1、2020中考数学 专题练习：圆的综合题（含答案）类型一与全等结合1. 如图，O的直径AB4，C为O上一点，AC2.过点C作O的切线DC，P点为优弧上一动点(不与A、C重合)(1)求APC与ACD的度数；(2)当点P移动到劣弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；(3)当PC为O的直径时，求证：APC与ABC全等第1题图(1)解：AC2，OAOBOCAB2，ACOAOC，ACO为等边三角形，AOCACOOAC60，APCAOC30，又DC与O相切于点C，OCDC，DCO90，ACDDCOACO906030；第1题解图(2)证明：如解图，连接PB，OP，AB为直径，AOC60，COB120，当点P
2、移动到的中点时，COPPOB60，COP和BOP都为等边三角形，OCCPOBPB，四边形OBPC为菱形；(3)证明：CP与AB都为O的直径，CAPACB90，在RtABC与RtCPA中，RtABCRtCPA(HL)2. 如图，AB为O的直径，CA、CD分别切O于点A、D，CO的延长线交O于点M，连接BD、DM.(1)求证：ACDC；(2)求证：BDCM；(3)若sinB，求cosBDM的值第2题图(1)证明：如解图，连接OD，CA、CD分别与O相切于点A、D，OAAC，ODCD，在RtOAC和RtODC中，RtOACRtODC(HL)，ACDC；(2)证明：由(1)知， OACODC，AOCD
3、OC，AOD2AOC，AOD2OBD，AOCOBD，BDCM；(3)解：BDCM，BDMM，DOCODB，AOCB，ODOBOM，ODMOMD，ODBBDOC，DOC2DMO，DOC2BDM，B2BDM，如解图，作OE平分AOC，交AC于点E，作EFOC于点F，第2题解图EFAE，在RtEAO和RtEFO中，RtEAORtEFO(HL)，OAOF，AOEAOC，点F在O上，又AOCB2BDM，AOEBDM，设AEEFy，sinB，在RtAOC中，sinAOC，设AC4x，OC5x，则OA3x，在RtEFC中，EC2EF2CF2，EC4xy，CF5x3x2x，(4xy)2y2(2x)2，解得yx
4、，在RtOAE中，OEx，cosBDMcosAOE.3. 如图，O是ABC的外接圆，AC为直径，BEDC交DC的延长线于点E.(1)求证：1BCE；(2)求证：BE是O的切线；(3)若EC1，CD3，求cosDBA.第3题图(1)证明：如解图，过点B作BFAC于点F，ABBD在ABF与DBE中，ABFDBE(AAS)，BFBE，BEDC，BFAC，1BCE；(2)证明：如解图，连接OB，AC是O的直径，ABC90，即1BAC90，BCEEBC90，且1BCE，BACEBC，OAOB，BACOBA，EBCOBA，EBCCBOOBACBO90，EBO90，又OB为O的半径，BE是O的切线；第3题解
5、图(3)解：在EBC与FBC中，EBCFBC(AAS)，CECF1.由(1)可知：AFDE134，ACCFAF145，cosDBAcosDCA.类型二与相似结合4. 如图，ABC内接于O，ABAC，BAC36，过点A作ADBC，与ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与O交于点F.(1)求DAF的度数；(2)求证：AE2EFED；(3)求证：AD是O的切线第4题图(1)解：ABAC，BAC36，ABCACB(18036)72，AFBACB72，BD平分ABC，DBC36，ADBC，DDBC36，DAFAFBD723636；(2)证明：EAFFBCD，AEFAED，EAFEDA，AE2EF
6、ED；(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，ABAC，AG垂直平分BC，AG过圆心O，ADBC ，ADAG ，AD是O的切线第4题解图5. 如图，AB为半圆的直径，O为圆心，OCAB，D为的中点，连接DA、DB、DC，过点C作DC的垂线交DA于点E，DA交OC于点F.(1)求证：CED45；(2)求证：AEBD；(3)求的值第5题图(1)证明：CDACOA9045，又CEDC，DCE90，CED180904545；(2)解：如解图，连接AC，D为的中点，BADCAD4522.5，而CEDCAEACE45，CAEACE22.5，AECE，ECD90，CED45，CECD，又，CDBD
7、，AECECDBD，AEBD；第5题解图(3)解：设BDCDx，AECEx，由勾股定理得，DEx，则ADxx，又AB是直径，则ADB90，AOFADB，1.6. 如图，AB为O的直径，P点为半径OA上异于点O和点A的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BEAB，OE/AD交BE于E点，连接AE、DE，AE交CD于点F.(1)求证：DE为O的切线；(2)若O的半径为3，sinADP，求AD；(3)请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明第6题图(1)证明：如解图，连接OD，OAOD，OADODA，OEAD，OADBOE，DOEODA，BOEDOE，在BOE和DOE中，BOEDOE(
