1、专题20 矩形 专题知识回顾 1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。3矩形判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。4矩形的面积：S矩形=长宽=ab专题典型题考法及解析 【例题1】（2019广西桂林）将矩形按如图所示的方式折叠，为折痕，若顶点，都落在点处，且点，在同一条直线上，同时点，在另一条直线上，则的值为ABCD【答案】B【解析】由折叠可得，分别为，的中点，设，则，中，即，即，的值为【例题2】（2019贵州省安顺市） 如图，
2、在RtABC中，BAC90，AB3，AC4，点D为斜边BC上的一个动点，过D分别作DMAB于点M，作DNAC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 .BDMNCA【答案】【解析】连接AD，即可证明四边形AMDN是矩形；由矩形AMDN得出MNAD，再由三角形的面积关系求出AD的最小值，即可得出结果连接AD，如图所示：BDMNCADMAB，DNAC，AMDAND90，又BAC90，四边形AMDN是矩形；MNAD，BAC90，AB3，AC4，BC5，当ADBC时，AD最短，此时ABC的面积BCADABAC，AD的最小值，线段MN的最小值为。 专题典型训练题 一、选择题1.（2019广东广州）如图，矩
3、形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE3，AF5，则AC的长为（）A4B4C10D8【答案】A 【解析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OAOC，AECE，证明AOFCOE得出AFCE5，得出AECE5，BCBE+CE8，由勾股定理求出AB4，再由勾股定理求出AC即可连接AE，如图：EF是AC的垂直平分线，OAOC，AECE，四边形ABCD是矩形，B90，ADBC，OAFOCE，在AOF和COE中，AOFCOE（ASA），AFCE5，AECE5，BCBE+CE3+58，AB4，AC4；故选：A2.（2019贵州省铜仁市）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩
4、形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A360B540C630D720【答案】C【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是6303（2019山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4CD【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知B
5、P1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2DP2，P1P2CE且P1P2CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DPFP由中位线定理可知：P1PCE且P1PCF点P的运动轨迹是线段P1P2，当BPP1P2时，PB取得最小值矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12ADECDECP1B45，DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90，即BP1P1P2，BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1BC2BP12P
6、B的最小值是24.（2019湖北荆州）如图，矩形ABCD的顶点A，B，C分别落在MON的边OM，ON上，若OAOC，要求只用无刻度的直尺作MON的平分线小明的作法如下：连接AC，BD交于点E，作射线OE，则射线OE平分MON有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰三角形的“三线合一”小明的作法依据是（）ABCD【答案】C【解析】四边形ABCD为矩形，AECE，而OAOC，OE为AOC的平分线二、填空题5（2019重庆）如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是_（结果保留）【答案】【解析】6.（2019湖南娄底）如图，
7、要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条件即可）【答案】ABC=90或 AC=BD【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；故添加条件：ABC=90或 AC=BD 故答案为：ABC=90或 AC=BD7.（2019黑龙江省龙东地区）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，点P是矩形ABCD内一动点，且SPAB SPCD，则PCPD的最小值是_【答案】.【解析】结合已知条件，根据SPAB SPCD可判断出点P在平行于AB，与AB的距离为2、与CD的距离为4的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.过点P作直线lAB
8、，作点D关于直线l的对称点D1，连接CD1，矩形ABCD中，AB4，BC6，CD=4,DD1=8,在RtCDD1中，由勾股定理得CD1=，PCPD的最小值是. 8（2019内蒙古通辽）如图，在矩形ABCD中，AD8，对角线AC与BD相交于点O，AEBD，垂足为点E，且AE平分BAC，则AB的长为 【答案】【解答】四边形ABCD是矩形AOCOBODO，AE平分BAOBAEEAO，且AEAE，AEBAEO，ABEAOE（ASA）AOAB，且AOOBAOABBODO，BD2AB，AD2+AB2BD2，64+AB24AB2，AB9.（2019湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB4，BC8
