1、专题二几何图形最值问题类型一 线段最值问题 (2017安徽)如图，在矩形ABCD中，AB5，AD3.动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PAPB的最小值为( )A. B. C5 D.【分析】 可设P点到AB的距离为h，由SPABS矩形ABCD可得h2，过P作MNAB，分别交AD，BC于点M，N，则说明点P在MN上运动，再作A点关于点M的对称点A1，就可得出PAPBPA1PBA1B，则只需求出A1B即可【自主解答】 【方法点拨】对于几何图形最值问题，常用的策略是转化，就是把握点运动的全过程，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系，其次，画出
2、图形，随着点的移动，与之相关的图形也会发生改变，而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变当一个问题是确定图形的变量之间关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊位置关系或一些特殊值时，通常建立方程模型求解在解题时，常常需要作辅助线帮助理清思路，然后利用直角三角形或圆的有关知识解题如本题，作辅助线，利用轴对称的性质将问题转化为三角形中两边之和大于第三边，当P点在A1B上时，PAPB取得最小值【难点突破】本题的突破口是根据SPABS矩形ABCD推出P点的运动轨迹是在平行于AB的线段上，从而想到利用轴对称将问题转化1如图，在RtAOB中，OAOB3，O的半径为1，点P是AB边上的动
3、点，过点P作圆O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为( )A31 B2C2 D32如图，在RtABC中，B90，AB3，BC4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE最小的值是( )A2 B3 C4 D53(2019合肥42中一模)如图，AB是半O的直径，点C在半O上，AC8cm，tanCAB.D是上的一个动点，连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为()A1 B. C2 D.14(2018天津)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长度等于APEP最小值的是( )
4、AAB BDE CBD DAF5如图，正方形ABCD的面积为18，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，则PDPE的最小值为( )A3 B9 C6 D36(2019合肥长丰县二模)如图，矩形ABCD中，AB5，AD10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点若要使得AFCH，BEDG，则四边形EFGH的周长的最小值为()A5 B10 C15 D107(2019瑶海区一模)如图，在RtABC中，ACB90，B30，AB4，点D，F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AECD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GFFB的最小值是(
5、)A.1 B.1C.1 D.18(2019玉林)如图，在RtABC中，C90，AC4，BC3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是()A5 B6 C7 D89(2019长沙)如图，ABC中，ABAC10，tan A2，BEAC于点E，D是线段BE上一个动点，则CDBD的最小值是()A2 B4 C5 D1610如图，在菱形ABCD中，ABC60，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则BPPC的最小值是( )A. B.C3 D.11(2019广西)如图，AB为O的直径，BC，CD是O的切线，切点分别为点B，D，点E为线段OB上的一
6、一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB2，BC2，当CEDE的值最小时，的值为()A. B. C. D.12如图，已知矩形ABCD，AB4，BC6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MAMDME的最小值为( )A32 B43C22 D1013如图，在四边形ABCD中，BAD120，BD90，在BC，CD上分别找一点M，N，当AMN的周长最小时，AMNANM的度数为( )A130 B120 C110 D10014如图，在RtABC中，C90，BC3，AC4，点P在RtABC内且满足SABC3SPAC，则点P到A，C两点距离之和PAPC的最小值为( )A1 B2C. D.15(2020
7、原创)如图，在矩形ABCD中，AB8，M，N在边AB上，且MN2，AP3，BQ6，则PMMNNQ的最小值是( )A11 B14C23 D3316(2020原创)如图，已知正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，点P是B上的一个动点，则PDPC的最大值为( )A6 B5 C4 D317(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM6.P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为_18(2019东营)如图，AC是O的弦，AC5，点B是O上的一个动点，且ABC45，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是_19(2019黑龙江)如
8、图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且SPABSPCD，则PCPD的最小值为_20(2019广元)如图，ABC是O的内接三角形，且AB是O的直径，点P为O上的动点，且BPC60，O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是_21(2019黄冈)如图，AC，BD在AB的同侧，AC2，BD8，AB8，点M为AB的中点，若CMD120，则CD的最大值是_22(2019鄂州)如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)，以点C为圆心的圆与y轴相切点A、B在x轴上，且OAOB.点P为C上的动点，APB90，则AB长度的最大值为_23(2019宿迁)如图，正方形ABCD的边长为4，E
