1、专题31 轴对称、图形的平移和旋转 专题知识回顾 一、轴对称1对称轴：把一个图形沿某条直线对折，如果它与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2对称轴图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。3轴对称的性质： （1）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。（4）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。二、平移1平移：在平面内，把一个图形整体沿某一
2、方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。2对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。3平移的性质：（1）平移前后两个图形的形状、大小完全相同。（2）平移前后两个图形的对应点连接线段平行（或在同一直线上）且相等。三、旋转1旋转：在平面内，将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。2. 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。3旋转对
3、称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0，大于360）。4中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。这个点就是它的对称中心。5中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。6中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。这
4、个点就是它的对称中心。专题典型题考法及解析 【例题1】（2019山东东营）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）【答案】D【解析】观察图形，选项D中图形是轴对称图形，有3条对称轴，其他图形都不是轴对称图形故选D【例题2】（2019湖南邵阳）一次函数y1k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2k2x+b2下列说法中错误的是（）Ak1k2Bb1b2Cb1b2D当x5时，y1y2【答案】B【解析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加
5、，下移减平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，直线l1直线l2，k1k2，直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，b1b2，当x5时，y1y2。【例题3】(2019黑龙江绥化)下列图形中,属于中心对称图形的是( )【答案】C【解析】绕某点旋转180能和原图形重合,则这个图形称为中心对称图形,其中,A是轴对称图形,B旋转120的整数倍可以重合,D选项旋转72的整数倍可以重合,故选C.【例题4】（2019辽宁本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
6、（ ） A B C D【答案】B.【解析】A选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；B选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；C选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故错误；D选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误，故选B【例题5】（2019山东枣庄）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置若四边形AECF的面积为20，DE2，则AE的长为（）A4B2C6D2【答案】D【解析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置
7、四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，ADDC2，DE2，RtADE中，AE2 专题典型训练题 一、选择题1.（2019江苏泰州）如图图形中的轴对称图形是（）ABCD【答案】B 【解析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合根据轴对称图形的概念判断即可A.不是轴对称图形；B.是轴对称图形；C.不是轴对称图形；D.不是轴对称图形。2.（2019湖北宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A B C D【答案】D 【解析】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合根据轴对称图形的概念对各选项分析
8、判断即可得解A.不是轴对称图形，故本选项错误；B.不是轴对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，故本选项错误；D.是轴对称图形，故本选项正确3.（2019湖南怀化）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D【答案】C 【解析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误4.（2019山东枣庄）下列图形，可
9、以看作中心对称图形的是（）A B C D【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是中心对称图形，故本选项符合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意5.（2019山东枣庄）在平面直角坐标系中，将点A（1，2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A，则点A的坐标是（）A（1，1）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【答案】A 【解析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可将点A（1，2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A，点A的横坐标为
10、121，纵坐标为2+31，A的坐标为（1，1）6.（2019山东枣庄）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9若AA1，则AD等于（）A2B3C4D【答案】B【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点由SABC16.SAEF9且AD为BC边的中线知SADESAEF，SABDSABC8，根据DAEDAB知（）2，据此求解可得SABC16.SAEF9，且AD为BC边的中线，SADESAEF，SABDSABC8，将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，AEAB，DAED
