1、2020年中考数学专题复习 （一） 函数与三角形,湖北省仙桃市下查埠学校初中部 饶兴国,一、解题方法： 1.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。一般来说，有如下三种情况： .已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； yax2bx+c .(a0，a、b、c为常数.) .已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； ya(xx1)(xx2) .(a0，a、x1、x2 为常数.) .已知抛物线上纵坐标相同的两点、抛物线的顶点或者对称轴或者最大（小）值，一般选用顶点式。 ya(xh)2k .(a0，a、h、k 为常数.),2.二次函数为背景的动点的确定：
2、 (1)动点形成等腰三角形，可以画“一线两圆”来确定动点； (2)动点形成直角三角形，可以根据直角作垂直或画圆来确定动点； (3)动点形成的相似三角形，可以根据确定三角形的形状去确定动点； (4)动点形成的平行四边形，可以通过平移或旋转来确定动点； (5)动点形成的面积问题，可以直观确定。,3.一次函数解析式的确定： ykx+b . (k0，k、b为常数.) .根据直线的解析式和图像上一个点的坐标来确定； .根据直线经过两个点的坐标来确定； .根据函数的图像来确定； .根据直线的对称性来确定； .根据平移规律来确定。,4.全等三角形判定方法： 三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相
3、等的两个三角形全等.(边角边 SAS) 三边对应相等的两个三角形全等.(边边边 SSS) 三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的边也对应相等的两个三角形全等.(角边角 ASA) 三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等.(角角边 AAS) 在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(斜边、直角边 HL) 附加:平移、旋转或对折的两个三角形全等.,5.相似三角形的判定方法： 平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似
4、。 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。 直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。,6.等边三角形的判定方法： 三条边都相等的三角形是等边三角形。 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有两个角是60度的三角形是等边三角形。 有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形。 7.等腰三角形的判定方法： 有两条边相等的三角形是等腰三角形。 有两底角相等的三角形是等腰三角形。 高是底边中线或垂
5、直平分线和顶角的角平分线的三角形是等腰三角形。,1、如图，已知抛物线yax2bx(a0)，过点 和 ，过点A作直线ACx轴，交y轴与点C。 （1）求抛物线的解析式。 （2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与AOC相似，求出对应点P的坐标。 （3）抛物线上是否存在点Q，使得 若存在，求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由。,二、真题解析：,（1）因为点A、B在抛物线上，把点 代入二次函数解析式得： 所以抛物线解析式为：,9得：,代入得：,解：,（2） A、C、D三点纵坐标相同，所以 由题意，在ADP与ACO中， ACO=ADP=90，
6、 在RtACO中，,30,如图：当APD=30时， ADPACO，则：,又因为点P在抛物线上，所以,所以如果以A、D、P为顶点的三角形与AOC相似， 那么APD=30或PAD=30。 可以分为以下三种情况讨论：,即,因为点A与点P不重合，,如图：当PAD=30时， ADPACO，则：,30,B,又因为点P在抛物线上，所以,即,因为点A与点P不重合，,如图，当点P在AC的下方时， PAD=30，ADPACO，则：,又因为点P在抛物线上，所以,即,因为点A与点P不重合，,（3）如图，在CA的延长线上取点M， 使AM=3CA，因为CAx轴，则：,如图，过点M作AO的平行线， 与抛物线交于点Q，那么，
