1、2018-2019学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数zi+i2+i3+i4的值是（）A1B0C1Di2（5分）双曲线1的渐近线方程是（）AyxByxCyxDyx3（5分）若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E（X）（）A2B2或CD14（5分）设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应（）A从东边上山B从西边上山C从南边上山D从北边上山5（5分）二项式展开式中常数项是（）A第10项B第9项C第8项D第
2、7项6（5分）若390角的终边上有一点P（a，3），则a的值是（）A3BC3D7（5分）分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A种BA33A31种CC41C31种DC42A33种8（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）2x+2x+b（b为常数），则f（1）（）A3B1C1D39（5分）已知直线l：xym0经过抛物线C：y22px（p0）的焦点，l与C交于 A、B两点若|AB|6，则p的值为（）ABC1D210（5分）已知P是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为
3、1，则P到这个四面体各面的距离之和为（）ABCD11（5分）已知向量（1，x1），（y，2），其中x0，y0若，则xy的最大值为（）A1B2CD1/212（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量（3，2，5），（1，5，1），则 14（5分）在数列an中，若a11，an+1an+2（n1），则该数列的通项an 15（5分）已知e为自然对数的底数，曲
4、线yaex+x在点（1，ae+1）处的切线与直线2exy10平行，则实数a 16（5分）F是双曲线：x21的右焦点，的右支上一点P到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q满足，则 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必需作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）甲，乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击中目标得l分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下：甲6699乙7977（1）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（2）从甲，乙两人的4局比赛中随
5、机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinBbcosC，a2c22b2（）求C的大小；（）若ABC的面积为21，求b的值19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，PDAB，E为PC的中点（1）求证：DE平面PCB；（2）求二面角EBDP的余弦值20（12分）已知点F为抛物线E：y22px（p0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|3，（）求抛物线E的方程；（）已知点G（1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直
6、线GB相切21（12分）设函数f（x）x2+bln（x+1），其中b0（1）若b12，求f（x）在1，3的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）已知z15+10i，z234i，+，求z23用数学归纳法证明：+（nN*）2018-2019学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数zi+i2+i3+i4的值是（）A1B0C1Di
7、【分析】把复数zi+i2+i3+i4 看成是一个等比数列的前4项的和，利用等比数列的前n 项和公式进行运算【解答】解：复数zi+i2+i3+i40，故选：B【点评】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及i的幂运算性质的应用2（5分）双曲线1的渐近线方程是（）AyxByxCyxDyx【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即故选：C【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，双曲线的基本性质的应用，考查计算能力3（5分）若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E（X）（）A2B2或CD1【分析】由离散型随机变量X的分布列，列出方程组，能求
8、出实数a，由此能求出X的数学期望【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，知：，解得a1，X的数学期望E（X）故选：C【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量X的分布列等基础知识，是基础题4（5分）设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应（）A从东边上山B从西边上山C从南边上山D从北边上山【分析】分别计算从不同的方位上山的种数，再比较即可【解答】解：东边上山的种数为：2（3+3+4）20，西边上山的种数为：3（2+3+4）27南边上山的种数为：3（2+3+4）27北边上山的种数为：4（2+3+3）32，故只从一
9、面上山，而从任意一面下山的走法最多的为从北边上山，故选：D【点评】本题主要考查了分步计数原理，属于基础题5（5分）二项式展开式中常数项是（）A第10项B第9项C第8项D第7项【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出r的值代入通项，求出展开式的常数项【解答】解：展开式的通项公式为令得r8展开式中常数项是第9项故选：B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题6（5分）若390角的终边上有一点P（a，3），则a的值是（）A3BC3D【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出a的值【解答】解：若390角的终边上有一点P（a，3），则 tan390ta
10、n30，a3，故选：A【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题7（5分）分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A种BA33A31种CC41C31种DC42A33种【分析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，先从4名水暖工中抽取2人，再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去
11、检查；则必有2名水暖工去同一居民家检查，即要先从4名水暖工中抽取2人，有C42种方法，再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有A33种情况，由分步计数原理，可得共C42A33种不同分配方案，故选：D【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题8（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）2x+2x+b（b为常数），则f（1）（）A3B1C1D3【分析】据函数为奇函数知f（0）0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（1）【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以
