1、专题29 概率 专题知识回顾 1确定事件（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。（1）有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；（2）有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的（3）有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件2.概率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫
2、做事件A的概率。即 . 概率3确定事件概率（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=04古典概型的定义某个试验若具有：在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。5古典概型的概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=6列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。7列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可
3、能的结果，通常采用列表法。8树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。9运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 10利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019广西北部湾）下列事件为必然事件的是（ ）A.打开电视机，正在播放新闻 B.任意画一个三角形内角和是180 C.买一张电影票，座位号是奇数号 D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上【答
4、案】B.【解析】A、C、D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意因为在平面内，任意三角形的内角和为180，所以任意画一个三角形，其内角和是180，是必然事件，符合题意【例题2】（2019贵州省毕节市）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，现从以下四个关系ABBC；ACBD；ACBD；ABBC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（）ABCD1【答案】B【解析】菱形的判定：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等菱形）；四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）根据平行四边形
5、的判定定理，可推出平行四边形ABCD是菱形的有或，概率为故选：B【例题3】（2019湖南岳阳）分别写有数字、1、0、的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 【答案】【解析】解：写有数字、1、0、的五张大小和质地均相同的卡片，、是无理数，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是：【例题4】（2019湖南邵阳）不透明袋中装有大小形状质地完全相同的四个不同颜色的小球，颜色分别是红色、白色、蓝色、黄色，从中一次性随机取出2个小球，取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率是_【答案】【解析】解：画树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的有
6、2种结果，所以取出2个小球的颜色恰好是一红一蓝的概率为，故答案为：【例题5】（2019江苏宿迁）为了解学生的课外阅读情况，七（1）班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查（每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图男、女生所选类别人数统计表 类别男生（人）女生（人）文学类128史学类m5科学类65哲学类2n根据以上信息解决下列问题（1）m，n；（2）扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ；（3）从选哲学类的学生中，随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛，请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率【解析】此题主要考查了列表法与树状图法
7、，以及扇形统计图、统计表的应用，要熟练掌握（1）根据文学类的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再根据各自所占的百分比即可求出m、n；抽查的总学生数是：（12+8）40%50（人），m5030%510，n5020151122；故答案为：20，2；（2）由360乘以“科学类”所占的比例，即可得出结果；扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为36079.2；故答案为：79.2；（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和所选取的两名学生都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案列表得：男1男2女1女2男1男2男1女1男1女2男1男2男1男2女1男2女2男2女1男1女1男2女1女2女1女2男1
8、女2男2女2女1女2由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中所选取的两名学生都是男生的有2种可能，所选取的两名学生都是男生的概率为 专题典型训练题 一、选择题1.（2019湖北武汉）不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A3个球都是黑球B3个球都是白球C三个球中有黑球D3个球中有白球【答案】B 【解析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生
9、的事件根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型A.3个球都是黑球是随机事件；B.3个球都是白球是不可能事件；C.三个球中有黑球是必然事件；D.3个球中有白球是随机事件。2.（2019广西北部湾） “学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”，三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是( )A. B. C. D.【答案】A.【解析】画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，所以两人恰好选择同一场馆的概率=3.(2019海南)某路口的交
10、通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】一个循环是30+25+560(秒),遇到绿灯的概率为,故选D.4.(2019黑龙江绥化)不透明袋子中有2个红球和4个蓝球,这些球除颜色外无其它差别,从袋子中随机取出1个球是红球的概率是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】从袋子中抽取一个球,共有6种等可能的结果,其中,抽到红球的结果有2种,抽到红球的概率为,故选A.5.（2019年广西柳州市） 小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少出一个手指，两人出拳的手指之和为偶数时小李获胜，那么小李获胜的概率为（ ）A B
