1、2018 年九年级上学期 第 22 章 二次函数 单元测试卷数 学 试 卷考试时间：120 分钟；满分：150 分学校:_姓名：_班级：_考号：_题号 一 二 三 总分得分评卷人 得 分 一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1 （4 分）下列函数中，二次函数是（ ）Ay= 4x+5 By=x（2x 3） Cy=（x+4） 2x2 Dy= 21x2 （4 分）已知二次函数 y=a（x h） 2+k 的图象如图所示，直线 y=ax+hk 的图象经第几象限（ ）A一、二、三 B一、二、四 C一、三、四 D二、三、四3 （4 分）抛物线 y=2x21 与直线 y=x+3 的交点的
2、个数是（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个4 （4 分）设点（1，y 1） ， （2，y 2） ， （3，y 3）是抛物线 y=x2+a 上的三点，则y1、y 2、y 3 的大小关系为（ ）Ay 3y 2y 1 By 1y 3y 2 Cy 3y 1y 2 Dy 1y 2y 35 （4 分）设一元二次方程（x 2） （x3）=m（m0）的两根分别为 ，且 ，则二次函数 y=（x 2） （x 3）的函数值 ym 时自变量 x 的取值范围是（ ）Ax 3 或 x2 Bx 或 x Cx D2x36 （4 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，y 与 x 的部分对应值如下：x 1.1 1.
3、2 1.3 1.4 1.5 1.6y 1.59 1.16 0.71 0.24 0.25 0.76则一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个解 x 满足条件（ ）A1.2x1.3 B1.3x1.4 C1.4 x 1.5 D1.5x 1.67 （4 分）已知二次函数 y=（xh ） 2（h 为常数） ，当自变量 x 的值满足 2x5 时，与其对应的函数值 y 的最大值为1，则 h 的值为（ ）A3 或 6 B1 或 6 C1 或 3 D4 或 68 （4 分）将进货价格为 35 元的商品按单价 40 元售出时，能卖出 200 个，已知该商品单价每上涨 2 元，其销售量就减少 10 个设这种商品的
4、售价为 x 元时，获得的利润为 y 元，则下列关系式正确的是（ ）Ay= （ x35） （4005x） By=（x35） （60010x）C y=（x+5） （2005x） Dy=（x+5） （200 10x）9 （4 分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式 h=t2+24t+1则下列说法中正确的是（ ）A点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同B点火后 24s 火箭落于地面C点火后 10s 的升空高度为 139mD火箭升空的最大高度为 145m10 （4 分）如图，OABC 是边长为 1 的正方形，OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15，点
5、 B在抛物线 y=ax2（a0）的图象上，则 a 的值为（ ）A B C 2 D323221评卷人 得 分 二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11 （5 分）抛物线 y=2x21 的顶点坐标是 12 （5 分）若函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为 13 （5 分）如图，抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（2，4） ，B（1 ，1） ，则方程 ax2=bx+c 的解是 14 （5 分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 m评卷人 得 分 三解答题（共 9
6、 小题，满分 90 分）15 （8 分）已知抛物线 y=ax2+bx3（a0 ）经过点（ 1，0） ， （3，0） ，求 a，b 的值16 （8 分）下表给出了代数式x 2+bx+c 与 x 的一些对应值：x 2 1 0 1 2 3 x2+bx+c 5 n c 2 3 10 （1）根据表格中的数据，确定 b，c，n 的值；（2）设 y=x2+bx+c，直接写出 0x 2 时 y 的最大值17 （8 分）已知函数 y=（ m2m）x 2+（m1）x+m+1（1）若这个函数是一次函数，求 m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则 m 的值应怎样？18 （8 分）设方程 x2x1=0 的两个根为 a
7、，b，求满足 f（a）=b，f（b ）=a ，f （1）=1的二次函数 f（x） 19 （10 分）已知二次函数 y= x2+bx+c 的图象经过 A（0，3） ，B（4， ）两点163 29（1）求 b，c 的值（2）二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况20 （10 分）已知二次函数 y=2（x 1） （x m3） （m 为常数） （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？21 （12 分）已知函数 y=x2+mx+（m+1） （其中
8、 m 为常数）（1）该函数的图象与 x 轴公共点的个数是 个（2）若该函数的图象对称轴是直线 x=1，顶点为点 A，求此时函数的解析式及点 A 的坐标22 （12 分）已知二次函数 y=9x26ax+a2b（1）当 b=3 时，二次函数的图象经过点（1，4）求 a 的值；求当 axb 时，一次函数 y=ax+b 的最大值及最小值；（2）若 a3，b1=2a，函数 y=9x26ax+a2b 在 xc 时的值恒大于或等于 0，求实1数 c 的取值范围23 （14 分）如图，抛物线 y=ax2+bx（a0，b0）交 x 轴于 O，A 两点，顶点为 B（I）直接写出 A，B 两点的坐标（用含 a，b
