1、2018-2019学年四川省攀枝花市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数z满足zi1+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知抛物线y28x的焦点和双曲线的右焦点重合，则m的值为（）A3BC5D3（5分）如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为10、14，则输出的a（）A0B2C4D104（5分）已知函数f（x）在 R上可导，且f（x）x2+2xf（1），
2、则函数f（x）的解析式为（）Af（x）x24xBf（x）x2+4xCf（x）x22xDf（x）x2+2x5（5分）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（）A40B36C26D206（5分）函数在（0，1）上不单调，则实数a的取值范围是（）A0a1B1a2C0a2Da27（5分）下列叙述正确的是（）A若命题“pq”为假命题，则命题“pq”是真命题B命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”C命题“xR，2x0”的否定是“x0R，”D“45”是“tan1”的充分不必要条件8（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD9（5分）设m，n是两条不同的直线，是
3、两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，m，则B若，m，n，则mnC若m，mn，则nD若，m，则m10（5分）函数f（x）与它的导函数f（x）的大致图象如图所示，设，当x（0，5）时，g（x）单调递减的概率为（）ABCD11（5分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A32B48C64D7212（5分）已知函数有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1x2x3），则的值为（）A1B1CaDa二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若“存在实数x，使x22x+m0”为真命题，则实数m的取值范围是 14（5分）观察下面几个算式，找出规
4、律：1+2+14； 1+2+3+2+19； 1+2+3+4+3+2+116；1+2+3+4+5+4+3+2+125；利用上面的规律，请你算出1+2+3+99+100+99+3+2+1 15（5分）如图是棱长为a的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF与MN所成角的余弦值为 16（5分）定义在上的奇函数f（x）的导函数为f（x），且f（1）0当x0时，f（x）f（x）tanx，则不等式f（x）0的解为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数f（x）ex+ax2+bx+1（a，bR），曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程为y（
5、e1）x+1（）求实数a、b的值；（）求函数yf（x）在1，2的最值18（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了n名学生，已知这n名学生的物理成绩均不低于60分（满分为100分）现将这n名学生的物理成绩分为四组：60，70），70，80），80，90），90，100，得到的频率分布直方图如图所示，其中物理成绩在90，100内的有28名学生，将物理成绩在80，100内定义为“优秀”，在60，80）内定义为“良好”（）求实数a的值及样本容量n；男生女生合计优秀良好20合计60（）根据物理成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这n名学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取3名，求这3名
6、学生的物理成绩至少有2名是优秀的概率；（）请将22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关？参考公式及数据：（其中na+b+c+d）P（K2k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF平面ABCD，DEAF，ADBC，ABCD，ABC60，BC2AD2（）请在图中作出平面，使得DE，且BF，并说明理由；（）证明：ACBF20（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为（）求
7、椭圆C的标准方程；（）设M为椭圆C的右顶点，过点N（6，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值21（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1，且AA1AB2（1）求证：ABBC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角AA1CB的大小22（12分）已知函数（）讨论函数f（x）在定义域上的单调性；（）若函数g（x）xf（x）ax2x有两个不同的极值点x1，x2，且x1x2，证明：（e为自然对数的底数）2018-2019学年四川省攀枝花市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题
8、解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数z满足zi1+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求得z的坐标得答案【解答】解：由zi1+2i，得z，复数z在复平面内所对应的点的坐标为（2，1），在第四象限故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）已知抛物线y28x的焦点和双曲线的右焦点重合，则m的值为（）A3BC5D【分析】求得抛物线的焦点，可得双曲线
