1、专题16 全等三角形判定和性质问题 专题知识回顾 1全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2全等三角形的表示全等用符号“”表示，读作“全等于”。如ABCDEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 4三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定
2、理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。5直角三角形全等的判定：HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）专题典型题考法及解析 【例题1】（2019贵州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABCDEF的是（）A ADBACDFCABEDDBFEC【解答】选项A、添加AD不能判定ABCDEF，故本选项正确；选项B、添加ACDF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加ABDE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项D、添加BFEC可得出BCEF，然后
3、可用ASA进行判定，故本选项错误故选：A【例题2】（2019黑龙江省齐齐哈尔市）如图，已知在ABC和DEF中，BE，BFCE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使ABCDEF，则还需添加的一个条件是 _（只填一个即可）【答案】ABDE【解析】添加ABDE；BFCE，BCEF，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）【例题3】（2019铜仁）如图，ABAC，ABAC，ADAE，且ABDACE求证：BDCE【答案】见解析。【解析】证明：ABAC，ADAE，BAE+CAE90，BAE+BAD90，CAEBAD又ABAC，ABDACE，ABDACE（ASA）BDCE 专题典型训练题 一、选择题1.
4、(2019广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB.AM交于点N、K则下列结论：ANHGNF；AFN=HFG；FN=2NK；SAFN : SADM =1 : 4其中正确的结论有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】C【解析】AH=GF=2，ANH=GNF，AHN=GFN，ANHGNF（AAS），正确；由得AN=GN=1，NGFG，NA不垂直于AF，FN不是AFG的角平分线AFNHFG，错误；由AKHMKF，且AH:MF=1:3，KH:KF=1:3，又FN=HN，K
5、为NH的中点，即FN=2NK，正确；SAFN =ANFG=1，SADM =DMAD=4，SAFN : SADM =1 : 4，正确.2.（2019广西池河）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BECF，则图中与AEB相等的角的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【解析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明ABEBCF，再根据全等三角形的性质可得BFCAEB，进一步得到BFCABF，从而求解证明：四边形ABCD是正方形，ABBC，ABBC，ABEBCF90，在ABE和BCF中，ABEBCF（SAS），BFCAEB，BFCABF，故图中与AEB相等的角的个数是23.（2019湖北
6、天门）如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD下列结论：CD是O的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正确结论的个数有（）A4个B3个C2个D1个【答案】A【解析】连结DOAB为O的直径，BC为O的切线，CBO90，ADOC，DAOCOB，ADOCOD又OAOD，DAOADO，CODCOB在COD和COB中，CODCOB（SAS），CDOCBO90又点D在O上，CD是O的切线；故正确，CODCOB，CDCB，ODOB，CO垂直平分DB，即CODB，故正确；AB为O的直径，DC为O的切线，EDOADB90，EDA+ADOBDO+ADO
7、90，ADEBDO，ODOB，ODBOBD，EDADBE，EE，EDAEBD，故正确；EDOEBC90，EE，EODECB，ODOB，EDBCBOBE，故正确。4.（2019湖北孝感）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G若BC4，DEAF1，则GF的长为（）ABCD【答案】A【解析】证明BCECDF（SAS），得CBEDCF，所以CGE90，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论正方形ABCD中，BC4，BCCDAD4，BCECDF90，AFDE1，DFCE3，BECF5，在BCE和CDF中，BCECDF（SAS），CBEDCF，CBE+CEBECG+CEB9
