1、2019-2020学年四川省南充高中高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设Px|x4，Qx|x24，则（）APQBQPCPRQDQRP2（5分）直线x+y10的倾斜角是（）A30B60C120D1503（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单的随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样4（5分
2、）若xR，则“x1”是“|x|1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5（5分）按照程序框图（如图）执行，第4个输出的数是（）A5B6C7D86（5分）函数f（x）xsinx的图象大致是（）ABCD7（5分）已知，是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（）存在一条直线m，m，m；存在一个平面，；存在两条平行直线m，n，m，n，m，n；存在两条异面直线m，n，m，n，m，nABCD8（5分）已知平面向量，与垂直，则实数的值为（）A1B1C2D29（5分）如图，在直二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知
3、AB4，AC6，BD8，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）ABCD10（5分）如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，则椭圆的离心率为（）ABCD11（5分）已知函数f（x）x3+3x（xR），若不等式f（2m+mt2）+f（4t）0对任意实数t1恒成立，则实数m的取值范围是（）ABCD12（5分）已知等比数列an满足a2a52a3，且a4，2a7成等差数列，则a1a2an的最大值为（）A1022B1023C1024D1025二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知等差数列an的通项公式an32n，则它
4、的公差d为 14（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2b2ac，则角B的值是 15（5分）在区间（15，25内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17a20的概率是 16（5分）若对圆（x1）2+（y1）21上任意一点P（x，y），|3x4y+a|+|3x4y9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知命题p：方程x22mx+7m100无解，命题q：x4，+），xm0恒成立，若pq是真命题，且pq也是真命题，求m的取值范围18（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（1，
5、5）、B（2，1）、C（4，3），M是BC边上的中点（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长；（3）求AB边的高所在直线方程19（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的（）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2
6、327表中的数据显示，与y之间存在线性相关关系，请将（）的结果填入空白栏，并计算y关于的回归方程回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，20（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，ABC60，AB2CB2在梯形ACEF中，EFAC，且AC2EF，CE，EC平面ABCD（）求证：BCAF（）求四棱锥DACFE与三棱锥ABCF体积的比值21（12分）已知圆C：（xa）2+（y2）24（a0）及直线l：xy+30当直线l被圆C截得的弦长为时，求（）a的值；（）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程22（12分）已知椭圆：经过点M（2，1），且右焦点（）求椭圆的标准方
7、程；（）过N（1，0）的直线AB交椭圆于A，B两点，记，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1+t2的值2019-2020学年四川省南充高中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设Px|x4，Qx|x24，则（）APQBQPCPRQDQRP【分析】此题只要求出x24的解集x|2x2，画数轴即可求出【解答】解：Px|x4，Qx|x24x|2x2，如图所示，可知QP，故选：B【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题2（
8、5分）直线x+y10的倾斜角是（）A30B60C120D150【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可【解答】解：因为直线x+y10的斜率为：，直线的倾斜角为：所以tan，120故选：C【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用3（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A简单的随机抽样B按性别分层抽样C按学段分层抽样D系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样【解答
9、】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理故选：C【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题4（5分）若xR，则“x1”是“|x|1”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由|x|1，解得x1，故“x1”是“|x|1”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5（
10、5分）按照程序框图（如图）执行，第4个输出的数是（）A5B6C7D8【分析】根据流程图可知第一次输出的A1，则S1+12，满足条件S5，然后A1+23，依此类推，当不满足条件S5，然后退出循环，求出所求即可【解答】解：第一次输出的A1，则S1+12，满足条件S5，然后A1+23第二次输出的A3，则S2+13，满足条件S5，然后A3+25第三次输出的A5，则S3+14，满足条件S5，然后A5+27第四次输出的A7，则S4+15，满足条件S5，然后A7+29第五次输出的A9，则S5+16，不满足条件S5，然后退出循环故第4个输出的数是7故选：C【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形
11、式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断属于基础题6（5分）函数f（x）xsinx的图象大致是（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可【解答】解：函数f（x）xsinx满足f（x）xsin（x）xsinxf（x），函数的偶函数，排除B、C，因为x（，2）时，sinx0，此时f（x）0，所以排除D，故选：A【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力7（5分）已知，是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（）存在一条直线m，m，m；存在一个平面，；存在两条平行直线m，n，m，n，
