1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题3 反证法法专题【方法简介】反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好
2、的效果。【真题演练】1.如果两个实数之和为正数，则这两个数().A一个是正数，一个是负数；B两个都是正数；C至少有一个正数；D两个都是负数 【答案】C 【解析】假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.2. （ 河北省，10，3分）如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，将弧于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是（ ）ABH垂直分分线段ADBAC平分BAD CSABC=BCAHDAB=AD【答案】A【解答】解：如图，连接C
3、D、BD，由步骤一可知CD=CA，由步骤二可知BD=BA，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知点C和点B都在线段AD的垂直平分线上，故直线BH是线段AD的垂直平分线，故选项A正确；若AC平分BAD，则BAC=CAH. 直线BH是线段AD的垂直平分线，AHC=90，ACH=90CAH=90BAC.ACH是ABC的外角，ABC=ACHBAC=90BACBAC=902BAC.但已知中没有“ABC=902BAC” 这一条件，故“AC平分BAD”不一定成立，选项B不正确；SABC=BCAH，故选项C不正确；当AB=AD时，AB=AD=BD，此时ABD是等边三角形，ABC=ABD=60=30，但已知中
4、没有“ABC=30”这一条件，故“AB=AD”不一定成立，选项D不正确3. 若，则关于的方程的解是唯一的【解析】因为，则是的一个解，假设的解不是唯一的，不妨设、都是的解，这里，则 得由于，所以，则，这与矛盾故若，则的方程的解是唯一的4. 如图所示，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形请你至少写出两种不同的添加方法（不另外添加辅助线，无需证明）【解析】（1）DEAB，DFAC，DEB=DFC=90AB=AC，B=C又DB=DC，DEBDFCDE=DF（2）A=90，四边形AFDE是平行四
5、边形等（方法很多，如B=45或BC=AB或DEDF或F为F为AC中点或DFAB等）【名词释义】反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法1若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的这叫归谬反证法2若结论的反面不只一种
6、情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法【典例示例】例题1：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.【证明】假设弦AB、CD被P平分，由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有OPAB，OPCD，即过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾，即假设不成立所以，弦AB、CD不被P平分。例题2：已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN（ADBC）。求证：ADBC 证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP
7、、PN。在ABD中BMMA，BPPDMPAD，同理可证PNBC从而MPPN（ADBC）这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MNAD，MNBC，得ADBC与假设ADBC矛盾于是M、P、N三点不共线。从而MPPNMN由、得（ADBC）MN，这与已知条件MN（ADBC）相矛盾，故假设ADBC不成立，所以ADBC。【归纳总结】反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用。要证明不等式AB，先假设AB，然后根据题设及不等式的性质，推出矛
8、盾，从而否定假设。要证明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效。【强化巩固】1. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A两个内角是直角 B有三个内角是直角 C至少有两个内角是直角D没有一个内角是直角 【答案】C 【解析】 “最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.2. (浙江宁波，10，4分)能说明命题“对于任何实数 a，”是假命题的一个反例可以是( )A. a = - 2 B. C. a = 1 D.【答案】A【解析】把a = -2代入，得，
9、结论不成立，选项A正确；把代入，得，结论成立，选项B不正确；把代入，得，结论成立，选项C不正确；把代入，得，结论成立，选项D不正确，故选择A .3. （ 四川省内江市，9，3分）下列命题中，真命题是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】C.【详细解答】解：A. 对角线相等的四边形不一定是矩形，有可能是等腰梯形，故该选项错误； B. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，有可能是任意四边形或正方形，故该选项错误； C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确； D
10、. 对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，有可能是菱形，故该选项错误. 故选择C .4. 求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等5. 求证：两条相交直线有且只有一个交点【证明】假设结论不成立，即有两种可能：无交点；不只有一个交点(1)若直线a，b无交点，那么ab或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这
11、与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾故假设不成立，原命题正确6. 在同一平面内，两条直线都和直线垂直。求证：与平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线与相交”。不妨设直线的交点为,与的交点分别为,如图所示，则.这样，的内角和 这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾。说明假设不成立。所以，直线与不相交，即与平行。7. 已知在四边形和中，且，证明：这两个四边形都是平行四边形【解析】显然，若则结论成立否则，不妨设，如图，在线段上截取，连结；则四边形是平行四边形，同样，在线段上截取，则是平行四边形，那么，矛盾!即两个四边形均是平行四边形8. 如图所示，菱形ABCD的边长为24cm，A=60，质点P从点
12、A出发沿线路AB-BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿线路DC-CB-BA作匀速运动（1）求BD的长；（2）质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s经过12s后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定AMN是哪一类三角形，并说明理由（3）设题（2）中的质点P，Q分别从M，N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为acm/s经过3s后，P、Q分别到达E、F两点，若BEF与题（2）中的AMN相似，试求a的值【解析】（1）菱形ABCD中，AB=AD，A=60， ABD是等边三角形BD=24cm（2）AMN是直角三角形，确定理由如下：12s后，点P走过的路程为4
13、12=48（cm），AB+BD=48（cm），点M与点D重合点Q走过的路程为512=60（cm）DC+CB+AB=60（cm），点N是AB的中点连结MN，AM=MB，AN=BN，MNABAMN是直角三角形（3）点P从M点返回3秒走过的路程为43=12（cm）BD=12cm，点E是BD的中点点Q从N点返回3s走过的路程为3acmBEF与题（2）中的RtAMN相似，又EBF=A=60，若BFE=ANM=60a：当点F在BN上时，BF=BN-FN=12-3a（证法1）：BEFAMN，解得a=2（证法2）：在RtBEF中，BEF=30，BF=BE12-3a=12解得a=2b：当点F在BC上时，BF=3a-BN=3a-12（证法1）：BEFAMN，解得a=6（证法2）在RtBEF中，BEF=30，BF=BE3a-12=12解得a=6若BEF=ANM=90，即点F与点C重合，此时3a=BN+BC=36a=12综上所述，a=2或6或129