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2020年安徽中考数学总复习专题突破六:二次函数综合题

1、专题六二次函数综合题类型一 代数问题 (2019安徽)一次函数ykx4与二次函数yax2c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点(1)求k,a,c的值;(2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数yax2c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记WOA2BC2,求W关于m的函数解析式,并求W的最小值【分析】 (1)把(1,2)分别代入ykx4和yax2c,得k42和ac2,然后求出二次函数图象的顶点坐标为(0,4),可得c4,然后计算得到a的值;(2)由A(0,m)(0m4)可得OAm,令y2x24m,求出B,C坐标,进而表示出BC长度,将OA,B

2、C代入WOA2BC2中得到W关于m的函数解析式,求出最小值即可【自主解答】 1(2019长春)已知函数(1)当n5,点P(4,b)在此函数图象上,求b的值;求此函数的最大值(2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2,2)、B(4,2),当此函数的图象与线段AB只有一个交点时,直接写出n的取值范围(3)当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4,求n的取值范围2(2014安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;(2)已知关于x的二次函数y12x24mx2m21和y2ax2bx5,其中y1的图象经过点A(1,1)

3、若y1y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0x3时,y2的最大值3(2019陕西)在平面直角坐标系中,已知抛物线L:yax2(ca)xc经过点A(3,0)和点B(0,6),L关于原点O对称的抛物线为L.(1)求抛物线L的表达式;(2)点P在抛物线L上,且位于第一象限,过点P作PDy轴,垂足为D.若POD与AOB相似,求符合条件的点P的坐标4(2019广州)已知抛物线G:ymx22mx3有最低点(1)求二次函数ymx22mx3的最小值(用含m的式子表示);(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一

4、个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围5(2019长沙)已知抛物线y2x2(b2)x(c2 020)(b,c为常数)(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b,c的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c的取值范围;(3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(mn),当mxn时,恰好,求m,n的值类型二 几何问题 (2018泰州)在平面直角坐标系xOy中,二次函数yx22mxm22m2的图象与x轴有两个交点(1)当m2时,求二次函数的图象与x轴交点的坐标;(2)过点

5、P(0,m1)作直线ly轴,二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上),求m的范围;(3)在(2)的条件下,设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B,求ABO的面积最大时m的值【分析】(1)先将m2代入,得出函数解析式,再列一元二次方程即可求解;(2)先对函数图象的大概位置有个初步的认识,结合题干中的条件“图象与x轴有两个交点”得抛物线的顶点在x轴的下方,且在直线l上方,这样可以根据点A的纵坐标列不等式组求解;(3)在(2)的基础上进一步明确抛物线的顶点A在第三象限,用含m的代数式表示出ABO的底AB和高,就可以列出其面积关于m的函数关系式,从而利用二次函数的最值解决问题【

6、自主解答】1如图,二次函数yx22xm的图象与x轴的一个交点为B(1,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C.(1)求m的值;(2)求直线AC的函数表达式;(3)该二次函数的图象上有点D(x,y)(不与点C重合),使SABDSABC,求点D坐标2(2019合肥包河区一模)如图,抛物线yax2bx3经过点A(1,0)、B(4,0),E是线段OB上一动点(点E不与O、B重合),过点E作x轴的垂线交抛物线于点D,交线段BC于点G,过点D作DFBC,垂足为点F.(1)求该抛物线的解析式;(2)试求线段DF的长h关于点E的横坐标x的函数解析式,并求出h的最大值3(2019甘肃)如图,已知二次函数yx2b

7、xc的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式;(2)若点P为抛物线上的一点,点F为对称轴上的一点,且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;(3)点E是二次函数第四象限图象上一点,过点E作x轴的垂线,交直线BC于点D,求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标4(2019本溪)抛物线yx2bxc与x轴交于A(1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合)过点C作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)当PCF的面积为5时,求点P的

8、坐标;(3)当PCF为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标参考答案【专题类型突破】类型一【例1】 解:(1)由题意得,k42,解得k2,则一次函数解析式为:y2x4.又二次函数顶点横坐标为0,顶点坐标为(0,4)c4.把(1,2)代入二次函数表达式得ac2,解得a2.(2)由(1)得二次函数解析式为y2x24,令ym,得2x2m40.x,设B,C两点的坐标分别为(x1,m)(x2,m),则|x1|x2|2,WOA2BC2m24m22m8(m1)27.当m1时,W取得最小值7.跟踪训练1解:(1)当n5时,y,将P(4,b)代入yx2x,得b;当x5时,当x5时有最大值为5;当x5时,当x时有最大