12、f（0）20+20+b0，解得b1，所以当x0时，f（x）2x+2x1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（1）f（1）（21+211）3，故选：D【点评】解决奇函数的问题，常利用函数若在x0处有意义，其函数值为0找关系9（5分）已知直线l：xym0经过抛物线C：y22px（p0）的焦点，l与C交于 A、B两点若|AB|6，则p的值为（）ABC1D2【分析】联立方程组，可得x2（2m+2p）x+m20，依题意，0m0，解得：m；又|AB|（x1+）+（x2+）x1+x2+p2m+3p6，从而可得p的值【解答】解：由得：x2（2m+2p）x+m20，设A（x1，y1），B（x2，y2），
13、则x1+x22m+2p；又直线l：xym0经过抛物线C：y22px（p0）的焦点（，0），0m0，解得：m又|AB|（x1+）+（x2+）x1+x2+p2m+3p4p6，p故选：B【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查抛物线的定义及其应用，求得m及|AB|x1+x2+p6是关键，属于中档题10（5分）已知P是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为1，则P到这个四面体各面的距离之和为（）ABCD【分析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离【解答】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为a，b，c，d，由于棱长为1的正四面体，四个面的
14、面积都是11sin60；又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的，又高为1sin60，所以底面中心到底面顶点的距离都是；由此知顶点到底面的距离是；此正四面体的体积是所以：（a+b+c+d），解得a+b+c+d故选：A【点评】本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力11（5分）已知向量（1，x1），（y，2），其中x0，y0若，则xy的最大值为（）A1B2CD1/2【分析】根据题意，由数量积的的性质以及坐标计算公式可得y+2（x1）0，变形可得2x+y2，进而结合基本不等式的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，向量（1，x1），（y，2
15、），若，则有y+2（x1）0，变形可得2x+y2，则xy（2xy）（）2，当且仅当2xy1时，等号成立，故选：D【点评】本题考查数量积的坐标计算，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题12（5分）设函数f（x）是奇函数f（x）（xR）的导函数，f（1）0，当x0时，xf（x）f（x）0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A（，1）（0，1）B（1，0）（1，+）C（，1）（1，0）D（0，1）（1，+）【分析】由已知当x0时总有xf（x）f（x）0成立，可判断函数g（x）为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，
16、+）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）0等价于xg（x）0，数形结合解不等式组即可【解答】解：设g（x），则g（x）的导数为：g（x），当x0时总有xf（x）f（x）成立，即当x0时，g（x）恒小于0，当x0时，函数g（x）为减函数，又g（x）g（x），函数g（x）为定义域上的偶函数又g（1）0，函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）0xg（x）0或，0x1或x1故选：A【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知向量（3，2，5），（1，5
17、，1），则2【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可【解答】解：向量（3，2，5），（1，5，1），则31+25+5（1）2故答案为：2【点评】本题考查了空间向量的数量积运算问题，是基础题14（5分）在数列an中，若a11，an+1an+2（n1），则该数列的通项an2n1【分析】利用等差数列的定义判断出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项【解答】解：由an+1an+2（n1）可得数列an为公差为2的等差数列，又a11，所以an2n1故答案为2n1【点评】本题考查等差数列的定义、等差数列的通项公式15（5分）已知e为自然对数的底数，曲线yaex+x在点（1，ae+1）处的切线与
18、直线2exy10平行，则实数a【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a【解答】解：yaex+x的导数为yaex+1，可得曲线yaex+x在点（1，ae+1）处的切线斜率为ae+1，由切线与直线2exy10平行，可得ae+12e，解得a故答案为：【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基本知识的考查16（5分）F是双曲线：x21的右焦点，的右支上一点P到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q满足，则4【分析】设P（m，n），m0，代入双曲线方程，再由点到直线的距离公式，解方程可得P的坐标，再
19、设Q的坐标，由三点共线斜率相等，可得Q的坐标，再由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求【解答】解：设P（m，n），m0，则m21，双曲线的渐近线方程为y2x，设P到直线y2x的距离为2，即有2，由于P在直线的下方，则2mn2，解得m，n，即P（，），设Q（s，2s），由F（，0），由于F，P，Q共线，可得则kFPkFQ，即为，解得s，即有Q（，），（，），（，），由于，则4故答案为：4【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，同时考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考
20、生都必需作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）甲，乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击中目标得l分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下：甲6699乙7977（1）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（2）从甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望【分析】（1）求出基本事件总数n6，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数m2由此能求出这2局的得分恰好相等的概率p（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布