8、0CGE，cosCBEcosECG，CG，GFCFCG55.（2019山东省滨州市）如图，在OAB和OCD中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD40，连接AC，BD交于点M，连接OM下列结论：ACBD；AMB40；OM平分BOC；MO平分BMC其中正确的个数为（）A4B3C2D1【答案】B【解析】由SAS证明AOCBOD得出OCAODB，ACBD，正确；由全等三角形的性质得出OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OACAOB+OBD，得出AMBAOB40，正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图所示：则OGCOHD90，由AAS证明OCGODH（AAS），得出OGOH，由角平分线
9、的判定方法得出MO平分BMC，正确；即可得出结论AOBCOD40，AOB+AODCOD+AOD，即AOCBOD，在AOC和BOD中，AOCBOD（SAS），OCAODB，ACBD，正确；OACOBD，由三角形的外角性质得：AMB+OACAOB+OBD，AMBAOB40，正确；作OGMC于G，OHMB于H，如图所示：则OGCOHD90，在OCG和ODH中，OCGODH（AAS），OGOH，MO平分BMC，正确；正确的个数有3个。6.（2019河南）如图，在四边形ABCD中，ADBC，D90，AD4，BC3分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点
10、O若点O是AC的中点，则CD的长为（）A2B4C3D故选：A【解析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AFFC再根据ASA证明FOABOC，那么AFBC3，等量代换得到FCAF3，利用线段的和差关系求出FDADAF1然后在直角FDC中利用勾股定理求出CD的长如图，连接FC，则AFFCADBC，FAOBCO在FOA与BOC中，FOABOC（ASA），AFBC3，FCAF3，FDADAF431在FDC中，D90，CD2+DF2FC2，CD2+1232，CD2故选：A7（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DEFE，FCAB，若AB4，CF3，
11、则BD的长是（）A0.5B1C1.5D2【答案】B【解析】根据平行线的性质，得出AFCE，ADEF，根据全等三角形的判定，得出ADECFE，根据全等三角形的性质，得出ADCF，根据AB4，CF3，即可求线段DB的长CFAB，AFCE，ADEF，在ADE和FCE中，ADECFE（AAS），ADCF3，AB4，DBABAD431二、填空题8.(2019四川成都）如图，在ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，BAD=CAE，若BD=9，则CE的长为 .【答案】9 【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为ABC是等腰三角形，所以有AB=AC，BAD=CAE，ABD=ACE，所以ABDAC
12、E(ASA)，所以BD=二次，EC=9.9.（2019湖南邵阳）如图，已知ADAE，请你添加一个条件，使得ADCAEB，你添加的条件是 （不添加任何字母和辅助线）【答案】ABAC或ADCAEB或ABEACD。【解析】根据图形可知证明ADCAEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA.SAS、AAS证明两三角形全等AA，ADAE，可以添加ABAC，此时满足SAS；添加条件ADCAEB，此时满足ASA；添加条件ABEACD，此时满足AAS，故答案为ABAC或ADCAEB或ABEACD。10.（2019天津）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，
13、使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .【答案】【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得AFBDEA，AF=DE=5，则BF=13.又易知AFHBFA，所以，即AH=，AH=2AH=，由勾股定理得AE=13，GE=AE-AG=11.（2019广东省广州市）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），DAM45，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：ECF45；AEG的周长为（1+）a；BE2+DG2EG2；EAF的面积的最大值a2其中正确的结论是 （填写所有正确
14、结论的序号）故答案为【解析】如图1中，在BC上截取BHBE，连接EHBEBH，EBH90，EHBE，AFBE，AFEH，DAMEHB45，BAD90，FAEEHC135，BABC，BEBH，AEHC，FAEEHC（SAS），EFEC，AEFECH，ECH+CEB90，AEF+CEB90，FEC90，ECFEFC45，故正确，如图2中，延长AD到H，使得DHBE，则CBECDH（SAS），ECBDCH，ECHBCD90，ECGGCH45，CGCG，CECH，GCEGCH（SAS），EGGH，GHDG+DH，DHBE，EGBE+DG，故错误，AEG的周长AE+EG+AGAG+GHAD+DH+AEA
15、E+EB+ADAB+AD2a，故错误，设BEx，则AEax，AFx，SAEF（ax）xx2+ax（x2ax+a2a2）（xa）2+a2，0，xa时，AEF的面积的最大值为a2故正确，故答案为12（2019山东临沂）如图，在ABC中，ACB120，BC4，D为AB的中点，DCBC，则ABC的面积是【答案】8【解析】根据垂直的定义得到BCD90，得到长CD到H使DHCD，由线段中点的定义得到ADBD，根据全等三角形的性质得到AHBC4，HBCD90，求得CD2，于是得到结论DCBC，BCD90，ACB120，ACD30，延长CD到H使DHCD，D为AB的中点，ADBD，在ADH与BCD中，ADHB