9、值为,函数的最大值为;(2)将点(4,2)代入yx2nxn中,得n,当n4时,图象与线段AB只有一个交点,将点(2,2)代入yx2nxn中,得n2,将点(2,2)代入yx2x中,n,2n时图象与线段AB只有一个交点;综上所述:n4或2n4,n8,当x时,y,4,n,当xn时,yn2n2nn,n8或n0),则y2k(x1)21y1(k2)(x1)2.由题意可知函数y2的图象经过点(0,5),则(k2)(1)25.k25.y25(x1)25x210x5.根据y2的函数图象性质可知:当0x1时,y随x的增大而减小;当12 020.(3)由(1)可知抛物线y2x24x12(x1)21,y1,0mn,当

10、mxn时,恰好,y,1,即m1,1m1,2n22n10,解得n1(舍去),n2.同理,由得到:(m1)(2m22m1)0,1mn,2m22m10,解得m11,m2(舍去),m3(舍去)综上所述,m1,n.类型二【例2】 (1)当m2时,函数为yx24x2,令y0,则x24x20,解得x12,x22,则函数图象与x轴交点的坐标为(2,0),(2,0)(2)yx22mxm22m2(xm)22m2,A(m,2m2)抛物线与x轴有两个交点,且开口向上,点A在x轴下方,由题意,得解得3m1.(3)如解图,由(2)知,抛物线对称轴为直线xm,顶点为A(m,2m2),3m1,A在第三象限B为抛物线对称轴与l

11、的交点,B(m,m1)且点m在点A下方AB2m2(m1)m3.SABO(m)(m3)(m)2.当m时,SABO最大.综上所述,ABO的面积最大时m的值为.跟踪训练1解:(1)将点B(1,0)代入yx22xm,得:12m0,m3,即m的值为3.(2)由(1)知,抛物线的表达式为yx22x3,当y0时,x22x30,解得x11,x23.则A(3,0),B(1,0)设直线AC的解析式为ykxb,有:解得故直线AC:yx3.(3)以AB为底,若SABDSABC,则点C,D到直线AB的距离相等D(x,y),则y3,代入抛物线的表达式中,有:y3时,x22x33,解得x10,x22,D1(2,3);y3时

12、,x22x33,解得x31,x41,D2(1,3),D3(1,3)综上所述,点D的坐标为(2,3),(1,3),(1,3)2解:(1)抛物线 yax2bx3过点 A(1,0),B (4,0),可得解得则抛物线的解析式为yx2x3.(2)DFBC,DEAB,OCAB,OCDE,DGFOCB.sinOCBsinDGF,.DFDG.OC3,OB4,BC5,DFDG.直线BC经过点B(4,0),C(0,3),yBCx3.点G坐标为(x,x3)点D坐标为(x,x2x3),DGx2x3(x3)x23x,DFh(x23x)x2x(x2)2.当x2时,h取最大值,h最大值.3解:(1)用交点式函数表达式得:y

13、(x1)(x3)x24x3;故二次函数表达式为:yx24x3;(2)当AB为平行四边形一条边时,如解图1,解图1则ABPF2,则点P坐标为(4,3),当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形,故:点P(4,3)或(0,3);当AB是平行四边形的对角线时,如图2,解图2AB中点坐标为(2,0)设点P的横坐标为m,点F的横坐标为2,其中点横坐标为:,即:2,解得:m2,故点P(2,1);故:点P(4,3)或(0,3)或(2,1);(3)直线BC的表达式为yx3,解图3设点E坐标为(x,x24x3),则点D(x,x3),S四边形AEBDAB(yDyE)x3x24

14、x3x23x,10,故四边形AEBD面积有最大值,当x,其最大值为,此时点E(,)4解:(1)函数的表达式为:y(x1)(x5)x2x;(2)抛物线的对称轴为x2,则点C(2,2),设点P(2,m),一次函数解析式为ysxt,将点P、B的坐标代入一次函数表达式:ysxt可求解得函数PB的表达式为:ymx,CEPE,直线CE表达式中的k值为,将点C的坐标代入一次函数表达式,同理可得直线CE的表达式为:yx(2),将y0代入并解得:x2,故点F(2,0),SPCFPCDF(2m)(22)5,解得:m5或3(舍去5),故点P(2,3);(3)由(2)确定点F的坐标得:(2,0),CP2(2m)2,CF2()24,PF2()2m2,当CPCF时,即:(2m)2()24,解得:m0或(0舍去),当CPPF时,(2m)2()2m2,解得:m或9,当CFPF时,同理可得:m2(舍去2),故点P(2,)或(2,)或(2,2)或(2,)