7、 SAOQ = SAOM,作QNAC于N，那么，NQM=CEM=COA=30，,E,即,2、如图所示，二次函数yk(x-1)+2的图象与一次函数 ykx-k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0 （1）求A、B两点的横坐标； （2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值； （3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由,C,B,A,D,o,（1）将二次函数与一次函数联立得： k(x-1)+2kx-k+2， 整理得：(x-1)x-1,(x-1)(x-2)0. 解之得：xA
8、1，xB2. 则 故点A、B的坐标分别为A(1,2)、B(2,k+2).,解：,（2）在OAB中，已知O(0,0)， A(1,2)、B(2,k+2)； 根据两点间的距离公式，得： OA=1+2， AB=1+k, 当OAAB时，即:51+k， 解得：k2（舍去2）； 当OAOB时，即:54+(k+2)， 解得:k-1或k-3； 故k的值为:-1或-2或-3.,OB=2+(k+2).,（3）存在，理由： 1当点B在x轴上方时， 在x轴上取点F(3,0), 因为xE=1，xB=2， 所以，点B在EF的垂直平分线上， 延长FB交y轴于点H，那么： EBH=2BEC， 所以，ODC=EBH.,延长BE交
9、y轴于点G， 在GDB和GBH中， 因为GDB=GBH，DGB=HGB， 所以，GDBGBH，那么，,作BMx轴M，E是OM的中点，OE=EM， GEO=BEM，所以： GOEBEM，GO=BM=k+2，GB=2EB. 则有，GB=4EB=41+(k+2).,在RtOFH和RtMFB中， BMHO，HFO=BFM， 所以，OFHMFB，那么，,HO=3BM=3(k+2),GH=GO+HO=k+2+3(k+2)=4(k+2).,在直线ykx-k+2上,当x=0，y=2-k, 即，D(0,2-k),DO=2-k. 所以，GD=GO+DO=k+2+2-k=4.,由GB=GHGD,得： 41+(k+2
10、)=44(k+2). 整理，得：k-3=0,2当点B在x轴下方时， 在x轴上取点F(3,0), 延长FB交y轴于点H， 延长BE交y轴于点G.,由ODC=2BEC=HBG， DHB=GHB，得:DHBGHB，,HB=HGHD.,作BMx轴M，E是OM的中点，OE=EM， GEO=BEM，HFO=BFM， 所以：GEOBEM，GO=BM， 由B(2,k+2)得，BM=GO=-(k+2). 所以：OFHMFB，,HO=3BM=-3(k+2),因为GH=GO+HO=-(k+2)-3(k+2), 所以GH=-4(k+2). 又因为HD=HO+DO=-3(k+2)+2-k, 所以HD=-4(k+1).,
11、所以：HB=2BF,HB=4BF, 由BF=-(k+2)+1 =(k+2)+1， 得：HB=4(k+2)+1,由HB=HGHD，得： 4(k+2)+1=-4(k+2)-4(k+1)， 整理，得：3k+8k+3=0,3.如图,抛物线yax2bx+c,(a0)经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将BCD沿直线BD翻折得到BCD,若点C恰好落在抛物线的对称轴上,求点C和点D的坐标； (3)设P是抛物线上位于对称轴 右侧的一点,点Q在抛物线的 对称轴上,当CPQ为等边三角形 时,求直线BP的
12、函数表达式.,解：,（1）抛物线经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点. 设抛物线的交点式为ya(x+1)(x-3) . 代入点A(-2,5),得，5=a(-2+1)(-2-3). 5=5a, a=1. 所以， y(x+1)(x-3)=x-2x-3.,（2）如图，因为BCD沿直线BD翻折得到BCD， 点C落在抛物线的对称轴上,连接CC， 所以，BC=BC,BC=CC，则， BCC是等边三角形， CBD=CBD=30， 又因为抛物线与x轴相交于 B(-1,0),C(3,0)， 所以，BC=1+3=4， BC=CC=4， 因为对称轴与x轴交于点H，且x=1， 所以，H点
13、的坐标为(0,1),BH=2.,在RtBHD中，HBD=30,BH=2,在RtBHC中，BC=4，BH=2, CH+BH=CB,(3)等边三角形BCC与等边三角形QCP有一个公共点C， 分两种情况讨论： 如图，当点P在x轴上方时， BCQ绕着点C顺时针旋转60 与CCP重合.所以， PC=BQ，PC=QC. 当点Q落在对称轴上时，BQ=QC， 等量代换，得到PC=PC， 所以点P在线段CC的垂直平分线上. 又因为直线BD垂直平分CC， 所以直线BP就是BD.,设直线BD的解析式为,ykx+b,所以直线BD也就是BP的解析式为：,如图，当点P在x轴下方时，BCP绕着点C顺时针旋转60与CCQ重合.所以，PBC=QCC. 当点Q落在对称轴上时，,等量代换，得到:PBC=30.,设直线BP与y轴交于点E， 在RtBOE中，PBC=30，OB=1，,设直线BP的解析式为,ykx+b,所以直线BP的解析式为：,综上所述，直线BP的函数表达式为：,或,