9、的右焦点，由双曲线的右焦点恰好是抛物线y28x的焦点重合，求m【解答】解：抛物线y28x的焦点为（2，0），即有双曲线的右焦点为（2，0），则c2，解得m2213，故选：A【点评】本题考查双曲线和抛物线的性质和应用，考查运算能力，属于基础题3（5分）如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为10、14，则输出的a（）A0B2C4D10【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【解答】解：模拟程序的运行，可得a10，b14不满足ab，则b14104，满足ab，则a1046，满足ab，则a642，
10、不满足ab，则b422，由ab2，则输出的a2故选：B【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题4（5分）已知函数f（x）在 R上可导，且f（x）x2+2xf（1），则函数f（x）的解析式为（）Af（x）x24xBf（x）x2+4xCf（x）x22xDf（x）x2+2x【分析】可以求出导函数f（x）2x+2f（1），从而可求出f（1）2，这样即可得出f（x）x24x【解答】解：f（x）2x+2f（1）；f（1）2+2f（1）；f（1）2；f（x）x24x故选：A【点评】考查基本初等函数的求导公式，以及已知函数求值的方法5（5分）若圆锥的高为3，
11、底面半径为4，则此圆锥的表面积为（）A40B36C26D20【分析】根据勾股定理求出母线，代入面积公式计算【解答】解：圆锥的母线l5，圆锥的表面积为42+4536故选：B【点评】本题考查了圆锥的结构特征，表面积计算，属于基础题6（5分）函数在（0，1）上不单调，则实数a的取值范围是（）A0a1B1a2C0a2Da2【分析】求导函数，利用导函数判断函数的单调性即可得到结论【解答】解：函数在（0，1）上不单调，求导函数可得：f（x）ax22xx（ax2），那么f（x）ax22xx（ax2）0时，函数的零点为x0或x0，f（x）0时，x（，0）和x（，+），f（x）0时，x（0，），如果函数在（0，
12、1）上不单调，则1，a2，于是满足条件的实数a的范围为a2，故选：D【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键7（5分）下列叙述正确的是（）A若命题“pq”为假命题，则命题“pq”是真命题B命题“若x21，则x1”的否命题为“若x21，则x1”C命题“xR，2x0”的否定是“x0R，”D“45”是“tan1”的充分不必要条件【分析】利用复合命题的真假判断A的正误；四中命题的逆否关系判断B的正误；命题的否定判断C的正误；充要条件判断D正误【解答】解：若命题“pq”为假命题，如果p，q都是假命题，则命题“pq”是真命题不正确；命题“若x21，则x1”的否命题
13、为“若x21，则x1”，满足否命题的形式，正确；命题“xR，2x0”的否定是“x0R，”，不满足命题的否定形式，不正确；“120”则“tan0”，所以“45”是“tan1”的充分不必要条件，不正确；故选：B【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查8（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S121，高为1；故其体积V1111；三棱锥的底面是等腰直角三
14、角形，其面积S121，高为1；故其体积V211；故该几何体的体积VV1+V2；故选：A【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力9（5分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若m，m，则B若，m，n，则mnC若m，mn，则nD若，m，则m【分析】根据题意，对选项中的命题进行分析判断，得出正确的命题即可【解答】解：对于A，当m，m时，与可能平行，也可能相交，所以A错误；对于B，当，m，n时，m、n可能平行，也可能相交或异面，所以B错误；对于C，当m，mn时，根据线面垂直的判
15、断定理可以得出n，因此C正确；对于D，当，m时，有m或m，所以D错误故选：C【点评】本题考查了空间中直线与平面之间的位置关系应用问题，也考查了符号语言与空间想象能力，是基础题10（5分）函数f（x）与它的导函数f（x）的大致图象如图所示，设，当x（0，5）时，g（x）单调递减的概率为（）ABCD【分析】由图可得当x（0，1）（4，5）时，f（x）f（x）0，当x（1，4）时，f（x）f（x）0，进一步求得g（x）在（0，1），（4，5）上为减函数，在（1，4）上为增函数，再由测度比时测度比得答案【解答】解：由图可知，当x（0，1）（4，5）时，f（x）f（x）0，当x（1，4）时，f（x）f（
16、x）0，而，得g（x），g（x）在（0，1），（4，5）上为减函数，在（1，4）上为增函数，当x（0，5）时，g（x）单调递减的概率为P故选：B【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查几何概型概率的求法，是中档题11（5分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A32B48C64D72【分析】由题意画出图形，求出底面三角形ABC的外接圆的半径，进一步求得三棱锥PABC的外接球的半径，再由球的表面积公式求解【解答】解：如图，由题意，ABC的外接圆的半径rPA平面ABC，且PA4，三棱锥PABC的外接球的半径R满足三棱锥PABC的外接球的表面积为41664
17、故选：C【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12（5分）已知函数有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1x2x3），则的值为（）A1B1CaDa【分析】通过函数解析式与所求式子结构的共同点，令，则函数t（x）在（，1）单调递增，在（1，+）单调递减，且，由题意，g（t）t2+ata必有两个根t10，且，t1+t2a，t1t2a，则【解答】解：令，则，当x1时，t（x）0，函数t（x）在（，1）单调递增，当x1时，t（x）0，在（1，+）单调递减，且，由题意，g（t）t2+ata必有两个根t10，且，由根与系数的关系有，t1+t2a，t1t2a，由图可
