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中考数学复习专题05 几何变换法题研究(解析版)

1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题5 几何变换法专题【方法简介】几何变换(geometric transformation)是指从具有几何结构之集合至其自身或其他此类集合的一种对射。几何变换是一种数学解题的方法思路。在几何的解题中,当题目给出的条件显得不够或者不明显时,我们可以将图形作一定的变换,这样将有利于发现问题的隐含条件,使问题得以突破。在几何题或代数几何综合题的解证过程中,经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发,利用几何变换,可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置,构成一个新的关系,从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小,而只是它的位置发

2、生了变化,这种移动有利于找出图形之间的关系,从而使解题更为简捷。移动图形一般有三种方法:(1)平移法;(2)旋转法:利用旋转变换;(3)对称:可利用中心对称和轴对称。【真题演练】1. ( 山东青岛,3,3分)下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】B【解答】解:A、B中的图形是中心对称图形,B、C中的图形是轴对称图形,D中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形,所以B中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形,故选择B.2. 新疆建设兵团,5,5分)如图所示,将一个含30角的直角三角板ABC绕点A旋转,使得点B,A,C在同一条直线上,则三角板ABC旋转

3、的度数是( )A60 B90 C120 D150【答案】D【解答】解:AB边旋转后变为AB,而BAC=180,BAC=BAC=30,BAB=18030=150,即旋转角为150 ,故选择 D.3. (2019,山西,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD=6cm,连接BD,将ABD绕点A逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点E,连接DE,DE交AC于点F,则CF的长为 cm.【解析】过点A作AGDE于点G,由旋转可知:AD=AE,DAE=90,CAE=BAD=15AED=45;在AEF中:AFD=AED+CAE=60在RtAD

4、G中:AG=DG=在RtAFG中:故答案为:4. (2018临沂)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(0360),得到矩形AEFG(1)如图,当点E在BD上时求证:FD=CD;(2)当为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由【解答】解:(1)由旋转可得,AE=AB,AEF=ABC=DAB=90,EF=BC=AD,AEB=ABE,又ABE+EDA=90=AEB+DEF,EDA=DEF,又DE=ED,AEDFDE(SAS),DF=AE,又AE=AB=CD,CD=DF;(2)如图,当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论:当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于M,GC=G

5、B,GHBC,四边形ABHM是矩形,AM=BH=AD=AG,GM垂直平分AD,GD=GA=DA,ADG是等边三角形,DAG=60,旋转角=60;当点G在AD左侧时,同理可得ADG是等边三角形,DAG=60,旋转角=36060=300【名词释义】在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利

6、于对图形本质的认识。几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称。1.平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置,使图形中分散的条件紧密地结合到一起。一般有2种方法:其一是平移已知条件,其二是平移所求问题,把所求问题转化,其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。2.旋转变换 把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角,使分散的条件集中在一起. 3.对称变换 通过作关于某一直线或一点的对称图,把图形中的图形对称到另一个位置上,使分散的条件集中在一起。当出现以下两种情况时,经常考虑用此变换:1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。2.出现了明显的垂线条件时。【典例示例】例题1:(

7、四川省绵阳市,17,3分)如图,点O是边长为的等边ABC的内心,将OBC绕点O逆时针旋转30得到OB1C1,B1C1交BC于点D,B1C1交AC于点E,则DE_【答案】【解答】解:延长BO交AC于点F,设OC1交AC于点G因为点O是等边ABC的内心,所以BOC120,OCB30,BO平分ABC,所以BFAC,AFCFAC,所以BFAF6,BOBF4,OF2由旋转知BOB1C130,B1OC1120,所以FOG30,于是FGO60,C1GE60在RtOFG中,FG,OG2FG又O1COCOB4,所以GC1OC1OG4在C1GE中,C1EG180C1C1GE180306090在RtC1GE中,GE

8、C1GsinC1所以CEFCFGGE在RtCDE中,EDC90ACB906030,所以DECE,故答案为.例题2:(2019湖北省咸宁市3分)如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB4,BC8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于点Q,连接CM下列结论:CQCD;四边形CMPN是菱形;P,A重合时,MN2;PQM的面积S的取值范围是3S5其中正确的是(把正确结论的序号都填上)【解答】解:如图1,PMCN,PMNMNC,MNCPNM,PMNPNM,PMPN,NCNP,PMCN,MPCN,四边形CNPM是平行