9、为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边三角形EFG，连接CG，则CG的最小值为_类型二 面积最值问题 (2018成都改编)如图，在RtABC中，ACB90，AB，AC2，过点B作直线mAC，将ABC绕点C顺时针旋转得到ABC(点A，B的对应点分别为A，B)，射线CA，CB分别交直线m于点P，Q.在旋转过程中，当点P，Q分别在CA，CB的延长线上时，四边形PABQ面积的最小值是( )A. B3C3 D3【分析】 由于ABC的面积不变，四边形PABQ的面积的最小值由PCQ的面积来确定，因此只要求得PCQ面积的最小值即可【自主解答】 【方法点拨】当直接求有困
10、难时，常采用间接法将问题转化，从而化繁为简，本题中就是将四边形PABQ的面积的最小值转化为求PCQ面积的最小值【难点突破】本题的难点是如何求PCQ面积的最小值，突破口是想到CGPQ，此时CG，PQ都最小1如图，在半圆O中，AB是直径，CD是一条弦若AB10，则COD面积的最大值是( )A9.5 B12.5C5 D102如图，已知O的半径为6，弦AB6，P为弦AB上一个动点，过点P作弦CD，弦CD，AB所夹的锐角为45，则四边形ADBC面积的最大值为( )A18 B927C18 D183如图，已知边长为2的等边三角形ABC，射线AB上有一动点P(P不与点A，B重合)，以PC为边作等边三角形PDC
11、，点D与点A在BC同侧，E为AC中点，连接AD，PE，ED，则PDE面积的最小值为( )A2 B. C. D.4(2019自贡)如图，已知A、B两点的坐标分别为(8，0)、(0，8)，点C、F分别是直线x5和x轴上的动点，CF10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当ABE的面积取得最小值时，tanBAD的值是()A. B. C. D.5(2019无锡)如图，在ABC中，ABAC5，BC4，D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则BDE面积的最大值为_参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 如解图，过P点作MNAB，分别交AD，BC于点M，N，作A点
12、关于点M的对称点A1，连接BA1，PA1，则PA1与PA关于MN对称且PA1PA.设P点到AB的距离为h，由SPABS矩形ABCD可得h2，则AA14.PAPBPA1PBA1B，A1B，PAPB的最小值为，故选D.跟踪训练1C2.B3.A4.D5.A6.D7.C8B【解析】如解图，设半圆O与AC相切于点D，连接OD，作OPBC，垂足为点P，交O于点F，此时垂线段OP最短，PF的最小值为OPOF，AC4，BC3，AB5.OPB90，OPAC.OP.点O是AB的三等分点，OB5.半圆O与AC相切于点D，ODAC.ODBC.，OD1，MN的最小值为OPOF1.当点N在AB边上，点M与点B重合时，直线
13、MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN的最大值1，MN长的最大值与最小值的和是6.9.B【解析】如解图，作DHAB于点H，CMAB于点M，BEAC，AEB90.tan A2，设AEa，BE2a，则有：100a24a2，a220，a2或2(舍弃)BE2a4.ABAC，BEAC，CMAB，CMBE4(等腰三角形两腰上的高相等)DBHABE，BHDBEA，sinDBH.DHBD.CDBDCDDHCM，CDBD4，CDBD的最小值为4，故选B.10B11.A【解析】如解图，延长CB到点F，使BFBC，则点C与点F关于OB对称，连接DF，与OB相交于点E，此时CEDEDF的值最小，连接OC，BD，两线相交
14、于点G，过点D作DHOB于点H，则OCBD，OC3，OBBCOCBG，BG.BD2BG.OD2OH2DH2BD2BH2，5(BH)2()2BH2，BH.DH.DHBF，故选A.12B13.B14.B15.C16.B17.2 18.【解析】点M，N分别是AC，BC的中点，MNAB，当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，如解图，连接AO并延长交O于点B，连接CB，AB是O的直径，ACB90.ABC45，AC5，ABC45.AB5，MN最大，故答案为.192【解析】ABCD为矩形，ABDC.又SPABSPCD，点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P在线段AD的垂直平分线
15、MN上连接AC，交MN于点P，如解图，此时PCPD的值最小，且PCPDAC2.故答案为2.2063【解析】过点O作OMAC于点M，延长MO交O于点P，则此时点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值为PM，OMAC，ABPC60，O的半径为6，OMOA63.PMOPOM63.点P到AC距离的最大值是63.2114【解析】如解图，作点A关于CM的对称点A，点B关于DM的对称点B.CMD120，AMCDMB60，CMADMB60，AMB60.MAMB，AMB为等边三角形CDCAABBDCAAMBD24814，CD的最大值为14.故答案为14.2216【解析】连接OC并延长，与C交于点P，以O为
16、圆心，以OP为半径作O，交x轴于点A、B，此时AB的长度最大，C(3，4)，OC5.以点C为圆心的圆与y轴相切，C的半径为3.OAOBOP8.AB是O的直径，APB90.AB长度的最大值为16.故答案为16.23.【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动如解图1，将EFB绕点E旋转60，使EF与EG重合，得到EFBGHE，从而可知EBH为等边三角形，如解图2，点G在垂直于HE的直线HN上，过点C作CMHN交HN于点M，则CM即为CG的最小值，过点E作EPCM交CM于点P，可知四边形HEPM为矩形，则CMMPCPHEEC1.类型二【例2】 S四
17、边形PABQSPCQSACBSPCQ，S四边形PABQ最小，即SPCQ最小取PQ的中点G，由PCQ90，得CGPQ.当CG最小时，PQ最小，CGPQ，即CG与CB重合时，CG最小CG的最小值为，PQ的最小值为2.SPCQ的最小值为23.S四边形PABQ的最小值是3.故选B.跟踪训练1B2.C3.C4B【解析】如解图，设直线x5交x轴于点K，由题意KDCF5，点D的运动轨迹是以点K为圆心，5为半径的圆当直线AD与K相切时，ABE的面积最小AD是切线，点D是切点，ADKD.AK13，DK5，AD12.tanEAO，.OE.AE.作EHAB于点H，SABEABEHSAOBSAOE，EH.AH.tanBAD.故选B.5.8 【解析】如解图，过点C作CGBA于点G，作EHAB于点H，作AMBC于点M，ABAC5，BC4，BMCM2.易证AMBCGB，即，GB8，设BDx，则DG8x，易证EDHDCG(AAS)，EHDG8x.SBDEBDEHx(8x)(x4)28.当x4时，BDE面积的最大值为8，故答案为8.