1、专题24 相似三角形判定与性质 专题知识回顾 1相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。2三角形相似的判定方法:（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形
2、相似。（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。3直角三角形相似判定定理:以上各种判定方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4相似三角形的性质:（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。专题典型题考法及解析
3、【例题1】（2019海南省）如图，在RtABC中，C90，AB5，BC4点P是边AC上一动点，过点P作PQAB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分ABC时，AP的长度为（）A.BCD【答案】B【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ，得到QBQD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可C90，AB5，BC4，AC3，PQAB，ABDBDQ，又ABDQBD，QBDBDQ，QBQD，QP2QB，PQAB，CPQCAB，即，解得，CP，APCACP【例题2】（2019四川
4、省凉山州）在ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则SAEF：SCBF是 【答案】4：25或9：25【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键分AE：ED2：3、AE：ED3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可当AE：ED2：3时，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AE：BC2：5，AEFCBF，SAEF：SCBF（）24：25；当AE：ED3：2时，同理可得，SAEF：SCBF（）29：25。【例题3】（2019湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先
5、在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE【答案】楼的高度OE为32米【解析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，GFAC，MACMFG，即：，OE32【例题4】（2019年广西梧州市）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC3，AF平分DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AHDF，分别交BD，BF于
6、点G，H（1）求DE的长；（2）求证：1DFC【答案】见解析。【解析】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键（1）由ADCF，AF平分DAC，可得FACAFC，得出ACCF5，可证出ADEFCE，则，可求出DE长；矩形ABCD中，ADCF，DAFACF，AF平分DAC，DAFCAF，FACAFC，ACCF，AB4，BC3，5，CF5，ADCF，ADEFCE，设DEx，则，解得x；（2）由ADGHBG，可求出DG，则，可得EGBC，则1AHC，根据DFAH，可得AHCDFC，结论得证ADFH，AFDH，四边形ADFH是平行四
7、边形，ADFH3，CH2，BH5，ADBH，ADGHBG，DG，DE，EGBC，1AHC，又DFAH，AHCDFC，1DFC【例题5】（2019年湖南省张家界市）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BEAB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G（1）求证：BFCF；（2）若BC6，DG4，求FG的长【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得到ADCD，ADBC，得到EBFEAD，根据相似三角形的性质证明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADCD，ADBC，EBFEAD，BFADBC，BFCF；（2）四边形ABCD是平
8、行四边形，ADCD，FGCDGA，即，解得，FG2 专题典型训练题 一、选择题1.（2019年广西玉林市）如图，ABEFDC，ADBC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（）A3对B5对C6对D8对【答案】C 【解析】图中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA，ABEFDC，ADBCAEGADCCFGCBA共有6个组合分别为：AEGADC，AEGCFG，AEGCBA，ADCCFG，ADCCBA，CFGCBA2.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是ABC边AB，AC上的点，ADEACB，若AD2，AB6，AC4，则AE的长是（）A1B2C3D4【答案】C 【解析】证明ADEACB，
9、根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可ADEACB，AA，ADEACB，即，解得，AE33.（2019广西贺州）如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DEBC，若AD2，AB3，DE4，则BC等于（）A5B6C7D8【答案】B 【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键由平行线得出ADEABC，得出对应边成比例，即可得出结果DEBC，ADEABC，即，解得：BC64.（2019广西贵港）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DEBC，ACDB，若AD2BD，BC6，则线段CD的长为（）A2B3C2D5【答案】C【解析】设AD2x