9、，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM下列结论：CQCD；四边形CMPN是菱形；P，A重合时，MN2；PQM的面积S的取值范围是3S5其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）【答案】【解析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CNNP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；假设CQCD，得RtCMQCMD，进而得DCMQCMBCP30，这个不一定成立，判断错误；点P与点A重合时，设BNx，表示出ANNC8x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定
10、理求得MN，判断出正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值便可如图1，PMCN，PMNMNC，MNCPNM，PMNPNM，PMPN，NCNP，PMCN，MPCN，四边形CNPM是平行四边形，CNNP，四边形CNPM是菱形，故正确；CPMN，BCPMCP，MQCD90，CPCP，若CQCD，则RtCMQCMD，DCMQCMBCP30，这个不一定成立，故错误；点P与点A重合时，如图2，设BNx，则ANNC8x，在RtABN中，AB2+BN2AN2，即42+x2（8x）2，解得x3，CN835，AC，MN2QN2故正确；当MN过点D
11、时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S，4S5，故错误故答案为：10.（2019贵州贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是 【答案】【解析】E的运动路径是EE的长；AB4，DCA30，BC，当F与A点重合时，在RtADE中，AD，DAE30，ADE60，DE，CDE30，当F与C重合时，EDC60，EDE90，DEE30，在RtD
12、EE中，EE.11（2019山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AD2将A向内翻折，点A落在BC上，记为A，折痕为DE若将B沿EA向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B，则AB【答案】【解析】利用矩形的性质，证明ADEADEADC30，CABD90，推出DBADCA，CDBD，设ABDCx，在RtADE中，通过勾股定理可求出AB的长度四边形ABCD为矩形，ADCCB90，ABDC，由翻折知，AEDAED，ABEABE，ABEBABD90，AEDAED，AEBAEB，BEBE，AEDAEDAEB18060，ADE90AED30，ADE90AEB30，ADEADEADC30，又CABD90，DADA，
13、DBADCA（AAS），DCDB，在RtAED中，ADE30，AD2，AE，设ABDCx，则BEBExAE2+AD2DE2，（）2+22（x+x）2，解得，x1（负值舍去），x212.（2019北京市）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；存在无数个四边形MNPQ是矩形；存在无数个四边形MNPQ是菱形；至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是_【答案】【解析】如图，O为矩形ABCD对角线的交点， 图中任过点O的两条线段PM，QN，则四边形MNPQ是平行四边形；
14、显然有无数个.本结论正确.图中任过点O的两条相等的线段PM，QN，则四边形MNPQ是矩形；显然有无数个.本结论正确.图中任过点O的两条垂直的线段PM，QN，则四边形MNPQ是菱形；显然有无数个.本结论正确.图中过点O的两条相等且垂直的线段PM，QN，则四边形MNPQ是正方形；显然有一个.本结论错误.故填： .13.（2019辽宁本溪）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE=BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP=3，则点P到BD的距离为 .【答案】3.【解析】过点P作PQBD，垂足为Q，根据
15、题意可得BP平分ABD.四边形ABCD为矩形，A=90，PA=PQ.PA=3，PQ=3，故答案为3.14（2019辽宁抚顺）在矩形ABCD中，AB6，AD3，E是AB边上一点，AE2，F是直线CD上一动点，将AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A，当点E、A、C三点在一条直线上时，DF的长度为 【答案】1或11；【解析】在旋转过程中A有两次和E，C在一条直线上，第一次在EC线段上，第二次在CE线段的延长线上，利用平行的性质证出CFCE，即可求解；如图1：将AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A，AEFEAF，AEAE，ABCD，AEFCFE，CFCE，AB6，AD3，AE2，CFCE6DF