11、C D 【答案】A【解析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，由概率公式得出答案画树状图如下：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，小李获胜的概率为，故选A6.（2019广西桂林）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是ABCD【答案】D【解析】当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是，故选：D7.（2019内蒙古赤峰）不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（）A3个都是黑球B2个黑球1个白球C
12、2个白球1个黑球D至少有1个黑球【答案】D【解析】A.袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；BC袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件；D白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确8.（2019湖北省荆门市）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b那么方程x2+ax+b0有解的概率是（）ABCD【答案】D【解析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a24b0，即a24b的结果数，然后根据概率公式求解画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中使a
13、24b0，即a24b的有19种，方程x2+ax+b0有解的概率是。二、填空题9.（2019四川省达州市）如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 【答案】【解析】本题考查的是概率的求法如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）因为随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光所以P（灯泡发光）10（2019湖南娄底）五张分别写有1，2，0，4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是【答案】【解析】解：五张分别写有
14、1，2，0，4，5 的卡片（除数字不同以外，其余都相同），该卡片上的数字是负数的概率是 故答案为：11.（2019广东深圳）现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是_【答案】【解析】从中随机抽取一张，共8种等可能的结果，其中抽到标有2的卡片的结果数为3，故抽到标有数字2的卡片的概率为12.（2019广西省贵港市）若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不小于3的概率是【答案】【解析】骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数不小于3的情况
15、有几种，直接应用求概率的公式求解即可随机掷一枚均匀的骰子有6种等可能结果，其中点数不小于3的有4种结果，所以点数不小于3的概率为13.（2019贵州黔西南州）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知囗袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球【答案】20【解析】摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是50150=13，设口袋中大约有x个白球，则10x+10=13，解得x2014.（2019贵州遵义） 小明用0-9中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，
16、小明只输入一次密码就能打开手机的概率是 【答案】【解析】0-9中的数字共有10个，只有一个是正确的，所以输入一次就能打开的概率是15.（2019黑龙江哈尔滨）同时掷两枚质地均匀的骰子,每枚骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,则这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为_【答案】【解析】列表得：（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，
17、1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）由表可知一共有36种情况，两枚骰子点数相同的有6种，所以两枚骰子点数相同的概率为16（2019湖南株洲）若一个盒子中有6个白球，4个黑球，2个红球，且各球的大小与质地都相同，现随机从中摸出一个球，得到白球的概率是 【答案】【解析】布袋中有6个白球，4个黑球，2个红球，共有12个球，摸到白球的概率是；故答案为：17.（2019辽宁本溪）如图所示的点阵中，相邻的四个点构成正方形，小球只在点阵中的小正方形ABCD内自由滚动时，则小球停留在阴影区域的概率为 .【答案】【解析】首先建立如图示的直角坐标系，标记字母如图所示，设相邻两点的距离为1个单位长
18、度，可得出OE的解析式，进而得出M和N的坐标，进而得出AM和AN的长度，然后根据面积计算公式得出阴影部分的面积，进而得出答案.建立如图示的直角坐标系，标记字母如图所示，设相邻两点的距离为1个单位长度，则E（3，2），A（1，1），D（2，1），直线OE的解析式为y=.当x=1时可得y=，故N的坐标为（1，），当y=1时可得x=，故M的坐标为（，1），AM=-1=，AN=1-=，S阴影=1-=，P（小球停留在阴影区域）=故答案为.18（2019湖南衡阳）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于 【
19、答案】5【解析】根据题意知，解得a5，经检验：a5是原分式方程的解，a5，故答案为：519.（2019山东淄博）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是【答案】 【解析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解画树状图为：共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，恰好选中一男一女的概率是20. (2019湖北仙桃
20、)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 【答案】【解析】列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可列表如下124812482281644832881632由表知，共有12种等可能结果，其中两次取出的小球上数字之积等于8的有4种结果，所以两次取出的小球上数字之积等于8的概率为三、解答题21（2019湖南岳阳）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分
21、，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表分数段频数频率74.579.520.0579.584.5m0.284.589.5120.389.594.514n94.599.540.1（1）表中m ，n ；（2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率【答案】（1）8，0.35；（2）见解析；（3）89.594.5；（4）【解析】（1）m400.28，n14400.35
22、，故答案为：8，0.35；（2）补全图形如下：（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.594.5，测他的成绩落在分数段89.594.5内，故答案为：89.594.5（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生，恰好是一名男生和一名女生的概率为22.（2019四川自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 9788 81 95 86 98 95