10、，BDx，所以AB3x，易证ADEABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明ADEACD，利用相似三角形的性质即可求出得出，从而可求出CD的长度设AD2x，BDx，AB3x，DEBC，ADEABC，DE4，ACDB，ADEB，ADEACD，AA，ADEACD，设AE2y，AC3y，ADy，CD25.（2019黑龙江哈尔滨）如图，在ABCD中，点E在对角线BD上，EMAD，交AB于点M，ENAB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）ABCD【答案】D【解析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质在ABCD中，EMAD易证四边形AMEN为平行四边形易证BEMBADEND，A项
11、错误，B项错误，C项错误，D项正确。6. （2019江苏苏州）如图，在中，点为边上的一点，且，过点作，交于点，若，则的面积为（ ）ABCD【答案】B 【解析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型易证即由题得解得的高易得：7.（2019山东枣庄）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9若AA1，则AD等于（）A2B3C4D【答案】B 【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点由SABC16.SAEF9且AD为BC边的中线知SADESAEF，SABDS
12、ABC8，根据DAEDAB知（）2，据此求解可得SABC16.SAEF9，且AD为BC边的中线，SADESAEF，SABDSABC8，将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，则（）2，即（）2，解得AD3或AD（舍）。8.（2019四川巴中）如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD1：3，连结EF交DC于点G，则SDEG：SCFG（）A2：3B3：2C9：4D4：9【答案】D【解析】先设出DEx，进而得出AD3x，再用平行四边形的性质得出BC3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论设DEx，DE：AD1：3，AD3x，四边形ABCD是平行
13、四边形，ADBC，BCAD3x，点F是BC的中点，CFBCx，ADBC，DEGCFG，（）2（）29.（2019年四川省遂宁市）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：BPD135；BDPHDB；DQ：BQ1：2；SBDP其中正确的有（）ABCD【答案】D【解析】由等边三角形及正方形的性质求出CPDCDP75、PCBCPB60，从而判断；证DBPDPB135可判断；作QECD，设QEDEx，则QDx，CQ2QE2x，CEx，由CE+DECD求出x，从而求得DQ、BQ的长，据此可判断，证DPDQ，根据SBDP
14、BDPDsinBDP求解可判断PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，PCBCPB60，PCD30，BCPCCD，CPDCDP75，则BPDBPC+CPD135，故正确；CBDCDB45，DBPDPB135，又PDBBDH，BDPHDB，故正确；如图，过点Q作QECD于E，设QEDEx，则QDx，CQ2QE2x，CEx，由CE+DECD知x+x1，解得x，QDx，BD，BQBDDQ，则DQ：BQ：1：2，故错误；CDP75，CDQ45，PDQ30，又CPD75，DPQDQP75，DPDQ，SBDPBDPDsinBDP，故正确。二、填空题10.（2019浙江宁波）如图所示，RtABC中，C9
15、0，AC12，点D在边BC上，CD5，BD13点P是线段AD上一动点，当半径为6的P与ABC的一边相切时，AP的长为【答案】6.5或3【解析】在RtABC中，C90，AC12，BD+CD18，AB6，在RtADC中，C90，AC12，CD5，AD13，当P于BC相切时，点P到BC的距离6，过P作PHBC于H，则PH6，C90，ACBC，PHAC，DPHDAC，PD6.5，AP6.5；当P于AB相切时，点P到AB的距离6，过P作PGAB于G，则PG6，ADBD13，PAGB，AGPC90，AGPBCA，AP3，CD56，半径为6的P不与ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或3，故答案为
16、：6.5或311. 2019黑龙江省龙东地区） 一张直角三角形纸片ABC，ACB90，AB10，AC6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当BDE是直角三角形时，则CD的长为_【答案】3或.【解析】在BDE中，B是锐角，有两种可能，DEB或EDB是直角，由此画出示意图，逐步求解即可.如图1，DEB是直角时，ACB90，AB10，AC6，BC=8,设CD=x，则BD=8-x，由折叠知CD=ED=x，ACBDEB=90，BEDBCA，即，解得x=3;如图2，EDB是直角时，EDAC，BEDBAC，,即，解得x=，综上，CD的长为3或.图1图212（20
17、19山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB3，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 【答案】2【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分DCF，再证FEC90，最后证FECEDC，利用相似的性质即可求出EF的长度如图，连接EC，四边形ABCD为矩形，AD90，BCAD12，DCAB3，E为AD中点，AEDEAD6由翻折知，AEFGEF，AEGE6，AEFGE
18、F，EGFEAF90D，GEDE，EC平分DCG，DCEGCE，GEC90GCE，DEC90DCE，GECDEC，FECFEG+GEC18090，FECD90，又DCEGCE，FECEDC，EC3，FE213.（2019江苏常州）如图，在矩形ABCD中，AD3AB3点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE，点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN_【答案】6【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点首先由勾股定理，求得BD10，然后由“AD3AB3点P是AD的中点，点E在BC上，CE2BE”，求得PD，
19、CE2，这样由tanDEC；第四步过点P作PHBD于点H，在BD上依次取点M、N，使MHNH2PH，于是因此PMN是所求符合条件的图形；第五步由DPHDBA，得，即，得PH，于是MN4PH6，本题答案为614.（2019山东省滨州市）如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分BCD交AB于点E，交BD于点F，且ABC60，AB2BC，连接OE下列结论：EOAC；SAOD4SOCF；AC：BD：7；FB2OFDF其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）【答案】【解析】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决
