;令y0,则x6,故点B,C的坐标分别为(6,0),(0,3),抛物线的对称轴为

23、直线x1,则点A(4,0),则抛物线的解析式为ya(x6)(x4)a(x22x24),即24a3,解得a,故抛物线的解析式为yx2x3.(2)如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点G,作PHBC于点H,图1则HPGCBA,tanCBAtan ,则cos ,设点P(x,x2x3),则点G(x,x3),则PHPGcos (x2x3x3)x2x,0,PH有最小值,此时x3,则点P(3,)(3)当点Q在x轴上方时,则以点Q,A,B为顶点的三角形与ABC全等,此时点Q与点C关于抛物线的对称轴对称,则点Q(2,3)当点Q在x轴下方时,如图,以Q,A,B为顶点的三角形与ABC相似,则ACBQAB,当ABCA

24、BQ时,直线BC的解析式的k值为,则直线BQ的解析式的k值为,设直线BQ的解析式为yxb,将点B的坐标代入上式并解得直线BQ的解析式为yx3,联立并解得x6或8(舍去6),故点Q(Q)坐标为(8,7)当ABCAQB时,同理可得直线BQ的解析式为yx,联立并解得x6或10(舍去6),故点Q(Q)的坐标为(10,12)综上,点Q的坐标为(2,3)或(8,7)或(10,12)跟踪训练5解:(1)把点B(4,m)代入yx中得m,B(4,),把点A(1,0),B(4,),C(0,)代入抛物线中得 解得抛物线的解析式为yx2x.yx2x(x1)22,点M的坐标为(1,2)(2)点P为直线AB下方抛物线上一

25、动点,1x4,如图1所示,过点P作y轴的平行线交AB于点H,图1设点P的坐标为(m,m2m),则点H(m,m),SPABHP(xBxA)(m2m2)5(m)2,当m时,S取得最大值,最大值为,此时点P(,)(3)如图2所示,图2令y0,解得x11,x23,D(3,0),M(1,2),A(1,0),AMD为等腰直角三角形,设点N的坐标为(n,n2n),QENMFQ(AAS),FQEN2,MFEQn2n,n2n1n2,解得n5或1(舍),点Q的坐标为(7,0),同理,可知另一个点Q的坐标为(5,0),当Q(1,0)时,QMNMAD,综上所述,点Q的坐标为(7,0)或(5,0)或(1,0)类型六【例

26、6】 (1)A(0,3),等腰RtOAB,AB3OA,B(3,3),将点A,B的坐标代入yx2bxc得(2)存在B(3,3),直线OB的解析式为yx.yx23x3,设P(m,m23m3),Q(m,m),PQAB,OAAB,OAPQ,若四边形APQO是平行四边形,PQm23m3m3,解得m10(舍去),m22,当m2时,y4635,P(2,5),即当P(2,5)时,四边形APQO是平行四边形跟踪训练6解:(1)二次函数解析式为ya(x1)29,将点A的坐标代入上式并解得a1,故抛物线的解析式为yx22x8,则点B(3,5),将点A,B的坐标代入一次函数解析式并解得直线AB的解析式为y2x1.(2

27、)存在理由:二次函数对称轴为直线x1,则点C(1,1),如图,过点D作y轴的平行线交AB于点H,设点D(x,x22x8),点H(x,2x1),SDAC2SDCM,则SDACDH(xCxA)(x22x82x1)(13)(91)(1x)2,解得x1或5(舍去5),故点D(1,5),(3)设点Q(m,0),点P(s,t),ts22s8,当AM是平行四边形的一条边时,点M向左平移4个单位长度,向下平移16个单位长度得到A,同理,点Q(m,0)向左平移4个单位长度,向下平移16个单位长度为(m4,16),即为点P,即m4s,16t,而ts22s8,解得s6或4,故点P(6,16)或(4,16)当AM是平行四边形的对角线时,由中点坐标公式得ms2,t2,而ts22s8,解得s1,故点P(1,2)或(1,2)综上,点P(6,16)或(4,16)或(1,2)或(1,2)