12、m，n；存在两条异面直线m，n，m，n，m，nABCD【分析】利用线面垂直的性质判断，根据几何体模型判断，举反例判断，反证法判断【解答】解：对于，由“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”可知正确；对于，以直三棱柱为例，直三棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但两个侧面不平行，故不正确；对于，若l，且ml，nl，显然符合条件，但平面，不平行，故不正确；对于，假设与相交，交线为l，m，l，则ml，同理可得nl，故mn，与m，n为异面直线矛盾，故假设错误，故正确故选：C【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题8（5分）已知平面向量，与垂直，则实数的值为（）A1B1C2D2【分析】先求出（）的
13、坐标，由题意可得 （）+4+9+60，解方程求得 的值【解答】解：（）（+4，32），由题意可得 （）（+4，32）（1，3）+4+9+60，1，故选A【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，得到 +4+9+60，是解题的难点9（5分）如图，在直二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB4，AC6，BD8，则直线AB与CD所成角的余弦值为（）ABCD【分析】建立空间坐标系，求出两条异面直线的方向向量，代入夹角公式，可得答案【解答】解：以A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（4
14、，0，0），C（0，0，6），D（4，8，0），故（4，0，0），（4，8，6），故直线AB与CD所成角的余弦值为，故选：A【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，异面直线及其所成的角，难度不大，属于基础题10（5分）如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c，可得M（c，b），利用勾股定理与椭圆的定义建立关于a、b、c的等式，化简整理得ba，从而得出ca，即可算出该椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b
15、、c，可得焦点为F1（c，0）、F2（c，0），点M的坐标为（c，b），RtMF1F2中，F1F2MF2，|F1F2|2+|MF2|2|MF1|2，即4c2+b2|MF1|2，根据椭圆的定义得|MF1|+|MF2|2a，可得|MF1|2（2a|MF2|）2（2ab）2，（2ab）24c2+b2，整理得4c24a2ab，可得3（a2c2）2ab，所以3b22ab，解得ba，ca，因此可得e，即该椭圆的离心率等于故选：A【点评】本题已知椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的大小，着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，考查了勾股定理的应用，属于中档题11（5分）已知函数f（x）x3+3x（x
16、R），若不等式f（2m+mt2）+f（4t）0对任意实数t1恒成立，则实数m的取值范围是（）ABCD【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为m对任意实数t1恒成立，由基本不等式的性质分析可得有最小值，进而分析可得m的取值范围【解答】解：根据题意，函数f（x）x3+3x，其定义域为R，关于原点对称，有f（x）（x3+3x）f（x），则f（x）为奇函数，又由f（x）3x2+30，则f（x）为增函数，若不等式f（2m+mt2）+f（4t）0对任意实数t1恒成立，则f（2m+mt2）f（4t），即2m+mt24t对任意实数t1恒成立，2m+mt24tm，即m，又
17、由t1，则t+2，则有最小值，若m对任意实数t1恒成立，必有m；即m的取值范围为（，）；故选：D【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析判断函数f（x）x3+3x的奇偶性与单调性12（5分）已知等比数列an满足a2a52a3，且a4，2a7成等差数列，则a1a2an的最大值为（）A1022B1023C1024D1025【分析】等比数列an的公比设为q，运用等比数列的性质和通项公式，求得公比和通项公式，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值【解答】解：等比数列an的公比设为q，由a2a52a3，可得a3a42a3，即a42，由a4，2a7成
18、等差数列，可得a4+2a7，解得a7，q3，即q，则an2（）n425n，a1a2an24+3+（5n）2，由n（9n）（n）2+，当n4或5时，a1a2an取得最大值2101024故选：C【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式，考查二次函数的最值求法，以及化简运算能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为2【分析】由题意可得公差dan+1an，代入已知式子化简可得【解答】解：等差数列an的通项公式为an32n，公差dan+1an32（n+1）（32n）2故答案为：2【点评】本题考查等差数列的
19、通项公式，属基础题14（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2b2ac，则角B的值是【分析】直接利用余弦定理求出B的余弦值，推出B的值即可【解答】解：在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2b2ac，由余弦定理可知cosB，因为B是三角形内角，所以B故答案为：【点评】本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查15（5分）在区间（15，25内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17a20的概率是【分析】根据题意，利用长度之比求出即可【解答】解：在区间（15，25内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17a20的概率是：P，故答案
20、为：【点评】何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P求解，本题用了长度之比，基础题16（5分）若对圆（x1）2+（y1）21上任意一点P（x，y），|3x4y+a|+|3x4y9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是a6【分析】由题意可得故|3x4y+a|+|3x4y9|可以看作点P到直线m：3x4y+a0与直线l：3x4y90距离之和的5倍，进一步分析说明圆位于两直线内部，再由点到直线的距
21、离公式求解直线3x4y+a0与圆相切时的a值，则答案可求【解答】解：设z|3x4y+a|+|3x4y9|5（+），故|3x4y+a|+|3x4y9|可以看作点P（x，y）到直线m：3x4y+a0与直线l：3x4y90距离之和的5倍，|3x4y+a|+|3x4y9|的取值与x，y无关，这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示：可知直线m平移时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，即此时圆在两直线内部，当直线m与圆相切时，化简得|a1|5，解得a6或a4（舍去），a6故答案为：a6【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，属于难题三、解答题：共