8、SAS)，ODEOBE，BEAB，OBE90，ODE90，OD为O的半径，DE为O的切线；(2)解：如解图，连接BD，AB为O的直径，ADB90，ABDBAD90，ABCD，ADPBAD90，ABDADP，sinABDsinADP，O的半径为3，AB=6，ADAB2；第6题解图(3)解：猜想PFFD，证明：CDAB，BEAB，CDBE，APFABE，PF，在APD和OBE中，APDOBE，PD，AB2OB，PFPD，PFFD.7. 如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，ODAC，OD交O于点E，且CBDCOD.(1)求证：BD是O的切线；(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是
9、菱形(3)如图，作CFAB于点F，连接AD交CF于点G，求的值第7题图(1)证明：AB是O的直径，BCA90，ABCBAC90，ODAC，ACOCOD.OAOC，BACACO，又CODCBD，CBDBAC，ABCCBD90，ABD90，即OBBD，又OB是O的半径，BD是O的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，OEED，OBD90，BEOEED，OBE为等边三角形，BOE60，又ACOD，OAC60，又OAOC，OAC为等边三角形，ACOAOE，ACOE且ACOE，四边形OACE是平行四边形，而OAOE，四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：CFAB，AFCOBD90，而ACOD，C
10、AFDOB，RtAFCRtOBD，即FC，又FGBD，AFGABD，即FG，2，.8. 如图，AB是O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作ECOB交O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AFPC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分FAB；(2)求证：BC2CECP；(3)当AB4且时，求劣弧的长度第8题图(1)证明：PF切O于点C，CD是O的直径，CDPF，又AFPC，AFCD，OCACAF，OAOC，OACOCA，CAFOAC，AC平分FAB；(2)证明：AB是O的直径，ACB90，DCP90，ACBDCP90，又BACD，ACBDCP，EBCP，CEAB，
11、BEC90，CD是O的直径，DBC90，CBP90，BECCBP，CBECPB，BC2CECP；(3)解：AC平分FAB，CFAF，CEAB，CFCE，设CE3k，则CP4k，BC23k4k12k2，BC2k，在RtBEC中，sinEBC，EBC60，OBC是等边三角形，DOB120，.类型三与全等相似结合9. 如图，四边形ABCD内接于圆O，BAD90，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG.(1)求证：ABCD；(2)求证：CD2BEBC；(3)当CG，BE，求CD的长第9题图(1)证明：AC为直径，ABCAD
12、C90，ABCBAD90，BCAD，BCACAD，又ACCA，ABCCDA(AAS)，ABCD；(2)证明：AE为O的切线且O为圆心，OAAE，即CAAE，EABBAC90，而BACBCA90，EABBCA，而EBAABC，EBAABC，AB2BEBC，由(1)知ABCD，CD2BEBC；(3)解：由(2)知CD2BEBC，即CD2BC，FGBC且点F为AC的三等分点，G为AB的三等分点，即CDAB3BG，在RtCBG中，CG2BG2BC2，即3(CD)2BC2，将代入，消去CD得，BC2BC30，即2BC2BC60，解得BC或BC2(舍)，将代入得，CD.10如图，AB为O的直径，C为圆外一
13、点，AC交O于点D，BC2CDCA，BE交AC于点F.(1)求证：BC为O的切线；(2)判断BCF的形状并说明理由；(3)已知BC15，CD9，BAC36，求的长度(结果保留). 第10题图(1)证明：BC2CDCA，CC，CBDCAB，CBDBAC，又AB为O的直径，ADB90，即BACABD90，ABDCBD90，即ABBC，又AB为O的直径，BC为O的切线；(2)解：BCF为等腰三角形证明如下：，DAEBAC，又CBDCAB，BACCBD，CBDDAE，DAEDBF，DBFCBD，BDF90，BDCBDF90，BDBD，BDFBDC，BFBC，BCF为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC为O的切线，ABC90BC2CDCA，AC25，由勾股定理得AB20，O的半径为r10，BAC36，所对圆心角为72.则4.