9、的代数式表示） （II）直线 y=kx+m（k0）过点 B，且与抛物线交于另一点 D（点 D 与点 A 不重合） ，交 y 轴于点 C过点 D 作 DEx 轴于点 E，连接 AB，CE，求证：CEAB（III）在（II）的条件下，连接 OB，当OBA=120， k 时，求 的取值范23CEB围2018 年九年级上学期 第 22 章 二次函数 单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论【解答】解：A、y=4x+5 为一次函数；B、y=x（2x3）=2x 23x 为二次函数；C、 y=（x+4）
10、2x2=8x+16 为一次函数；D、y= 不是二次函数1故选：B【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键2【分析】根据二次函数的图象可以判断 a、h、k 的符号，然后根据一次函数的性质即可判断直线 y=ax+hk 的图象经第几象限，本题得以解决【解答】解：由函数图象可知，y=a（xh） 2+k 中的 a0，h 0，k0，直线 y=ax+hk 中的 a0，hk0，直线 y=ax+hk 经过第二、三、四象限，故选：D【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答3【分析】根据方程组，转化为一元二次方程，利用根
11、的判别式即可判断；【解答】解：由 ，消去 y 得到：2x 2+x4=0，123xy=1（32）=330，抛物线 y=2x21 与直线 y=x+3 有两个交点，故选：C【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型4【分析】由题意可得对称轴为 y 轴，则（1，y 1）关于 y 轴的对称点为（1，y 1） ，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系【解答】解：抛物线 y=x2+a对称轴为 y 轴（1，y 1）关于对称轴 y 轴对称点为（1，y 1）a=10当 x0 时，y 随 x 的增大而减小123y 1y 2y3故选：D【点评】本题考查了二次函数图象上的点
12、的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键5【分析】依照题意画出图象，观察图形结合二次函数的性质，即可找出结论【解答】解：依照题意画出图形，如图所示一元二次方程（x2） （x3）=m（m0）的两根分别为 、，二次函数 y=（x 2） （x 3）的函数值 ym 时自变量 x 的取值范围是 x 或 x故选：B【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的图象，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键6【分析】仔细看表，可发现 y 的值0.24 和 0.25 最接近 0，再看对应的 x 的值即可得【解答】解：由表可以看出，当 x 取 1.4
13、 与 1.5 之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0 的一个根ax2+bx+c=0 的一个解 x 的取值范围为 1.4x1.5故选：C【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的7【分析】分 h2、2h5 和 h5 三种情况考虑：当 h2 时，根据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当 2h5 时，由此时函数的最大值为 0 与题意不符，可得出该情况不存在；当 h5 时，根据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论综上即可得出结论【解答】解：当 h2 时，有 （2h
14、 ） 2=1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去） ；当 2h5 时，y=（xh） 2 的最大值为 0，不符合题意；当 h5 时，有（5h） 2=1，解得：h 3=4（舍去） ，h 4=6综上所述：h 的值为 1 或 6故选：B【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 h2、2h5 和 h5三种情况求出 h 值是解题的关键8【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润；【解答】解：设这种商品的售价为 x 元时，获得的利润为 y 元，根据题意可得：y=（x 35） （4005x） ，故选：A【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每个涨价 2 元，其销售量就减少 10
15、个”9【分析】分别求出 t=9、13、24、10 时 h 的值可判断 A、B、C 三个选项，将解析式配方成顶点式可判断 D 选项【解答】解：A、当 t=9 时，h=136；当 t=13 时，h=144；所以点火后 9s 和点火后 13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当 t=24 时 h=10，所以点火后 24s 火箭离地面的高度为 1m，此选项错误；C、当 t=10 时 h=141m，此选项错误；D、由 h=t2+24t+1=（t12） 2+145 知火箭升空的最大高度为 145m，此选项正确；故选：D【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质10【分析】连接
