1、中考专题训练 动点问题例1. 如图， 在中，于点， 点从点出发， 在线段上以每秒的速度向点匀速运动， 与此同时， 垂直于的直线从底边出发， 以每秒的速度沿方向匀速平移， 分别交、于、，当点到达点时， 点与直线同时停止运动， 设运动时间为秒（1） 当时， 连接、，求证： 四边形为菱形；（2） 在整个运动过程中， 所形成的的面积存在最大值， 当的面积最大时， 求线段的长；（3） 是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在， 请求出此时刻的值；若不存在， 请说明理由 【解答】（1） 证明： 当时，则为的中点， 如答图 1 所示 又，为的垂直平分线，于点，即四边形为菱形 （2） 解： 如答图 2 所示，
2、 由 （1） 知，即，解得：，当秒时，存在最大值， 最大值为，此时（3） 解： 存在 理由如下：若点为直角顶点， 如答图 3所示，此时，即，此比例式不成立， 故此种情形不存在；若点为直角顶点如答图 3所示，此时，即，解得；若点为直角顶点，如答图所示 过点作于点，过点作于点，则，即，解得，在中， 由勾股定理得：，即，解得，在中， 由勾股定理得：在中， 由勾股定理得：，即：化简得：，解得：或（舍 去）综上所述， 当秒或秒时，为直角三角形 例2. 如图， 在同一平面上， 两块斜边相等的直角三角板和拼在一起， 使斜边完全重合， 且顶点，分别在的两旁，（1） 填空：， （2） 点，分别从点，点同时以每秒
3、的速度等速出发， 且分别在，上沿，方向运动， 当点运动到点时，、两点同时停止运动， 连接，求当、点运动了秒时， 点到的距离 （用 含的式子表示）（3） 在 （2） 的条件下， 取中点，连接，设的面积为，在整个运动过程中，的面积存在最大值， 请求出的最大值 （参考数据，【解答】解： （1），；故答案为：，；（2） 过点作于，作，交的延长线于，如图所示：则，点到的距离为；（3），为的中点，的面积梯形的面积的面积的面积，即是的二次函数，有最大值，当时，有最大值为例3. 如图，是正方形的对角线，边在其所在的直线上平移， 将通过平移得到的线段记为，连接、，并过点作，垂足为，连接、（1） 请直接写出线段在
4、平移过程中， 四边形是什么四边形？（2） 请判断、之间的数量关系和位置关系， 并加以证明；（3） 在平移变换过程中， 设，求与之间的函数关系式， 并求出的最大值 【解答】（1） 四边形为平行四边形；（2），理由如下：四边形是正方形，在和中，；（3） 如图， 过作于如图 1 ，当点在点右侧时，则，即，又，当时，有最大值为 2 ；如图 2 ，当点在点左侧时，则，即，又，当时，有最大值为；综上所述，当时，有最大值为 2 例4. 如图， 在平面直角坐标系中，为原点， 四边形是矩形， 点，的坐标分别是和，点是对角线上一动点 （不 与，重合） ，连结，作，交轴于点，以线段，为邻边作矩形（1） 填空： 点的
5、坐标为，；（2） 是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在， 请求出的长度；若不存在， 请说明理由；（3）求证：；设，矩形的面积为，求关于的函数关系式 （可 利用的结论） ，并求出的最小值 【解答】解： （1）四边形是矩形，故答案为，（2） 存在 理由如下：，如图 1 中， 当在线段上时，是等腰三角形， 观察图象可知， 只有，是等边三角形，在中，当时，是等腰三角形 如图 2 中， 当在的延长线上时，是等腰三角形， 只有，综上所述， 满足条件的的值为 2 或（3）如图 1 ，过点作交于，交于，和，直线的解析式为，设，如图 2 中， 作于在中，在中，矩形的面积为，即，时，有最小值例5. 已知，斜
6、边，将绕点顺时针旋转，如图 1 ，连接（1） 填空： 60 ；（2） 如图 1 ，连接，作，垂足为，求的长度；（3） 如图 2 ，点，同时从点出发， 在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动， 当两点相遇时运动停止， 已知点的运动速度为 1.5 单位秒， 点的运动速度为 1 单位秒， 设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？【解答】解： （1） 由旋转性质可知：，是等边三角形，故答案为 60 （2） 如图 1 中，是等边三角形，（3）当时，在上运动，在上运动， 此时过点作且交于点则，时，有最大值， 最大值当时，在上运动，在上运动 作于 则，当时，取最大值，当时，、都在上运动， 作于，当时，有最大值， 最大值，综上所述，有最大值， 最大值为