1、全等到相似的转化 知识互联网 题型一：全等到相似的转化（对称型）典题精练 【例1】 已知正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处 当时，_， 当时，求的值； 当时（点与点不重合），请写出翻折后与正方形公共部分的面积与的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）【解析】 6 ； 如图1，当点在上时，延长交于点，又，设，则，在中，由勾股定理得：，解得； 如图2，当点在延长线上时，延长交于点，同可得设，则在中，由勾股定理，得，解得 当点在上时，； （所求的面积即为的面积，再由相似表示出边长） 当点在延长线上时， 题型二：全等到相似的转化（旋转型）典题精练【例2】 在
2、和中，、交于点 如图1，则 ，与的数量关系是 ； 如图2，则的度数为 （用含的式子表示），与之间的数量关系是 ；填写你的结论，并给出你的证明； 请你继续完成下面探索：如图3，在和中，则的度数为 （用含的式子表示），与之间的数量关系是 ；填写你的结论，并给予证明【分析】 此题考察学生对共顶点的三角形的全等与相似.解决这里夹角的主要思路是我们常见的模型“八字角”.【解析】 ，相等；，相等； ， ，.易证，【例3】 如图，直线与线段相交于点, 点和点在直线上，且. 如图1所示，当点与点重合时 ，且，请写出与的数量关系和位置关系； 将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，中的与的数量关系和位置关系
3、是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值【答案】 ； 仍然成立.证明: 过点作于,过点作于, 延长与的延长线相交点又 过点作于,过点作于易证 ， 由知 【例4】 如图，是由绕点顺时针旋转得到的，连结交斜边于点，的延长线交于点 证明：； 设，试探索、满足什么关系时，与是全等三角形，并说明理由 【解析】 证明：是由绕点顺时针旋转得到的， 又 解：当时，在中，在中，即，由知：，.【例5】 如图，正方形的对角线与相交于点，正方形与正方形全等，射线与不过、四点且分别交BC、CD的边于、两点 求证：； 若将原题中的正方形改为矩形，且，其他条件不变，探索线
4、段与线段的数量关系【解析】 证明：过点作于点，于点.为正方形对角线、的交点，.又在和中 . . 解：当交于点，交于点时. 过点作于点，于点H.MGE=MHF=.M为矩形对角线AC、BD的交点，EMG+GMQ =HMF +GMQ=.EMG =HMF.在MGE和MHF中，MGEMHF. .M为矩形对角线AC、BD的交点，MB=MD=MC又MGBC，MHCD，点G、H分别是BC、DC的中点. ，. .【例6】 如图，是两个全等的等腰直角三角形，的顶点与的斜边的中点重合将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点（1）如图，当点在线段上，且时，求证：；（2）如图，当点在线段的延长线上
5、时，求证：；并求当，时，两点间的距离 （用含的代数式表示）【解析】（1）证明：是等腰直角三角形，的中点，在中，；（2）解：连接，是两个全等的等腰直角三角形，即，在中，复习巩固题型一 全等到相似的转化（对称型）【练习1】 如右图，在正方形ABCD中，AB=1，BEAP于E，DFAP于F，若= m(m为常数)，则= .【解析】【练习2】 如图，已知，以为边作矩形ABCD，使，过点D作DE垂直OA的延长线交于点EOBCAED 当a为何值时，？请说明理由，并求此时点C到OE的距离 当a为何值时，C到OE的距离是15?【解析】 当时，当时，过作，过作 为矩形又，为正方形， 当时，到的距离是15；， 题型
6、二 全等到相似的转化（旋转型）【练习3】 现有一副直角三角板，按下列要求摆放： 如图1，固定等腰直角三角板，于，另一个直角三角板的直角顶点与重合，现让三角板绕点旋转，保证、分别交、于点、试探求的值； 如图2，交换两块三角板的位置，固定直角三角板，于，另一个等腰直角三角板的直角顶点与点重合，、分别交、于点，试问的值又将如何变化？【解析】 ，得，由，得，又由，得，故【练习4】 如图1，在中，是边上一点，是边上的一个动点（与点、不重合），与射线相交于点如图2，如果点是边的中点，求证：；如果，求的值.【解析】 如图，连结，那么是等腰直角三角形的斜边上的高根据“角边角”可以证明，从而得到 如图，作，垂足分别为点、，那么与都是等腰直角三角形，因为与都是的余角，所以又因为，所以因此【练习5】 填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧， ，直线AE、BD交于点F 如图1，若，则_；如图2，若，则_； 如图3，若，则_(用含的式子表示)； 将图3中的ABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图4或图5在图4中，与的数量关系是_；在图5中，与的数量关系是_请你任选其中一个结论证明AAABBBCCCDDDEEEFFF图1图2图3AABBCCDDEEFF图4图5 Q【解析】 ，； ； 图4中：；图5中：的证明如下：如图4，设与的交点为，得11