1、2018-2019学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi3+i，则z的虚部为（）A1B3iC1D32（5分）（x）5的展开式中，x的系数为（）A40B40C80D803（5分）若直线ykx+2和椭圆恒有公共点，则实数b的取值范围是（）A2，+）B2，3）（3，+）C2，3）D（3，+）4（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（）A5局3胜制B7局4胜制
2、C都一样D说不清楚5（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角正弦值为（）ABCD6（5分）已知f（x）x2+2xf（1），则f（3）等于（）A4B2C1D27（5分）“k1”是“函数f（x）kxlnx在（1，+）单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8（5分）某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个项目至少1人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有（）A24种B30种C36种D72种9（5分）若曲线yex在x0处的切线，也是ylnx+b的切线，则b（）A1B1C
3、2De10（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x），g（x）分别是f（x），g（x）的导数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，且g（6）0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（6，0）（6，+）B（，6）（0，6）C（6，0）（0，6）D（，6）（6，+）11（5分）点A，B在以PC为直径的球O的表面上，且ABBC，AB2，BC4，若球O的表面积是24，则异面直线PB和AC所成角余弦值为（）ABCD12（5分）已知函数在x1时取得极大值，则a的取值范围是（）A0，+）B（e，0）C（，0）D（，e）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2
4、0分.13（5分）设（x3）5a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5 14（5分）已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 15（5分）若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为 16（5分）双曲线C：的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），过F1斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于点P、Q，若QPQF2，则该双曲线的离心率是 三.解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）小明某天偶然发现班上男同
5、学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如表所示：几何题代数题合计男同学22830女同学81220合计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？（2）用以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校所有女生（该校女生超过1200人）中随机选5名女生，记5名女生选做几何题的人数为X，求X的数学期望E（X）和方差D（X）附表：P（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.
6、005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879，其中na+b+c+d18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，ABAP1，F，E分别是PB，PC中点（1）证明：PBED（2）求平面ADEF与平面PCD所成锐二面角的值19（12分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|2（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若4（O为坐标原点），则直线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由20（12分）已知函数f（x）ex（x2x1）（1）求函数f（x）的单调
7、区间；（2）求证：ex1（x2x1）121（12分）已知椭圆E：的左焦点F1，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且|PF1|的最小值为（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过椭圆的左焦点F1，与椭圆交于A、B两点，且OAB的面积为，求直线l的方程22（12分）已知函数f（x）lnx+ax2，（1）若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）ax2+2axex+e2a在x（1，+）上恒成立，求实数a的取值范围2018-2019学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是
8、符合题目要求的.1（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足zi3+i，则z的虚部为（）A1B3iC1D3【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由zi3+i，得z，z的虚部为3故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5分）（x）5的展开式中，x的系数为（）A40B40C80D80【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得开式中x的系数【解答】解：二项式（x）5的展开式的通项公式为Tr+1（2）rx52r，令52r1，求得r2，二项式（x）5的展开式中x的系数为（2）240，故选：A【点评】本题