11、AB，则（）2，即（）2，解得AD3或AD（舍）。7.（2019海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，1），平移线段AB，使点A落在点A1（2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（）A（1，1）B（1，0）C（1，0）D（3，0）【答案】C 【解析】由点A（2，1）平移后A1（2，2）可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，点B的对应点B1的坐标（1，0）8.（2019南京）如图，ABC是由ABC经过平移得到的，ABC还可以看作是ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：1次旋转；1次旋转和1次轴对称；2次旋转；2次轴对称其中所有正确结论的序号是（）A BCD【
12、答案】D【解析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角依据旋转变换以及轴对称变换，即可使ABC与ABC重合先将ABC绕着BC的中点旋转180，再将所得的三角形绕着BC的中点旋转180，即可得到ABC；先将ABC沿着BC的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着BC的垂直平分线翻折，即可得到ABC。9.（2019湖北孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90得到点P，则P的坐标为（）A（3，2）B（3，1）C（2，3）D（3，2）
13、【答案】D【解析】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180作PQy轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90得到点P看作把OPQ绕原点O顺时针旋转90得到OPQ，利用旋转的性质得到PQO90，QOQ90，PQPQ2，OQOQ3，从而可确定P点的坐标作PQy轴于Q，如图，P（2，3），PQ2，OQ3，点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90得到点P相当于把OPQ绕原点O顺时针旋转90得到OPQ，PQO90，QOQ90，PQPQ2，OQOQ3，点P的坐标为（3，2）10.（201
14、9山东省聊城市）如图，在RtABO中，OBA90，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A（2，2）B（，）C（，）D（3，3）【答案】C【解析】根据已知条件得到ABOB4，AOB45，求得BC3，ODBD2，得到D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为yx+2，解方程组可得到结论在RtABO中，OBA90，A（4，4），ABOB4，AOB45，点D为OB的中点，BC3，ODBD2，D（0，2
15、），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），直线OA 的解析式为yx，设直线EC的解析式为ykx+b，解得：，直线EC的解析式为yx+2，解得，P（，），故选：C11.（2019河南）如图，在OAB中，顶点O（0，0），A（3，4），B（3，4），将OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A（10，3）B（3，10）C（10，3）D（3，10）【答案】D【解析】先求出AB6，再利用正方形的性质确定D（3，10），由于70417+2，所以第70次旋转结束时，相当于OA
16、B与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标A（3，4），B（3，4），AB3+36，四边形ABCD为正方形，ADAB6，D（3，10），70417+2，每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90，点D的坐标为（3，10）二、填空题12（2019山东临沂）在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线x1的对称点的坐标是【答案】（2，2）【解析】先求出点P到直线x1的距离，再根据对称性求出对称点P到直线x1的距离，从而得到点P
17、的横坐标，即可得解点P（4，2），点P到直线x1的距离为413，点P关于直线x1的对称点P到直线x1的距离为3，点P的横坐标为132，对称点P的坐标为（2，2）故答案为：（2，2）13.（2019海南省）如图，将RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转（090）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转（090）得到AF，连结EF若AB3，AC2，且+B，则EF 【答案】【解析】由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求EF的长由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，B+BAC90，且+B，BAC+90EAF90EF14.（2019河南）如图，在矩形ABCD中，AB1，BCa，点E在边BC上
18、，且BEa连接AE，将ABE沿AE折叠，若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上，则a的 值为_【答案】或【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形 的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定 理，相似三角形的判定与性质进行分类讨论与数形结合是解题的关键分两种情况：点B落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得ABBE，即可求出a的值；点B落在CD边上，证明ADBBCE，据相似三角形对应边成比例即可求出a的值分两种情况：当点B落在AD边上时，如图1四边形ABCD是矩形，BADB90，将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在AD边上，BAE
19、BAEBAD45，ABBE，a1，a；当点B落在CD边上时，如图2四边形ABCD是矩形，BADBCD90，ADBCa将ABE沿AE折叠，点B的对应点B落在CD边上，BABE90，ABAB1，EBEBa，DB，ECBCBEaaa在ADB与BCE中，ADBBCE，即，解得a1，a20（舍去）综上，所求a的值为或15.（重点题）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .【答案】【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得AFBDEA，AF=DE=5，则BF=13.又易知A