16、OB，过 B 作 BDx 轴于 D，若 OC 与 x 轴正半轴的夹角为 15，那么BOD=30；在正方形 OABC 中，已知了边长，易求得对角线 OB 的长，进而可在 RtOBD 中求得 BD、OD 的值，也就得到了 B 点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数 a 的值【解答】解：如图，连接 OB，过 B 作 BDx 轴于 D；则BOC=45，BOD=30；已知正方形的边长为 1，则 OB= ；2RtOBD 中，OB= ， BOD=30，则：2BD= OB= ，OD= OB= ；2136故 B（ ， ） ，6代入抛物线的解析式中，得：（ ） 2a= ，6解得 a= ；3故选：
17、B【点评】此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解决问题的关键二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决【解答】解：y=2x 21，该抛物线的顶点坐标为（0，1） ，故答案为：（0，1） 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答12【分析】由抛物线与 x 轴只有一个交点，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出 m 的值【解答】解：函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴
18、有且只有一个交点，=2 241（m）=0，解得：m=1故答案为：1【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，牢记“ 当=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1个交点”是解题的关键13【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为cbxya2， ，于是易得关于 x 的方程 ax2bxc=0 的解421yx1【解答】解：抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（2，4） ，B（1 ，1） ，方程组 的解为 ， ，cbxya241yx12即关于 x 的方程 ax2bxc=0 的解为 x1=2，x 2=1所以方程 ax2=bx+c 的解是 x1=2，
19、x 2=1故答案为 x1=2，x 2=1【点评】本题考查抛物线与 x 轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型14【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y=2 代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过C 点，则通过画图可得知 O 为原点，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（ 0，2 ） ，通过以上条件可设顶点
20、式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（2 ，0） ，到抛物线解析式得出：a=0.5 ，所以抛物线解析式为 y=0.5x2+2，当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当 y=2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=2 与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y=2 代入抛物线解析式得出：2=0.5x2+2，解得：x=2 ，所以水面宽度增加到 4 米，比原先的宽度当然是增加了2（4 4）米，2故答案为：4 4【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键三解答题（共 9 小题，满分 90 分）15【分析】
21、根据抛物线 y=ax2+bx3（a0）经过点（1，0 ） ， （3，0） ，可以求得 a、b 的值，本题得以解决【解答】解：抛物线 y=ax2+bx3（a0）经过点（1，0 ） ， （3，0） ， ，039ba解得，21b即 a 的值是 1，b 的值是2【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答16【分析】 （1）把（2，5） 、 （1，2）分别代入 x2+bx+c 中得到关于 b、c 的方程组，然后解方程组即可得到 b、c 的值；然后计算 x=1 时的代数式的值即可得到 n 的值；（2）利用表中数据求解【解答】解：（1）根据表格数据可得 ，解
22、得 ，2154cb52cbx 2+bx+c=x22x+5，当 x=1 时，x 22x+5=6，即 n=6；（2）根据表中数据得当 0x 2 时，y 的最大值是 5【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解17【分析】 （1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方
23、程组，可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案【解答】解：依题意得 012m 10m或m=0；（2）依题意得 m2m0，m0 且 m1【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键18【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求得 ab=1，a+b=1，a 2+b2=（a+b）22ab=3根据题意知，二次函数经过点（a，b ） ， （b，a ） ， （1，1） 把它们代入二次函数解析式 f（x）=kx 2+dx+c（k0） ，列出方程组，通过解方程组可以求得 k、d、c 的值【解答】解：方程 x2x1=0 的两个根为 a、b ，ab=1