23、93 89 86 84 87 79 85 89 82整理分析数据：成绩x（单位：分）频数（人数）60x70170x8080x901790x100（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 【答案】见解析。【解析】（1）补全图表如下：（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360120（人）；（3）
24、将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，画树状图如下：则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6，所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为。23.（2019广东广州）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图频数分布表组别时间/小时频数/人数A组0t12B组1t2mC组2t310D组3t412E组4t57F组t54请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求频数分布表中m的值；（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；（3）已
25、知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生【答案】见解析。【解析】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值.m4021012745；（2）分别用360乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图.B组的圆心角36045，C组的圆心角360或90补全扇形统计图如图1所示：（3）画出树状图，即可得出结果画树状图如图2：共有12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有6个，恰好都是女生的概率为24.（2019湖北孝感）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字2，1，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同（1）
26、随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 （2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（2，0），B（0，2），C（1，0），D（0，1），请用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率【答案】见解析。【解析】（1）在2，1，0，1中正数有1个，摸出的球上面标的数字为正数的概率是14，故答案为：14（2）列表如下：21012（2，2）（1，2）（0，2）（1，2）1（2，1）（1，1）（0，
27、1）（1，1）0（2，0）（1，0）（0，0）（1，0）1（2，1）（1，1）（0，1）（1，1）由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的有：（2，0）、（1，1）、（1，0）、（0，2）、（0，1）、（0，0）、（0，1）、（1，0）这8个，所以点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率为1225.(2019安徽)为监控某条生产线上产品的质量，检测员每个相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：编号尺寸（cm）8.728.888.928.938.948.968.978.98a
28、9.039.049.069.079.08b按照生产标准，产品等次规定如下：尺寸（单位：cm）产品等次8.97x9.03特等品8.95x9.05优等品8.90x9.10合格品x8.90或x9.10非合格品注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品（含特等品）计算在内（1）已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为的产品是否为合格品，并说明理由（2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm（i）求a的值；（ii）将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9cm，另一组尺寸不大于9cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率【答案】见解析。【解析】（
29、1）由1580%12，不合格的有15123个，给出数据只有两个不合格可得答案。不合格因为1580%12，不合格的有15123个，给出的数据只有两个不合格；（2）（i）由可得答案；（ii）由特等品为，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得（i）优等品有，中位数在8.98，a之间，解得a9.02（ii）大于9cm的有，小于9cm的有，其中特等品为画树状图为：共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种抽到两种产品都是特等品的概率P26（2019广元）如今很多初中生喜欢购头饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进
30、行了调查，大致可分为四种：A白开水，B瓶装矿泉水，C碳酸饮料，D非碳酸饮料根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？饮品名称白开水瓶装矿泉水碳酸饮料非碳酸饮料平均价格（元/瓶）0234（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率【答案】见解析。【解析】（
31、1）这个班级的学生人数为1530%50（人），选择C饮品的人数为50（10+15+5）20（人），补全图形如下：（2）2.2（元），答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；（3）画树状图如下：由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，所以恰好抽到2名班长的概率为27（2019遂宁）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：代号活动类型A经典诵读与写作B数学兴趣与培优C英语阅读与写作D艺体类E其他为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计
32、图请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）（1）此次共调查了名学生（2）将条形统计图补充完整（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为 （4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率【答案】见解析。【解析】（1）此次调查的总人数为4020%200（人），故答案为：200；（2）D类型人数为20025%50（人），B类型人数为200（40+30+50+20）60（人），补全图形如下：（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为360108，故答案为：108；（4）估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有20001300（人）；（5）画树状图如下：，由树状图知，共有12种等可能结果，其中一男一女的有8种结果，刚好一男一女参加决赛的概率