1、专题五函数的实际应用类型一 最大利润问题 (2018安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景平均每盆利润是160元，花卉平均每盆利润是19元调研发现：盆景每增加1盆，盆景平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景平均每盆利润增加2元；花卉的平均每盆利润始终不变小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？【分析】 (1)分别用含x的代数式表示第二期培植的盆景和花
2、卉的数量，根据利润每盆的利润数量可求解；(2)先根据WW1W2用含x的代数式表示W，并配成顶点式，再结合抛物线的开口方向、自变量x的取值范围和x是正整数可求出W的最大值【自主解答】 【方法点拨】1.一般由表格求二次函数的表达式常用的方法就是待定系数法；2.求二次函数的最值常将二次函数配方，然后根据开口方向和对称轴求最值【难点突破】本题的难点是如何正确运用二次函数的顶点式及自变量的实际意义确定最大值1(2019黔东南州)某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种土特产每袋成本10元试销阶段每袋的销售价x(元)与该
3、土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表：x(元)152030y(袋)252010若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：(1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式；(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？2(2019合肥38中一模)大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市已知超市中某商品的进价为每件20元，售价是每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元设每件商品的售价上涨x元(x为非负整数)，每个月的销售利润为y元(1)求
4、y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)利用函数关系式求出每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1 920元？这时每件商品的利润率是多少？3(2019辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日
5、获利最大？最大获利是多少元？4(2019潍坊)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场与去年相比，今年这种水果的产量增加了1 000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其
6、他费用忽略不计)5(2019合肥行知中学一模)肥东县八斗镇某小龙虾养殖大户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系为：p日销售量y(千克)与时间t(天)之间的函数关系如图所示：(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m(m0，抛物线开口向上，当t41时，w最大2 301.2 4502 301，第30天的日销售利润最大，最大利润为2 450元(3)设前40天小龙虾的实际日销售利润为w，得w(t166m)
7、(2t200)t2(302m)t2 000200m，其函数图象的对称轴为t2m30，w随t的增大而增大，且1t40，由二次函数的图象及其性质可知402m30，解得m5，又m7，5m7.类型二【例2】 解：(1)设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意，得解得答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元(2)根据题意，得95515x5(120x)1 000，解得35.5x40.x是整数，x36，37，38，39，40.有5种购买方案(3)W15x5(120x)10x600，100，W随x的增大而增大，当x36时，W最小1036600960(元)，1203684.答：购买甲种文具36个，乙
8、种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元跟踪训练1解：(1)当游泳次数为x时，方式一费用为：y130x200，方式二的费用为：y240x；(2)由y1y2得：30x20040x，解得x20时，当x20时，选择方式一比方式二省钱2解：(1)设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元由题意，得：解得答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元(2)设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖(12 000x)块，所需的总费用为y元由题意知x(12 000x)，得x4 000.又x6 000，蓝色地砖块数x的取值范围为4 000x6 000.当4 000x5 000时，y10x80.8(12 000x)76 8
9、003.6x.x4 000时，y有最小值91 200.当5 000x6 000时，y0.910x80.8(12 000x)2.6x76 800.x5 000时，y有最小值89 800.答：购买蓝色地砖5 000块，红色地砖7 000块，费用最少，最少费用为89 800元3解：(1)设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，依题意，得：解得答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元(2)设购进A型汽车m辆，购进B型汽车(10m)辆，根据题意得：解得：3m5，m是整数，m3或4.当m3时，该方案所用费用为：253307285(万元)；当m4时，该方案所用费用为：
10、254306280(万元)答：最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元类型三【例3】 (1)如解图所示，建立平面直角坐标系由题意可知A(4，0)，B(4，0)，顶点E(0，1)，设抛物线G的表达式为yax21，A(4，0)在抛物线G上，16a10，解得a.yx21.自变量的取值范围为4x4.(2)当y1.510.5时，x210.5，解得x2，则m的取值范围是42m42.跟踪训练1解：(1)设抛物线表达式为yax2c，由题意可得图象经过点(5，0)，(0，4)，则解得故抛物线的表达式为yx24.(2)由题意可得y3时，3x24，解得x，故EF5.答：水面宽度EF
11、的长为5 m.2解：(1)当y15时，155x220x，解得，x11，x23，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s；(2)当y0时，05x220x，解得x10，x24.404，在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s；(3)y5x220x5(x2)220，则当x2时，y取得最大值，此时，y20，答：在飞行过程中，小球飞行高度在第2 s时最大，最大高度是20 m.3解：(1)由图象可知过点(0，45)，(5，0)，(45，0)，则解得yx210x45(x25)280.x25时，y最大为80万元答：最大的利润是80万元(2)由(1)知a，则总利润关系变为y
12、x2mxm(x)2(m214m)，设w(m214m)，则m7为该函数的对称轴，7m15，二次项系数为正，当m15时，w值最大，当x时，y有最大值，最大值为92万元，答：增加15人，在第天总利润最大为92万元类型四【例4】 解：(1)设ADx米，则BCx米，ABCD(100x)(50x)米，依题意有：x(50x)450，整理得x2100x9000，解得x90或x10.MNa20，MNAD，x90不合题意，舍去x10，即AD长为10米(2)设ADy，则，ABCD(50y)米，满足解得0y100，设矩形ABCD的面积为S，则：Sy(50y)y250y(y50)21 250，若a50，则当y50时，S
13、最大1 250.若当0a50，则当0ya时，S随y的增大而增大，故当ya时，S最大50aa2.综上所述，当a50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是1 250平方米当0a50时，矩形菜园ABCD的面积的最大值是(50aa2)平方米跟踪训练1解：(1)在矩形ABCD中，CDAB16，ADBC12，正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，AGx，DG12x.FLx(12x)2x12.BE16x.LJ(16x)x162x.S矩形LJHFFLLJ，y(2x12)(162x)4x256x192.(2)由(1)得，y4x256x1924(x7)24，FL2x12
14、0，LJ162x0，6x8.a40，抛物线开口向下，当x7时，y的最大值4；故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4 m2.2解：(1)根据题意得，y50304x(x10)4x240x1 500，4个出口宽度相同，其宽度不小于14 m，不大于26 m，12x18.y4x240x1 500(12x18)(2)y4x240x1 5004(x5)21 600.a40，抛物线的开口向下，当12x18时，y随x的增大而减小，当x12时，y最大1 404，答：活动区的最大面积为1 404 m2.(3)设投资费用为w元，由题意，得w50(4x240x1500)404x(x10)40(x5)276 000，当w72 000时，解得：x15(不符合题意舍去)，x215.a400，抛物线开口向下当x15时，w72 000.又12x18，15x18，当x18时，投资费用最少，此时出口宽度为502x5021814(m)，答：投资最少时活动区的出口宽度为14 m.