24、，a+b=1，a 2+b2=（a+b） 22ab=3设 f（x）=kx 2+dx+c（k 0 ） ，f（ a）=b，f （b）=a ，f（1）=1， ，由，得（a+b）k+d= 1，即 k+d=1，由+，得 k（a 2+b2）+d （a+b）+2c=a+b ，即 3k+d+2c=1，把代入解得 c=2则由得 3k+d=3，由解得，k=1，d=0故该二次函数是 f（x）= x2+2【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数解析式的求解及其常用方法，解方程组解题时要认真审题，仔细解答19【分析】 （1）把点 A、B 的坐标分别代入函数解析式求得 b、c 的值；（2）利用根的判别式进行判断该
25、函数图象是否与 x 轴有交点，由题意得到方程 x2+163x+3=0，通过解该方程求得 x 的值即为抛物线与 x 轴交点横坐标89【解答】解：（1）把 A（0，3） ，B （4， ）分别代入 y= x2+bx+c，得29163，294613cbc解得 ；38c（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y= x2+ x+31689= （ ） 24（ ）3= 0，89163425所以二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴有公共点 x2+ x+3=0 的解为：x 1=2，x 2=8163公共点的坐标是（2， 0）或（8，0） 【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征注意
26、抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系20【分析】 （1）代入 y=0 求出 x 的值，分 m+3=1 和 m+31 两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标，令其大于 0 即可求出结论【解答】 （1）证明：当 y=0 时，2（x 1） （x m3）=0，解得：x 1=1， x2=m+3当 m+3=1，即 m=2 时，方程有两个相等的实数根；当 m+31，即 m2 时，方程有两个不相等的实数根不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）解：当 x=0 时，
27、y=2（x 1） （x m3）=2m+6，该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2m+6，当 2m+60，即 m3 时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）由方程 2（x 1） （xm3）=0 有解证出该函数的图象与 x 轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标21【分析】 （1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；（2）先依据抛物线的对称轴方程求得 m 的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得点 A 的坐标【解
28、答】解：（1）函数 y=x2+mx+（m+1） （m 为常数） ，=m 2+4（ m+1）= （m +2） 20，该函数图象与 x 轴的公共点的个数是 1 或 2故答案为：1 或 2（2）抛物线的对称轴是直线 x=1， =1，解得 m=2，抛物线的解析式为 y=x2+2x+3y=x2+2x+3 x2+2x1+4=（x1） 2+4，A（1，4 ） 【点评】本题主要考查的是抛物线与 x 轴的交点，掌握抛物线与 x 轴交点个数与之间的关系是解题的关键22【分析】先求出该抛物线的对称轴，然后根据对称轴的位置即可求出 a 的取值范围【解答】解：（1）y=9x 26ax+a2b，当 b=3 时，二次函数的
29、图象经过点（1，4）4=9（1） 26a（1）+a 2+3，解得，a 1=2，a 2=4，a 的值是2 或4；a xb，b=3a=2 舍去，a=4，4 x3，一次函数 y=4x3，一次函数 y=4x3 为单调递减函数，当 x=4 时，函数取得最大值，y= 4（4） 3=13x=3 时，函数取得最小值，y= 4（3） 3=9（2）b1=2ay=9x 26ax+a2b 可化简为 y=9x26ax+a22a1抛物线的对称轴为：x= 1，3抛物线与 x 轴的交点为（ ，0） （ ，0）232a函数 y=9x26ax+a2b 在 xc 时的值恒大于或等于 01c ，3a 3 ， c 217【点评】本题考
30、查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象，本题属于中等题型23【分析】 （）令 y=0，可求 A 点坐标，根据顶点公式可求 B 点坐标（）如图作 BFAO，根据根与系数关系可求 D 的横坐标，即可求 OC，OE，AF，BF的长度（用 a，b，m 表示） ，可证OEC ABF ，即可证 ABEC（）由ABO=120，根据抛物线的对称性可得 FBA=60，可求 b 的值，则可求 B 点坐标，直线 y=kx+m 过 B 点，可求 m 与 k 的关系，由OECABF，可求得 的取CEAB值范围【解答】解：（）当 y=0 时，有 ax2+bx=0，解得：x 1=0， x2= ，ba点 A 的
31、坐标为（ ，0） 抛物线 y=ax2+bx=a（x+ ） 2 ，ba4点 B 的坐标为（ ， ） 2（II）如图作 BFAO直线 y=kx+m（k 0）与抛物线相交于 B，Dkx+m=ax 2+bxax 2+bxkxm=0x BxD= a xD=b2mx D=OE= bC （0，m） ，B（ ， ） ，A（ ，0）a2b42aOC=m，AF= ，BF=2 ，且COA=BFA=90ambOCBFEA42ABFOCEFAB=OECABCE（）OBA=120FBA=60tanFBA= 342abBFAb= 32B（ ， ）a1直线 y=kx+m 过 B 点 = k+ma31m= kABFOCE kambOEAFCB3142 k23 4152即 CEAB【点评】本题考查了二次函数综合题，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，通过相似三角形证明角相等是本题的关键