18、知，有一解x10，有两解x2，x3，且0x21x3，故故选：A【点评】本题考查函数的零点，考查换元思想及数形结合思想在解题中的运用，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若“存在实数x，使x22x+m0”为真命题，则实数m的取值范围是m1【分析】根据“存在xR，x22x+m0”为真命题，0解不等式求出m的取值范围【解答】解：“存在xR，x22x+m0”为真命题，即44m0，解得m1实数m的取值范围是：m1故答案为：m1【点评】本题考查了存在命题的应用问题是基础题14（5分）观察下面几个算式，找出规律：1+2+14； 1+2+3+2+19； 1+2+3+4+3+2
19、+116；1+2+3+4+5+4+3+2+125；利用上面的规律，请你算出1+2+3+99+100+99+3+2+110000【分析】由已知中的式子，分析最大的项与右边值的关系，可得答案【解答】解：由已知中：1+2+14； 1+2+3+2+19； 1+2+3+4+3+2+116；1+2+3+4+5+4+3+2+125；归纳可得：+2+3+（n1）+n+（n1）+4+3+2+1n2，1+2+3+99+100+99+3+2+1100210000；故答案为：10000【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）15
20、（5分）如图是棱长为a的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF与MN所成角的余弦值为【分析】根据正方体的平面展开图，画出它的直观图，然后根据EFB是异面直线EF与MN所成的角，求出cosEFB即可【解答】解：根据正方体的平面展开图，画出它的直观图如图所示，连接BF，BE，由MNBF，得EFB是异面直线EF与MN所成的角，则EFB是正三角形，EFB60，cosEFB异面直线EF与MN所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查了根据正方体的平面展开图，求其直观图中异面直线所成角的问题，考查了空间中的位置关系与应用问题，属中档题16（5分）定义在上的奇函数f（x）的导函数为f（x），且f（1
21、）0当x0时，f（x）f（x）tanx，则不等式f（x）0的解为x|1x0，或1x【分析】令g（x）f（x）sinx，根据函数的单调性求出不等式的解集即可【解答】解：g（x）f（x）sinx，x，则g（x）cosxf（x）f（x）sinx，当x0时，f（x）f（x）tanx，当x时，g（x）0，g（x）单调递减，又f（1）0，g（1）f（1）sin10，f（x）是上的奇函数，g（x）为上的偶函数，g（1）0，f（x）0等价于，或，1x0，或1x，不等式的解集为：x|1x0，或1x【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和导数的应用以及解不等式问题，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分
22、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知函数f（x）ex+ax2+bx+1（a，bR），曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程为y（e1）x+1（）求实数a、b的值；（）求函数yf（x）在1，2的最值【分析】（）求出f（x）ex+2ax+b，通过曲线yf（x）在（1，f（1）处的切线方程为y（e1）x+1列出方程组，即可求解a，b（）f（x）exx+1的定义域为（，+），f（x）ex1，判断函数的单调性，求出极值以及端点值，即可得到函数yf（x）在1，2的最值【解答】解：（）f（x）ex+2ax+b，则，（）f（x）exx+1的定义域为（，+），f（x）ex1，令f（x）0
23、，则x0当x0时，f（x）0，f（x）递减；当x0时，f（x）0，f（x）递增，f（x）minf（0）2，f（2）e21，且f（2）f（1），【点评】本题考查了函数的导数的应用，切线方程的求法与应用，同时考查了函数在闭区间上最值，属于中档题18（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了n名学生，已知这n名学生的物理成绩均不低于60分（满分为100分）现将这n名学生的物理成绩分为四组：60，70），70，80），80，90），90，100，得到的频率分布直方图如图所示，其中物理成绩在90，100内的有28名学生，将物理成绩在80，100内定义为“优秀”，在60，80）内定义为“良好”
24、（）求实数a的值及样本容量n；男生女生合计优秀良好20合计60（）根据物理成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这n名学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取3名，求这3名学生的物理成绩至少有2名是优秀的概率；（）请将22列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关？参考公式及数据：（其中na+b+c+d）P（K2k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（）由频率和为1，列方程求出a的值，再利用频率、频数和样本容量的关系计算即可；（）由题意求得所抽取的1
25、0名学生中物理成绩良好和优秀的人数，计算所求的概率值；（）补充完整列联表，计算K2的值，对照临界值得出结论【解答】解：（）由题可得10（0.016+0.024+a+0.032）1，解得a0.028，又物理成绩在90，100内的有28名学生，所以，解得n100；（）由题可得，这100名学生中物理成绩良好的有100（0.016+0.024）1040名，所以抽取的10名学生中物理成绩良好的有名，物理成绩优秀的有1046名；故从这10名学生中随机抽取3名，这3名学生的物理成绩至少有2名是优秀的概率为；（）补充完整的22列联表如下表所示：男生女生合计优秀204060良好202040合计4060100则K