21、列和数学期望【解答】解：（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局，基本事件总数n6，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数m2这2局的得分恰好相等的概率p（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，则X的可能取值为13，15，16，18，P（X13），P（X15），P（X16），P（X18），X的分布列为：X13151618PX的数学期望为E（X）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，是中档题18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinBbcosC，a2c22b2（）
22、求C的大小；（）若ABC的面积为21，求b的值【分析】（）由已知及正弦定理可得，sinCsinBsinBcosC，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanC，即可得解C的值（） 由（）利用余弦定理可求a2+b2c2ab，又a2c22b2，可得a3b，利用三角形面积公式即可解得b的值【解答】（本小题满分12分）解：（）由已知及正弦定理可得，sinCsinBsinBcosC，sinB0，tanC，C （5分）（） 由（）可得，cosC，a2+b2c2ab，又a2c22b2，a3b，由题意可知，SABCabsinCb221，b228，可得：b2 （12分）【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面
23、积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，PDAB，E为PC的中点（1）求证：DE平面PCB；（2）求二面角EBDP的余弦值【分析】（1）推导出DEPC，BCCD，BCPD，从而BC平面PCD，进而DEBC，由此能证明DE平面PCB（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EBDP的余弦值【解答】解：（1）证明：在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，PDAB，E为PC的中点，DEPC，BCCD，BCPD，PDCDD，BC平面P
24、CD，DE平面PCD，DEBC，PCBCC，DE平面PCB（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PDAB2，则E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），（2，2，0），（0，1，1），（0，0，2），设平面BDE的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），设平面BDP的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，0），设二面角EBDP的平面角为则cos二面角EBDP的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20
25、（12分）已知点F为抛物线E：y22px（p0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|3，（）求抛物线E的方程；（）已知点G（1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|2+3，解得p即可得出抛物线E的方程（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x25x+20，解得B又G（1，0），计算kGA，kGB，可得kGA+kGB0，AGFBGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解法二：（I）同解法一（I
26、I）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x25x+20，解得B又G（1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|2+3，解得p2抛物线E的方程为y24x；（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，m242，解得m，不妨取A，F（1，0），直线AF的方程：y2（x1），联立，化为2x25x+20，解得x2或，B又G（1，0），kGAkGB，kGA+kGB0，A
27、GFBGF，x轴平分AGB，因此点F到直线GA，GB的距离相等，以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解法二：（I）同解法一（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，m242，解得m，不妨取A，F（1，0），直线AF的方程：y2（x1），联立，化为2x25x+20，解得x2或，B又G（1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：x3y+20，0，点F（1，0）到直线GA的距离d，同理可得点F（1，0）到直线GB的距离因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、
28、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题21（12分）设函数f（x）x2+bln（x+1），其中b0（1）若b12，求f（x）在1，3的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围【分析】（1）当b12时令由得x2则可判断出当x1，2）时，f（x）单调递减；当x（2，3时，f（x）单调递增故f（x）在1，3的最小值在x2时取得（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使在（1，+）有两个不等实根即2x2+2x+b0在（1，+）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得解之求b
29、的范围【解答】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+）b12时，由，得x2（x3舍去），当x1，2）时f（x）0，当x（2，3时，f（x）0，所以当x1，2）时，f（x）单调递减；当x（2，3时，f（x）单调递增，所以f（x）minf（2）412ln3（2）由题意在（1，+）有两个不等实根，即2x2+2x+b0在（1，+）有两个不等实根，设g（x）2x2+2x+b，则，解之得【点评】本题第一问较基础只需判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值而第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即在（1，+）有两个不等实根
30、即2x2+2x+b0在（1，+）有两个不等实根此时可利用一元二次函数根的分布进行求解（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22（10分）已知z15+10i，z234i，+，求z【分析】把z1，z2代入+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z【解答】解：由z15+10i，z234i，得+，【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题23用数学归纳法证明：+（nN*）【分析】利用数学归纳法的证明标准，验证n1时成立，假设nk是成立，证明nk+1时等式也成立即可【解答】证明：（1）当n1时，左边，右边，等式成立（2）假设当nk时，等式成立，即+，那么，当nk+1时，左边+，这就是说，当nk+1时等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何nN*都成立【点评】本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设