1、 三大几何变换 知识互联网 题型一：平移变换思路导航平移一般是在需要同时移动两条线段或元素的时候，才考虑的方法典题精练【例1】 已知：如图，正方形中，是上一点，于点 求证： 求证： 【解析】 延长到点，使得，连接、 ，四边形为平行四边形，又，在和中 由知道为等腰直角三角形在中，当时，取到等号【例2】 在RtABC中，A=90，D、E分别为AB、AC上的点 如图1，CE=AB，BD=AE，过点C作CFEB，且CF=EB，连接DF交EB于点G，连接BF，请你直接写出的值； 如图2，CE=kAB，BD=kAE，求k的值图2图1【解析】(1). (2)过点C作CFEB且CF=EB，连接DF交EB于点G
2、, 连接BF.四边形EBFC是平行四边形. CEBF且CE=BF.ABF=A=90.BF=CE=kAB.BD=kAE，. ,GDB=AEB.DGB=A=90.GFC=BGF=90.k=. 题型二：轴对称变换典题精练【例3】 如图，已知正方形纸片的边长为，的半径为，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使恰好与相切于点（与除切点外无重叠部分），延长交边于点，则的长是 将弧沿弦折叠交直径于点，若，则的长是_ 【解析】 过点作于则四边形是矩形，设，则根据对称性可知，在中，即，解得， 将半圆还原，点关于的对称点为，作于根据“翻折”的性质可知，则，则，BC2=BHAB【例4】 把正方形沿着折叠使点
3、落在上，交于点，已知正方形的边长为，求的周长【解析】 在上取点，使，连接，由翻折得对称性可知在和中，在和中的周长为题型三：旋转变换典题精练【例5】 在RtABC中，AB=BC，B=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转 当点O为AC中点时，如图1， 三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；如图2， 三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断中的猜想是否成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F
4、两点，若，求的值COBAOE图1FBAOCEF ABCEF图2图3CBAOEF【解析】（1） 猜想：. 成立. 证明：连结OB.AB=BC , ABC=90,O点为AC的中点，,BOC=90,ABO=BCO=45.EOF=90，EOB=FOC. 又EBO=FCO，OEBOFC（ASA）.BE=CF. 又BA=BC, AE=BF.在RtEBF中，EBF=90, . （2）解：如图，过点O作OMAB于M，ONBC于N.AO BCEFMNB=90, MON=90. EOF=90,EOM=FON. EMO=FNO=90，OMEONF. AOM和OCN为等腰直角三角形，AOMOCN .， . 【例6】
5、和是绕点旋转的两个相似三角形，其中与、与为对应角如图1，若和分别是以与为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点、在同一条直线上的位置时，请直接写出线段与线段的关系；若和为含有角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段与线段的关系，并说明理由；若和为如图3的两个三角形，且，在绕点旋转的过程中，直线与夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含、的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由【解析】 线段与线段的关系是 如图2，连接、并延长，设交点为点 ， 在中，又， ， ， 即 在绕点旋转的过程中，直线与夹角度数不改变，度复习巩固题型一 平移变换 巩固练习【练习1】 如图，已知，若，则
6、的度数为_【解析】 . 通过作平行线平移角，使角与角之间联系起来A【练习2】 如下图，两条长度为的线段和相交于点，且，求证： 【解析】 考虑将、和集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系作且，则四边形是平行四边形，从而（教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），在中可得，即由于，所以是等边三角形，故，所以题型二 轴对称变换 巩固练习 【练习3】 如图矩形纸片，上有一点，上有一点，过作交于，将纸片折叠，使点与点重合，折痕与交于点，则的长是_cm 【解析】 . 解法：过Q作QMDC，设QP=x，QE=x，DE=2，在RtQME中， 题型三 旋转变换 巩固练习【练习4】 已知正
7、方形中，点在边上，（如图所示） 把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点的距离为 【解析】 或题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线上的点”，所以有两种情况如图所示：顺时针旋转得到点，则，逆时针旋转得到点，则，【练习5】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为和将矩形 绕点顺时针旋转度，得到四边形，使得边与轴交于点，此时边、分别与边所在的直线相交于点、 如图1，当点与点重合时，求点的坐标； 在的条件下，求的值； 如图2，若点与点不重合，则的值是否发生变化？若不变，试证明你的结论；若有变化，请说明理由（图1）（图2） （北京东城期末） 【解析】 将矩形绕点顺时针旋转度，得到四边形，且、的坐标分别为和，（图1）点的坐标为 ，且，同理，（或：） 如图2所示，作交于点，且，四边形是平行四边形 （图2），又， 的值不会发生改变课后测【测试1】在四边形中，和的长度分别为和，那么的长为_【解析】自点作交于，则四边形是平行四边形，又所以，是等腰三角形，所以【测试2】如图，已知中，点在边上，把沿翻折使与重合，得，则与重叠部分的面积为（）ABCD【解析】A【测试3】如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是_【解析】或11