26、2的观测值为，所以没有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题19（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF平面ABCD，DEAF，ADBC，ABCD，ABC60，BC2AD2（）请在图中作出平面，使得DE，且BF，并说明理由；（）证明：ACBF【分析】（）取BC中点G，连接DG，EG，则ADBG且ADBG，从而四边形ABGD是平行四边形，则ABDG，进而AB平面DEG，AF平面DEG，平面ABF平面DEG，从而BF（）由四边形ABGD是平行四边形，得到ABDG，DGCABC60，CDG是边长为1的正三角形
27、，从而ACDCADACB30，ACAB，ACAF，从而AC平面ABF，由此能证明ACBF【解答】（本小题满分12分）解：（）如图，取BC中点G，连接DG，EG，则平面DEG即为所求平面理由如下：BC2AD2，ADBC，ADBG且ADBG，四边形ABGD是平行四边形，则ABDGAB平面DEG，DG平面DEG，AB平面DEG，AFDE，AF平面DEG，DE平面DEG，AF平面DEG，AF平面ABF，AB平面ABF，且ABAFA，平面ABF平面DEG，BF平面ABF，BF平面DEG，即BF证明：（）由（）四边形ABGD是平行四边形，则ABDG，DGCABC60，ABCD，CDG是边长为1的正三角形，
28、AD1，ADC120，ACDCADACB30，BAC90，即ACAB，AF平面ABCD，AC平面ABCD，ACAF，AF平面ABF，AB平面ABF，ABAFA，AC平面ABF，BF平面ABF，ACBF【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为（）求椭圆C的标准方程；（）设M为椭圆C的右顶点，过点N（6，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值【分析】（）利用性质建立方程组，求出椭圆
29、的方程；（）先建立方程组化为一元二次方程，利用根与系数关系，建立k1k2的表达式，并化简证明【解答】解：（）由题意有，椭圆C的标准方程为（）由（）可知M（2，0），依题意得直线l的斜率存在，设其方程为yk（x6）（k0）设P（x1，y1），Q（x2，y2），（x1，x22），联立方程，消去y并整理可得（1+2k2）x224k2x+72k240，为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆之间的位置关系，属于中档题目21（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1，且AA1AB2（1）求证：ABBC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角AA1
30、CB的大小【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD平面A1BC，从而ADBC，由线面垂直得AA1BC由此能证明ABBC（2）连接CD，由已知条件得ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，AED即为二面角AA1CB的一个平面角，由此能求出二面角AA1CB的大小【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，（1分）因AA1AB，则ADA1B（2分）由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，（3分）得AD平面A1BC，又BC平面A1BC，所以ADBC（4分）因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所
31、以AA1BC又AA1ADA，从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则（8分）在等腰直角A1AB中，AA1AB2，且点D是A1B中点，且，（9分）过点A作AEA1C于点E，连DE由（1）知AD平面A1BC，则ADA1C，且AEADAAED即为二面角AA1CB的一个平面角，（10分）且直角A1AC中：又，且二面角AA1CB为锐二面角，即二面角AA1CB的大小为（14分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题
32、，注意空间思维能力的培养22（12分）已知函数（）讨论函数f（x）在定义域上的单调性；（）若函数g（x）xf（x）ax2x有两个不同的极值点x1，x2，且x1x2，证明：（e为自然对数的底数）【分析】（）求出原函数的导函数，可得当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，f（x）在（a，+）上单调递增，f（x）在（0，a）上单调递减；（）g（x）xf（x）ax2xxlnxax2x+a，得到g（x）lnx2ax，由g（x）有两极值点x1，x2，得lnx12ax1，lnx22ax2，把证，转化为证即lnx1+lnx22，即证明：，进一步得到证明，令，则t1，上式等价于要证构造函数，利用导数
33、即可证明【解答】（）解：由题意可知，函数f（x）的定义域为，令f（x）0得xa0，xa，当a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，故此时f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，由f（x）0，得xa，f（x）在（a，+）上单调递增，由f（x）0，得0xa，f（x）在（0，a）上单调递减综上所述，当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，f（x）在（a，+）上单调递增，f（x）在（0，a）上单调递减；（）证明：g（x）xf（x）ax2xxlnxax2x+a，g（x）lnx2ax，g（x）有两极值点x1，x2，lnx12ax1，lnx22ax2，欲证，等价于要证：，即lnx1+lnx22，得2ax1+2ax22，即a（x1+x2）1，0x1x2，原式等价于要证明：，由lnx12ax1，lnx22ax2，可得，则有，由可知，原式等价于要证明：，即证，令，则t1，上式等价于要证令，则，h（t）在（1，+）上单调递增，因此当t1时，h（t）h（1）0，即原不等式成立，即【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题