16、，AE2，BE4，BC3，EC5，6DF5，DF1；如图2：由折叠FEAFEA，ABCD，CFECEF，CFCE，CF5，DF11；故答案为1或11；三、解答题15（2019湖南怀化）已知：如图，在ABCD中，AEBC，CFAD，E，F分别为垂足（1）求证：ABECDF；（2）求证：四边形AECF是矩形【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，BD，ABCD，ADBC，AEBC，CFAD，AEBAECCFDAFC90，在ABE和CDF中，ABECDF（AAS）；（2）证明：ADBC，EAFAEB90，EAFAECAFC90，四边形AECF是矩形16（20
17、19湖南郴州）如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H（1）求证：A1DEB1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为DEF内一点，且DGF150，试探究DG，EG，FG的数量关系【答案】（1）见解析；（2）DEF是等边三角形，理由见解析；（3）DG2+GF2GE2【解析】解：（1）证明：由折叠的性质可知：DAEDA1E90，
18、EBHEB1H90，AEDA1ED，BEHB1EH，DEA1+HEB190又HEB1+EHB190，DEA1EHB1，A1DEB1EH；（2）结论：DEF是等边三角形；理由如下：直线MN是矩形ABCD的对称轴，点A1是EF的中点，即A1EA1F，A1DEA1DF（SAS），DEDF，FDA1EDA1，又ADEA1DE，ADF90ADEEDA1FDA130，EDF60，DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2GE2，理由如下：由（2）可知DEF是等边三角形；将DGE逆时针旋转60到DGF位置，如解图（1），GFGE，DGDG，GDG60，DGG是等边三角形，GGDG，
19、DGG60，DGF150，GGF90，GG2+GF2GF2，DG2+GF2GE2，17（2019湖南益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB4，BC6若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动（1）当OAD30时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosOAD的值【答案】（1）（2，3+2）；（2）OA3；（3）当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8
20、，cosOAD【解析】解：（1）如图1，过点C作CEy轴于点E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO90，又OAD+ADO90，CDEOAD30，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30，ODAD3，点C的坐标为（2，3+2）；（2）M为AD的中点，DM3，SDCM6，又S四边形OMCD，SODM，SOAD9，设OAx、ODy，则x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，将xy代入x2+y236得x218，解得x3（负值舍去），OA3；（3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，OM3，CM5，OCOM+CM8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8
21、，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N，CDMONM90，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD18.（2019湖北省鄂州市）如图，矩形ABCD中，AB8，AD6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DEDF时，求EF的长【答案】见解析。【解析】根据矩形的性质得到ABCD，由平行线的性质得到DFOBEO，根据全等三角形的性质得到DFBE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；推出四边形BEDF是菱形，得到DEBE，EFBD，OEOF，设
22、AEx，则DEBE8x根据勾股定理即可得到结论（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，DFOBEO，又因为DOFBOE，ODOB，DOFBOE（ASA），DFBE，又因为DFBE，四边形BEDF是平行四边形；（2）解：DEDF，四边形BEDF是平行四边形四边形BEDF是菱形，DEBE，EFBD，OEOF，设AEx，则DEBE8x在RtADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2DE2x2+62（8x）2，解之得：x，DE8，在RtABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2BD2BD，OD BD5，在RtDOE中，根据勾股定理，有DE2 OD2OE2，OE，EF2OE19. (2019黑龙江大庆)如图在矩形ABCD中,AB3,BC4,M,N在对角线AC上,且AMCN,E,F分别是AD,BC的中点.(1)求证:ABMCDN;(2)点G是对角线AC上的点,EGF90,求AG的长.【答案】见解析。【解析】(1)在矩形ABCD中,ABCD,所以BAMDCN,又因为ABCD,AMCN,所以ABMCDN(SAS);（2）以EF为直径作圆,交AC于点G1,G2,连接EG1,FG1,EG2,FG2,则EG1FEG2F90,因为EFAB3,所以G1HG2HEF,在RtABC中,AC5,所以AHAC,所以AG11,AG24.