9、主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题3（5分）若直线ykx+2和椭圆恒有公共点，则实数b的取值范围是（）A2，+）B2，3）（3，+）C2，3）D（3，+）【分析】要使直线ykx20恒过点（0，2），需点（0，2）在椭圆上或椭圆内，进而求得b的范围【解答】解：直线ykx+2即直线ykx20恒过点（0，2），仅当点（0，2）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，而点（0，2）在y轴上，所以，b2且b3，故b的范围是2，3）（3，+），故选：B【点评】本题主要考查了椭圆的性质，考查分析问题解决问题的能力，属基础题4（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛
10、，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（）A5局3胜制B7局4胜制C都一样D说不清楚【分析】分别计算出乙在5局3胜制和7局4胜制情形下对应的概率，然后进行比较即可得出答案【解答】解：当采用5局3胜制时，乙可以3：0，3：1，3：2战胜甲，故乙获胜的概率为：0.43+C320.420.604+C420.420.620.40.3174；采用7局4胜制时，乙可以4：0，4：1，4：2，4：3；战胜甲，故乙获胜的概率为：0.44+C430.430.60.4+C530.430.620.4+C630.430.630.40.2898，显然采用5局3胜
11、制对乙更有利，故选：A【点评】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率，意在考查学生的计算能力和分析能力，难度中等5（5分）正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角正弦值为（）ABCD【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面A1BC1的一个法向量与，由两向量所成角的余弦值的绝对值可得直线AD与平面A1BC1所成角正弦值【解答】解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则平面A1BC1的一个法向量为，设直线AD与平面A1BC1所成角为，sin|cos|
12、故选：C【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题6（5分）已知f（x）x2+2xf（1），则f（3）等于（）A4B2C1D2【分析】对f（x）求导，令x1，求出f（1），然后求出f（3）即可【解答】解：f（x）x2+2xf（1），f（x）2x+2f（1），f（1）2+2f（1），f（1）2，f（3）642故选：D【点评】本题考查了导数的运算性质，关键是理解f（1）是一个数，属基础题7（5分）“k1”是“函数f（x）kxlnx在（1，+）单调递增”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出导函数f（x），由于函数f（x
13、）kxlnx在区间（1，+）单调递增，可得f（x）0在区间（1，+）上恒成立，求出k的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断【解答】解：f（x）k，函数f（x）kxlnx在区间（1，+）单调递增，f（x）0在区间（1，+）上恒成立k，而y在区间（1，+）上单调递减，k1故k1”是“函数f（x）kxlnx在（1，+）单调递增充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，以及充分必要条件，属于中档题8（5分）某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个项目至少1人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方
14、式有（）A24种B30种C36种D72种【分析】由排列组合及简单的计数问题得：甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有30种，得解【解答】解：将将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个项目至少1人，共有36种不同的安排方式，其中甲、乙两人安排到同一个项目，共有6种不同的安排方式，则甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有36630种，故选：B【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题9（5分）若曲线yex在x0处的切线，也是ylnx+b的切线，则b（）A1B1C2De【分析】求出yex的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线ylnx+b
15、相切的切点为（m，n），求得函数ylnx+b的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值【解答】解：yex的导数为yex，曲线yex在x0处的切线斜率为k1，则曲线yex在x0处的切线方程为y1x，ylnx+b的导数为y，设切点为（m，n），则1，解得m1，n2，即有2ln1+b，解得b2故选：C【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切点和正确求出导数是解题的关键10（5分）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x），g（x）分别是f（x），g（x）的导数，当x0时，f（x
16、）g（x）+f（x）g（x）0，且g（6）0，则不等式f（x）g（x）0的解集是（）A（6，0）（6，+）B（，6）（0，6）C（6，0）（0，6）D（，6）（6，+）【分析】先根据f（x）g（x）+f（x）g（x）0可确定f（x）g（x）0，进而可得到f（x）g（x）在x0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x0时也是增函数，最后根据g（6）0可求得答案【解答】解：因 f（x）g（x）+f（x）g（x）0，即f（x）g（x）0故f（x）g（x）在x0时递增，又f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g
17、（x）在x0时也是增函数g（6）0，f（6）g（6）0，所以f（x）g（x）0的解集为：x6或0x6，故选：B【点评】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习11（5分）点A，B在以PC为直径的球O的表面上，且ABBC，AB2，BC4，若球O的表面积是24，则异面直线PB和AC所成角余弦值为（）ABCD【分析】推导出ABC的外心O是AC的中点，从而OO平面ABC，PAOO，从而PA平面ABC，进而球O的半径ROA，设PB与AC所成角为，则coscosPBAcosBAC，由此能求出异面直线PB与AC所成角的余弦值【解答