16、CD（SAS），AHBC4，HBCD90，ACH30，CHAH4，CD2，ABC的面积2SBCD2428，故答案为：8三、解答题13.（2019湖南长沙）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DECF，AF与BE相交于点G（1）求证：BEAF；（2）若AB4，DE1，求AG的长【答案】见解析。【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键（1）证明：四边形ABCD是正方形，BAEADF90，ABADCD，DECF，AEDF，在BAE和ADF中，BAEADF（SAS），BEAF；（2）解：由（1）
17、得：BAEADF，EBAFAD，GAE+AEG90，AGE90，AB4，DE1，AE3，BE5，在RtABE中，ABAEBEAG，AG14.（2019湖南怀化）已知：如图，在ABCD中，AEBC，CFAD，E，F分别为垂足（1）求证：ABECDF；（2）求证：四边形AECF是矩形【答案】见解析。【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BD，ABCD，ADBC，AEBC，CFAD，AEBAECCFDAFC90，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）；（2）证明：ADBC，EAFAEB90，EAFAECAFC90，四边形AECF是矩形15.（2019湖南岳阳）如图所示，在菱形ABCD中
18、，点E.F分别为AD.CD边上的点，DEDF，求证：12【答案】见解析。【解析】由菱形的性质得出ADCD，由SAS证明ADFCDE，即可得出结论证明：四边形ABCD是菱形，ADCD，在ADF和CDE中，ADFCDE（SAS），1216.（2019甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AGED交DE于点F，交CD于点G（1）证明：ADGDCE；（2）连接BF，证明：ABFB【解析】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形（1）四边形ABCD是正方形，ADGC90，A
19、DDC，又AGDE，DAG+ADF90CDE+ADF，DAGCDE，ADGDCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，E是BC的中点，BECE，又CHBE90，DECHEB，DCEHBE（ASA），BHDCAB，即B是AH的中点，又AFH90，RtAFH中，BFAHAB17.（2019山东枣庄）在ABC中，BAC90，ABAC，ADBC于点D（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且BMN90，当AMN30，AB2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且EDF90，求证：BEAF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且BMN90，求证：
20、AB+ANAM【答案】见解析。【解析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到ADBDDC，求出MBD30，根据勾股定理计算即可；BAC90，ABAC，ADBC，ADBDDC，ABCACB45，BADCAD45，AB2，ADBDDC，AMN30，BMD180903060，MBD30，BM2DM，由勾股定理得，BM2DM2BD2，即（2DM）2DM2（）2，解得，DM，AMADDM；（2）证明：ADBC，EDF90，BDEADF，在BDE和ADF中，BDEADF（ASA）BEAF；（3）证明：过点M作MEBC交AB的延长线于E，AME90，则AEAM，E45，MEMA，AME90，BMN
21、90，BMEAMN，在BME和AMN中，BMEAMN（ASA），BEAN，AB+ANAB+BEAEAM18.（2019河北）如图，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为APC的内心（1）求证：BADCAE；（2）设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当ABAC时，AIC的取值范围为mAICn，分别直接写出m，n的值【答案】见解析。【解析】（1）在ABC和ADE中，（如图1）ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x当ADBC时，AP
22、AB3最小，即PD633为PD的最大值（3）如图2，设BAP，则APC+30，ABACBAC90，PCA60，PAC90，I为APC的内心AI、CI分别平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC180（IAC+ICA）180（PAC+PCA）180（90+60）+105090，105+105150，即105AIC150，m105，n15019.（2019江苏无锡）如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别在AB、AC上，BDCE，BE、CD相交于点O（1）求证：DBCECB；（2）求证：OBOC【答案】见解析。【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到ECBDBC根据全等三角形的判定定理即可得到结论；证明：ABAC，ECBDBC，在DBC与ECB中，DBCECB（SAS）；（2）根据全等三角形的性质得到DCBEBC根据等腰三角形的判定定理即可得到OBOC证明：由（1）知DBCECB，DCBEBC，OBOC