20、问题，属于填空题中的压轴题正确只要证明ECEABC，推出ACB90，再利用三角形中位线定理即可判断错误想办法证明BF2OF，推出SBOC3SOCF即可判断正确设BCBEECa，求出AC，BD即可判断正确求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可四边形ABCD是平行四边形，CDAB，ODOB，OAOC，DCB+ABC180，ABC60，DCB120，EC平分DCB，ECBDCB60，EBCBCECEB60，ECB是等边三角形，EBBC，AB2BC，EAEBEC，ACB90，OAOC，EAEB，OEBC，AOEACB90，EOAC，故正确，OEBC，OEFBCF，OFOB，SAODSBOC
21、3SOCF，故错误，设BCBEECa，则AB2a，ACa，ODOBa，BDa，AC：BDa：a：7，故正确，OFOBa，BFa，BF2a2，OFDFa（a+a）a2，BF2OFDF，故正确，故答案为15.（2019四川泸州）如图，在等腰RtABC中，C90，AC15，点E在边CB上，CE2EB，点D在边AB上，CDAE，垂足为F，则AD的长为 【答案】92【解析】过D作DHAC于H，在等腰RtABC中，C90，AC15，ACBC15，CAD45，AHDH，CH15DH，CFAE，DHADFA90，HAFHDF，ACEDHC，DHAC=CHCE，CE2EB，CE10，DH15=15-DH10，D
22、H9，AD92，故答案为：92三、解答题16.（2019四川省凉山州）如图，ABDBCD90，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于M连接CM交DB于N（1）求证：BD2ADCD；（2）若CD6，AD8，求MN的长【答案】见解析。【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键证明：（1）通过证明ABDBCD，可得，可得结论；DB平分ADC，ADBCDB，且ABDBCD90，ABDBCDBD2ADCD（2）由平行线的性质可证MBDBDC，即可证AMMDMB4，由BD2ADCD和勾股定理可求MC的长，通过证明MNBCND，可得，即可求MN的长BMC
23、DMBDBDCADBMBD，且ABD90BMMD，MABMBABMMDAM4BD2ADCD，且CD6，AD8，BD248，BC2BD2CD212MC2MB2+BC228MC2BMCDMNBCND，且MC2MN17（2019山东泰安）在矩形ABCD中，AEBD于点E，点P是边AD上一点（1）若BP平分ABD，交AE于点G，PFBD于点F，如图，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PEEC，如图，求证：AEABDEAP；（3）在（2）的条件下，若AB1，BC2，求AP的长【答案】见解析。【解析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相
24、似三角形解决问题，属于中考常考题型（1）想办法证明AGPF，AGPF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PAPF即可解决问题证明：如图中，四边形ABCD是矩形，BAD90，AEBD，AED90，BAE+EAD90，EAD+ADE90，BAEADE，AGPBAG+ABG，APDADE+PBD，ABGPBD，AGPAPG，APAG，PAAB，PFBD，BP平分ABD，PAPF，PFAG，AEBD，PFBD，PFAG，四边形AGFP是平行四边形，PAPF，四边形AGFP是菱形（2）证明AEPDEC，可得，由此即可解决问题证明：如图中，AEBD，PEEC，AEDPEC90，AEPDEC，EAD+A
25、DE90，ADE+CDE90，EAPEDC，AEPDEC，ABCD，AEABDEAP；（3）利用（2）中结论求出DE，AE即可解：四边形ABCD是矩形，BCAD2，BAD90，BD，AEBD，SABDBDAEABAD，AE，DE，AEABDEAP；AP18(2019安徽)如图，RtABC中，ACB90，ACBC，P为ABC内部一点，且APBBPC135（1）求证：PABPBC；（2）求证：PA2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12h2h3【答案】见解析。【解析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出EAPPCD是解本
26、题的关键（1）ACB90，ABBC，ABC45PBA+PBC又APB135，PAB+PBA45PBCPAB又APBBPC135，PABPBC（2）PABPBC在RtABC中，ABAC，PA2PC（3）如图，过点P作PDBC，PEAC交BC.AC于点D，E，PFh1，PDh2，PEh3，CPB+APB135+135270APC90，EAP+ACP90，又ACBACP+PCD90EAPPCD，RtAEPRtCDP，即，h32h2PABPBC，即：h12h2h319.（2019年湖南省株洲市）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG（1）求证：DOG
27、COE；（2）若DGBD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM，求正方形OEFG的边长【答案】见解析。【解析】由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD，可得DOADOC90，GOE90，即可证得GODCOE，因DOOC，GOEO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等；过点M作MHDO交DO于点H，由于MDB45，由可得DH，MH 长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MHDG，易证得OHMODG，则有，求得GO即为正方形OEFG的边长（1）正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BDDOOCDBAC，DOADOC90GOE90GOD+DOEDOE+COE90GODCOEGOOE在DOG和COE中DOGCOE（SAS）（2）如图，过点M作MHDO交DO于点HAM，DA2DMMDB45MHDHsin45DM，DOcos45DAHODODH在RtMHO中，由勾股定理得MODGBD，MHDOMHDG易证OHMODG，得GO2则正方形OEFG的边长为2