18、】解：A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，ABBC，AB2，BC4，ABC的外心O是AC的中点，OO平面ABC，由题意得PAOO，PA平面ABC，球O的半径ROA，球O的表面积是24，球半径R，AC2，AO，OO1，PAAB2，设PB与AC所成角为，则coscosPBAcosBAC异面直线PB与AC所成角的余弦值为故选：C【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，是中档题12（5分）已知函数在x1时取得极大值，则a的取值范围是（）A0，+）B（e，0）C（，0）D（，e）【分析】对已知函数求导，然后讨论a0和a0两种情况
19、，分别求极值，最后汇总即可【解答】解：对已知函数求导得f（x）e2x+（ae）exae（ex+a）（exe），当a0时，若x1，则f（x）0；若x1，则f（x）0，因此f（x）在x1处取得极小值，不符合题意当a0时，令f（x）0，得x1或xln（a），为使f（x）在x1处取得极大值，则ln（a）1，即ae故选：D【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用，中档题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）设（x3）5a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3+a4+a532【分析】令x1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5【解答】解：令x
20、1可得，（13）51a0+a1+a2+a3+a4+a5，则a0+a1+a2+a3+a4+a532故答案为：32【点评】本题考查二项式定理的运用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入14（5分）已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离1【分析】以D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为X，Y，Z轴的正方向，建立坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDFE的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可得点A1到平面DBFE的距离【解答】解：建立空间直角坐标系Dxyz，则B（1，1，0），E（，1，1），F
21、（0，1），设 （x，y，z）是平面BDFE的法向量，由 ，（1，1，0），（0，1）得：x+y0 y+z0所以：xyz令y1，得 （1，1，），设点A在平面BDFE上的射影为H，连接A1D，A1D是平面BDFE的斜线段，则：cos，所以|cos，1所以点A1到平面DBEF的距离为1；故答案为：1【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，点、线、面的距离的计算，其中根据已知建立空间坐标系，将问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键15（5分）若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小
22、求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线yx2的距离即为所求【解答】解：点P是曲线yx2lnx上任意一点，当过点P的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小直线yx2的斜率等于1，令yx2lnx的导数 y2x1，x1，或 x（舍去），故曲线yx2lnx上和直线yx2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线yx2的距离等于，故点P到直线yx2的最小距离为，故答案为【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想16（5分）双曲线C：的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），过F1斜率为的直线与
23、双曲线的左右两支分别交于点P、Q，若QPQF2，则该双曲线的离心率是【分析】求出过点F1且斜率为的直线方程，求出A，B坐标，得到中点坐标，然后利用|F2A|F2B|，利用余弦定理列出关系式求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线C：的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为的直线为：y（x+c），QPQF2，|PF1|2a，|PF2|4a，|F1F2|2c，PF1F2，可得：16a24a2+4c222a2ccos，解得2ba，所以e2e30，e1，可得e故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用没看出转化思想以及计算能力数形结合的应用三.解答题：本大题共6小题，共
24、70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）小明某天偶然发现班上男同学比女同学更喜欢做几何题，为了验证这一现象是否具有普遍性，他决定在学校开展调查研究：他在全校3000名同学中随机抽取了50名，给这50名同学同等难度的几何题和代数题各一道，让同学们自由选择其中一道题作答，选题人数如表所示：几何题代数题合计男同学22830女同学81220合计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关？（2）用以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校所有女生（该校女生超过1200人）中随机选5名女生，记5名女生选做几何题的人数为X，求X的数学期望E（X）
25、和方差D（X）附表：P（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879，其中na+b+c+d【分析】（1）由列联表计算k2，结合对应概率表格可判断有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关；（2）由列联表中女生选做几何题的频率作为概率，结合二项分布公式可计算X的数学期望E（X）和方差D（X）【解答】解：（1）由列联表知：故有97.5%的把握认为选代数题还是几何题与性别有关；（2）从该校所有女生（该校女生超过1200人）中随机选5名女生，记5名女生选做几何题的人数为X，已知用以上列联表中女生选做几何题的频率