22、70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知命题p：方程x22mx+7m100无解，命题q：x4，+），xm0恒成立，若pq是真命题，且pq也是真命题，求m的取值范围【分析】利用复合函数及其真假求解即可【解答】解：当p为真时，有：（2m）24（7m10）0，解得：2m5；当命题q为真时，有：mx，对x4，+）恒成立，即m4，由pq是真命题，且pq也是真命题得：p与q都是真命题；即2m4，综上，所求m的取值范围是（2，4【点评】本题考查了复合命题及其真假18（12分）已知三角形ABC的顶点坐标为A（1，5）、B（2，1）、C（4，3），M是BC边上的中点（1）求AB边所在的
23、直线方程；（2）求中线AM的长；（3）求AB边的高所在直线方程【分析】（1）由题意可得直线AB的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得；（2）由中点坐标公式可得BC的中点M（1，1），代入距离公式可得；（3）由（1）可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为，可得点斜式方程，化为一般式可得【解答】解：（1）由题意可得直线AB的斜率k6，故直线的方程为：y56（x+1），化为一般式可得：6xy+110（2）由中点坐标公式可得BC的中点M（1，1），故AM（3）由（1）可知AB的斜率为6，故AB边上的高所在直线斜率为，故方程为y3（x4），化为一般式可得x+6y220【点评】本题考查直线的一般
24、式方程，涉及两点间的距离公式，属基础题19（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的（）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x（单位：万元）12345销售收益y（单位：万元）2327表中的数据显示，与y之间存在线性相关关系，请将（）的结果填入空白栏，并计算y关于的回归方程
25、回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【分析】（）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论；（）利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（）利用公式求出b，a，即可计算y关于x的回归方程【解答】解：（） 设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m1，m2；（4分）（） 由（）可知个小组依次是0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12），其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为
26、10.16+30.20+50.28+70.24+90.08+110.045；（8分）（） 空白栏中填5由题意可知，3，3.8，xiyi69，xi255，b1.2，3.81.230.2，y关于x的回归方程为y1.2x+0.2（12分）【点评】本题考查频率分布直方图，考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，本题是一个中档题20（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，ABC60，AB2CB2在梯形ACEF中，EFAC，且AC2EF，CE，EC平面ABCD（）求证：BCAF（）求四棱锥DACFE与三棱锥AB
27、CF体积的比值【分析】（）在ABC中，由已知结合余弦定理求解AC，再由勾股定理得到BCAC由EC平面ABCD，得ECBC，再由线面垂直的判定可得BC平面ACEF，进一步得到BCAF；（）由（）知CAB30，结合四边形ABCD为等腰梯形，且ABC60，得到CADACD30，求得点D到平面ACEF距离为，分别求出四棱锥DACFE与三棱锥ABCF的体积，则答案可求【解答】（）证明：在ABC中，由ABC60，AB2CB2，得AC2AB2+BC22ABBCcos603，AC2AB2+BC2，由勾股定理知ACB90，故BCAC又EC平面ABCD，BC平面ABCD，ECBC，而ECACC，BC平面ACEF，
28、又AF平面ACEF，BCAF；（）解：由（）知：在RtABC中，CAB30，又四边形ABCD为等腰梯形，且ABC60，CADACD30，故结合（）知：点D到平面ACEF距离为，则又，VDACEF：VABCF3：4，综上所述：四棱锥DACFE与三棱锥ABCF体积比值是3：4【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题21（12分）已知圆C：（xa）2+（y2）24（a0）及直线l：xy+30当直线l被圆C截得的弦长为时，求（）a的值；（）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程【分析】（）根据圆的方程找出圆
29、心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（）把（）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关于k的方程，求出方程的解即可
30、得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程综上，得到所有满足题意的切线的方程【解答】解：（）依题意可得圆心C（a，2），半径r2，则圆心到直线l：xy+30的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|2，解得a1或a3，又a0，所以a1；（）由（1）知圆C：（x1）2+（y2）24，圆心坐标为（1，2），圆的半径r2由（3，5）到圆心的距离为r2，得到（3，5）在圆外，当切线方程的斜率存在时，设方程为y5k（x3）由圆心到切线的距离dr2，化简得：12k5，可解得，切线方程为5x12y+450；当过（3，5）斜率不存在直线方程为x3与圆相切由可知切线方程为5x12y+450或x
31、3【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题22（12分）已知椭圆：经过点M（2，1），且右焦点（）求椭圆的标准方程；（）过N（1，0）的直线AB交椭圆于A，B两点，记，若t的最大值和最小值分别为t1，t2，求t1+t2的值【分析】（）列方程组求解出a2，b2即可；（）对k讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立t的恒成立方程进行求解【解答】解：（）由题意可知，解之得a26，b23，故椭圆的标准方程为（）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），由得x2+2k2（x1）26，即（1+2k2）x24k2x+2k260，因为（1，0）在椭圆内部，0，所以，则（y21）x1x2+2（x1+x2）+4+（kx1k1）（kx1k1）+k2+2k+5+k2+2k+5，所以（152t）k2+2k1t0kR，则22+4（152t）（1+t）0，（2t15）（t+1）10，即2t213t160，又t1，t2是2t213t160的两根，当直线AB斜率不存在时，联立得y，不妨设，可知综上所述，【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题目