20、FHBFA，所以，即AH=，AH=2AH=，由勾股定理得AE=13，GE=AE-AG=16.（2019湖南邵阳）如图，将等边AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边AOB绕点O顺时针旋转180得到AOB，则点B的坐标是 【答案】故答案为（2，2）【解析】作BHy轴于H，如图，OAB为等边三角形，OHAH2，BOA60，BHOH2，B点坐标为（2，2），等边AOB绕点O顺时针旋转180得到AOB，点B的坐标是（2，2）故答案为（2，2）17.(2019山西）如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC=10cm，点D为ABC内一点，BAD=15，AD=6cm，连接
21、BD，将ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 cm.【答案】【解析】过点A作AGDE于点G，由旋转可知：AD=AE，DAE=90，CAE=BAD=15AED=45；在AEF中：AFD=AED+CAE=60在RtADG中：AG=DG=在RtAFG中：故答案为：18.（2019山东淄博）如图，在正方形网格中，格点ABC绕某点顺时针旋转角（0180）得到格点A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则度【答案】90【解析】作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即AEA190如图，连接CC1，A
22、A1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1ECC1，AA1的垂直平分线交于点E，点E是旋转中心，AEA190旋转角9019.（2019广西池河）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90而得，则AC所在直线的解析式是 【答案】 y2x4【解析】过点C作CDx轴于点D，易知ACDBAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为ykx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解A（2，0），B（0，1）OA2，OB1过点C作CDx轴于点D， 则易知ACDBAO（AAS）ADOB1，CDOA2C（3，
23、2）设直线AC的解析式为ykx+b，将点A，点C坐标代入得直线AC的解析式为y2x420.（2019黑龙江哈尔滨）如图，将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC，其中点A与A是对应点，点B与B是对应点，点B落在边AC上，连接AB，若ACB45，AC3，BC2，则AB的长为 【答案】【解析】由旋转的性质可得ACAC3，ACBACA45，可得ACB90，由勾股定理可求解将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC，ACAC3，ACBACA45ACB90AB三、解答题21.（2019广西北部湾）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A（2，1）、B（1，2）、C（3，3）.（1）将ABC向上平移4
24、个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1;（2）请画出ABC关于y轴对称的A2B2C2;（3）请写出A1、A2的坐标.【答案】（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）【解析】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标22.（2019北京市）已知，H为射线OA上一定点，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段
25、PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明【答案】见解析。【解析】本题考查的知识点有尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30锐角的性质、中心对称的性质.（1）见下图。（2）证明：在OPM中，又，.（3）如下图，过点P作PKOA于K，过点N作NFOB于F OMP=OPNPMK=NPF在NPF和PMK中，NPFPMK （AAS）PF=MK，PNF=MPK，NF=PK又ON=PQ在RtNOF和RtPKQ中，RtNOFRtPKQ （HL）KQ=OF设POA=30，PK
26、OQ，.M与Q关于H对称MH=HQKQ=KH+HQ=又KQ=OF，即PK=1又OP=2.23.（2019广西贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90，将ABC绕点C顺时针方向旋转得到ABC，记旋转角为，当90180时，作ADAC，垂足为D，AD与BC交于点E（1）如图1，当CAD15时，作AEC的平分线EF交BC于点F写出旋转角的度数；求证：EA+ECEF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA，PF，若AB，求线段PA+PF的最小值（结果保留根号）【答案】见解析。【解析】（1）解直角三角形求出ACD即可解决问题连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EME
27、C，连接CM首先证明CFA是等边三角形，再证明FCMACE（SAS），即可解决问题（2）如图2中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M证明AEFAEB，推出EFEB，推出B，F关于AE对称，推出PFPB，推出PA+PFPA+PBAB，求出AB即可解决问题【解答】（1）解：旋转角为105理由：如图1中，ADAC，ADC90，CAD15，ACD75，ACA105，旋转角为105证明：连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CMCEDACE+CAE45+1560，CEA120，FE平分CEA，CEFFEA60，FCO180457560，FCOAEO，FOCAOE，FOCAOE，COEFOA，COEFOA，FAOOEC60，AOF是等边三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60，CEM是等边三角形，ECM60，CMCE，FCAMCE60，FCMACE，FCMACE（SAS），FMAE，CE+AEEM+FMEF（2）解：如图2中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M由可知，EAFEAB75，AEAE，AFAB，AEFAEB，EFEB，B，F关于AE对称，PFPB，PA+PFPA+PBAB，在RtCBM中，CBBCAB2，MCB30，BMCB1，CM，ABPA+PF的最小值为