1、专题09 一元二次方程及其应用 专题知识回顾 1定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3. 一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。4.一元二次方程的解法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。（1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-
2、2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：化简把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；移项把常数项移项到等号的右边；配方两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；开方，即降次；解一次方程。（3） 公式法。当b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根。，b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。b2-4ac0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根
3、的判别式，通常用字母表示，即=b2-4ac。（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5.一元二次方程根与系数的关系 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步
4、：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。专题典型题考法及解析 【例题1】 (2019安徽)解方程：（x1）24【例题2】(2019山西）一元二次方程配方后可化为（ ）A. B. C. D.【例题3】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x242x的解是 【例题4】（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x2）x2的根是 【例题5】（2019北京市） 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根【例题6】（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2x40的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是 【例题7】 (201
5、9安徽)据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A2019年B2020年C2021年D2022年 专题典型训练题 一、选择题1.( 2019甘肃省兰州市) x1是关于的一元二次方程x2+ax+2b0的解，则2a+4b（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 62.（2019湖南怀化）一元二次方程x2+2x+10的解是（）Ax11，x21Bx1x21Cx1x21Dx11，x223.（2019浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（ ） A.(x-3)
6、2=17B.(x-3)2=14C.（x-6)2=44D.(x-3）2=14. （2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x22x+m0有实数根，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm15.(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（ ）A. 34B.30C.30或34D.30或366.（2019山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k2）x22kx+k6有实数根，则k的取值范围为（）Ak0 B k0且k2 Ck Dk且k27. （2019湖北仙桃）若方程x22x40的两个实数根为，则2+2的值
7、为（）A12B10C4D48. （2019江苏泰州）方程2x2+6x10的两根为x1 、x2 则x1+x2等于（）A6 B6 C3 D39.（2019山东淄博）若x1+x23，x12+x225，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax23x+20Bx2+3x20Cx2+3x+20Dx23x2010. （2019广东）已知x1.x2是一元二次方程了x22x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ）Ax1x2 Bx122x1=0 Cx1+x2=2 Dx1x2=211.（2019广西贵港）若，是关于x的一元二次方程x22x+m0的两实根，且+，则m等于（）A2 B3 C2 D3 12（2019浙江宁
8、波）能说明命题“关于x的方程x24x+m0一定有实数根”是假命题的反例为（）Am1 Bm0 Cm4 Dm513.（2019黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A20% B40% C18%D36%14. （2019湖南衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A9（12x）1B9（1x）21C9（1+2x）1D9（1+x）21二、填空题15
9、. （2019湖北十堰）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m 16. （2019吉林长春）一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为 .17.（2019吉林省）若关于x的一元二次方程（x+3)2=c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）18.（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+10的两个不相等实数根，且满足（x11）（x21）8k2，则k的值为 19. （2019广西桂林）一元二次方程的根是20.（2019年四川省遂宁市）若关于x的方程x22x+k0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
10、为 21.（2019年江西省）设x1，x2是一元二次方程x2x10的两根，则x1+x2+x1x222.（2019年四川省攀枝花市）已知x1，x2是方程x22x10的两根，则x12+x22 23.（2019年四川省成都市）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k10的两个实数根，且x12+x22x1x213，则k的值为 24.（2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元则该地区居民年人均收入平均增长率为 （用百分数表示）25.（2019年四川省宜宾市）某产品每件的生产
11、成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是 26.（2019年江苏省连云港市）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2c0有两个相等的实数根，则+c的值等于 27.（2019年浙江省嘉兴市）在x2+40的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根28.（2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x30有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 三、解答题29.（2019年浙江省绍兴市）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等
12、？30. (2019黑龙江绥化)已知关于x的方程kx23x+10有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x24时,求k的值.31. （ 2019湖北十堰）已知于x的元二次方程x26x+2a+50有两个不相等的实数根x1，x2（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22x1x230，且a为整数，求a的值32. （2019孝感）已知关于x的一元二次方程x22（a1）x+a2a20有两个不相等的实数根x1，x2（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22x1x216，求a的值33.（2019江苏徐州）如图所示，有一块矩形硬
13、纸板，长30cm,宽20cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子。当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？34.（2019湖南衡阳）关于x的一元二次方程x23x+k0有实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30与方程x23x+k0有一个相同的根，求此时m的值35. （2019广西贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当
14、时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？36. （2019湖南长沙）近日，长沙市教育局出台长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？37. （2019湖南邵阳）2019年1月14日，国新办举行新
15、闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币有望继续保持全球货物贸易第一大国地位预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率38.（2019湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x26x+（4m+1）0有实数根（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1x2|4，求m的值39. （2019南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？40. （2019山东省德州市 ）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由