26、作为概率，由表知20位女生选几何题的频率为：，且满足二项分布，故，；【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了二项分布，计算能力的应用问题，是中档题目18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，ABAP1，F，E分别是PB，PC中点（1）证明：PBED（2）求平面ADEF与平面PCD所成锐二面角的值【分析】（1）只需证明PB平面ADEF，即可得到PBED（2）以分别以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建系，求得设平面ADEF的一个法向量，平面PCD的一个法向量即可【解答】解：（1）PA平面ABCD，PAAD又ADAB，ADPAA，AD平面PAD，AD
27、PB，而等腰三角形PAB中有PBAF，且AFADAPB平面ADEF而ED平面ADEF，PBED（2）易知AB，AD，AP两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）设平面ADEF的一个法向量为，同理可得平面PCD的一个法向量平面ADEF与平面PCD所成锐二面角为60【点评】本题考查了空间直线垂直的证明、二面角的求解，属于中档题19（12分）已知F是抛物线C：y22px（p0）的焦点，P（1，t）是抛物线上一点，且|PF|2（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于A，B两点，若4（O为坐标原点），则直
28、线l是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由【分析】（1）利用抛物线的定义求出p，得到抛物线方程（2）设AB的方程为：xmy+n，代入y24x有y24my4n0，设A（x1，y1），B（x2，y2），通过韦达定理以及向量的数量积，转化求解直线系方程，推出直线恒过点【解答】解：（1）由抛物线的定义知|PF|1+2，p2，抛物线C的方程为：y24x（2）设AB的方程为：xmy+n，代入y24x有y24my4n0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y24n，x1x2，x1x2+y1y2n24n4，n2，AB的方程为：xmy+2，恒过点N（2，0）【点评】本题考查直线与抛物线
29、的位置关系的综合应用，抛物线的方程以及简单性质的应用，考查计算能力20（12分）已知函数f（x）ex（x2x1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：ex1（x2x1）1【分析】（1）求出原函数的导函数，解得导函数的零点，再由导函数在不同区间内的符号确定原函数的单调区间；（2）把证明ex1（x2x1）1转化为证明ex（x2x1）e结合（1）求函数f（x）的最小值即可证得答案【解答】（1）解：f（x）ex（x2x1），xRf（x）ex（x1）（x+2），当x（，2）（1，+）时，f（x）0，当x（2，1）时，f（x）0函数f（x）在（，2），（1，+）上单调递增，在（2，1）上单调递减（2
30、）证明：ex1（x2x1）1ex（x2x1）e由（1）知f（x）在（，2），（1，+）上单调递增，在（2，1）上单调递减，且x时，f（x）0+，且x+时，f（x）+，f（x）在x1时取得最小值f（1）e，即ex（x2x1）e，故ex1（x2x1）1【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题21（12分）已知椭圆E：的左焦点F1，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且|PF1|的最小值为（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过椭圆的左焦点F1，与椭圆交于A、B两点，且OAB的面积为，求直线l的方程【分析】（1）利用离心率为，以及|PF1|的最小值为解得a，b然后求解椭圆方
31、程（2）设AB的方程为：xmy1，代入利用韦达定理以及弦长公式，结合O到AB的距离求解三角形的面积，推出m，得到直线方程【解答】解：（1）椭圆E：的左焦点F1，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且|PF1|的最小值为可得，解得a2，c1，则b1，椭圆E的方程：；（2）因F1（1，0），AB与x轴不重合，故设AB的方程为：xmy1，代入得：（m2+2）y22my10，其0恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，又O到AB的距离，解得m1，l的方程为：x+y+10或xy+10【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线方程的求法，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知函数f（
32、x）lnx+ax2，（1）若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）ax2+2axex+e2a在x（1，+）上恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，关键是要分类讨论，根据函数的单调性，可得只需，解得：，（2）恒成立问题通常的方法就是等价转化f（x）ax2+2axex+e2a在x（1，+）上恒成立g（x）f（x）（ax2+2axex+e2e）lnx+ex2ax+2ae0（x1）恒成立利用导数将a分为a0和a0讨论g（x）lnx+ex2ax+2ae（x1）的最小值当a0，g（x）0恒成立，g（x）在（1，+）上递增，g（x）g（1）0，符合题意
33、当a0时，若g（1）e+12a0，即时，g（x）0恒成立，求二阶导数分析处理隐零点问题，确定即时，不满足g（x）0恒成立，因此得到最后结果a的范围是：【解答】解：（1）当a0时，f（x）0恒成立，故f（x）在（0，+）上递增，f（x）最多一个零点，不合题意当a0时，f（x）在上递增，在上递减，且x0+时，f（x），x+时，f（x）故要f（x）有两个零点，只需，解得：，综合、可知，a的范围是：（2）令g（x）f（x）（ax2+2axex+e2e）lnx+ex2ax+2ae（x1），当a0，g（x）0恒成立，g（x）在（1，+）上递增，g（x）g（1）0，符合题意；当a0时，在（1，+）上递增，g（x）g（1）e10g（x）在（1，+）上递增，又g（1）e+12a，若g（1）e+12a0，即时，g（x）0恒成立，同，符合题意，若g（1）e+12a0，即时，存在x0（1，+），使g（x）0，1xx0时，g（x）0，xx0时，g（x）0，g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+）上递增，而g（1）0，故不满足g（x）0恒成立，综上所述，a的范围是：【点评】本题是导数的综合应用题，利用了等价转化和分类讨论的数学思想，利用导数判断函数单调性确定最值，以及二阶求导隐零点问题是常见的导数综合题同学们做题后要多反思总结，领悟升华成自己的思维