9、四边形,CNNP,四边形CNPM是菱形,故正确;CPMN,BCPMCP,MQCD90,CPCP,若CQCD,则RtCMQCMD,DCMQCMBCP30,这个不一定成立,故错误;点P与点A重合时,如图2,设BNx,则ANNC8x,在RtABN中,AB2+BN2AN2,即42+x2(8x)2,解得x3,CN835,AC,MN2QN2故正确;当MN过点D时,如图3,此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为S,当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为S,4S5,故错误故答案为:【强化巩固】1. (2018黑龙江龙东)(3.00分)下列图形中,既是轴对称图形又是中心

10、对称图形的是()ABCD【答案】C【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确;D、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误故选:C2. (2017山东聊城)如图,将ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B处,此时,点A的对应点A恰好落在BC边的延长线上,下列结论错误的()ABCB=ACABACB=2B CBCA=BACDBC平分BBA【答案】C【解答】解:根据旋转的性质得,BCB和ACA都是旋转角,则BCB=ACA,故A正确,CB=CB,B=BBC,又ACB=B+BB

11、C,ACB=2B,又ACB=ACB,ACB=2B,故B正确;ABC=B,ABC=BBC,BC平分BBA,故D正确;故选C3. (2019湖北省荆门市3分)如图,RtOCB的斜边在y轴上,OC,含30角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限,将RtOCB绕原点顺时针旋转120后得到OCB,则B点的对应点B的坐标是()A(,1)B(1,)C(2,0)D(,0)【答案】A【解答】解:如图,在RtOCB中,BOC30,BCOC1,RtOCB绕原点顺时针旋转120后得到OCB,OCOC,BCBC1,BCOBCO90,点B的坐标为(,1)故选:A4. (2019,山东枣庄,3分)如图,将ABC沿BC边上的

12、中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积9若AA1,则AD等于()A2B3C4D【答案】B【解答】解:SABC16.SAEF9,且AD为BC边的中线,SADESAEF,SABDSABC8,将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC,AEAB,DAEDAB,则()2,即(,解得AD3或AD(舍),故选:B5. (2019广西池河3分)如图,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,1),AC由AB绕点A顺时针旋转90而得,则AC所在直线的解析式是 【答案】y2x4【解答】解:A(2,0),B(0,1)OA2,OB1过点C作CDx轴于点D, 则易知ACDBAO(AAS

13、)ADOB1,CDOA2C(3,2)设直线AC的解析式为ykx+b,将点A,点C坐标代入得直线AC的解析式为y2x4故答案为:y2x46. (2018广西南宁)(8.00分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3)(1)将ABC向下平移5个单位后得到A1B1C1,请画出A1B1C1;(2)将ABC绕原点O逆时针旋转90后得到A2B2C2,请画出A2B2C2;(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状(无须说明理由)【解答】解:(1)如图所示,A1B1C1即为所求:(2)如图所示,A2B2C2即为所求:(3)三角形的形状为等腰直角三角形,

14、OB=OA1=,A1B=,即,所以三角形的形状为等腰直角三角形7. ( 四川省巴中市,26,10分)如图,方格中每个小正方形的边长都是单位1,ABC在平面直角坐标系中的位置如图.(1)画出将ABC向右平移2个单位得到的A1B1C1;(2)画出将ABC绕点O顺时针方向旋转900得到的A2B2C2;(3)求A1B1C1与A2B2C2重合部分的面积.【解答】解:(1)将ABC的顶点A、B、C分别向右平移2个单位得到对应的点A1、B1、C1,连接A1、B1、C1,得到所求作的A1B1C1,如图所示;(2)将ABC的顶点A、B、C分别绕点O顺时针方向旋转900得到对应的点A2、B2、C2,连接A2、B2

15、、C2,得到所求作的A2B2C2,如图所示;(3)由作图可知,B2C2B1C1,A1C1B1C1,B2C2A1C1B2是B1C1的中点,B2F=A1C1=B2EFB1C1 A1:=()=8. (2018自贡)如图,已知AOB=60,在AOB的平分线OM上有一点C,将一个120角的顶点与点C重合,它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E(1)当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1),请猜想OE+OD与OC的数量关系,并说明理由;(2)当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;(3)当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时,上述结

16、论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明【解答】解:(1)OM是AOB的角平分线,AOC=BOC=AOB=30,CDOA,ODC=90,OCD=60,OCE=DCEOCD=60,在RtOCD中,OD=OCcos30=OC,同理:OE=OC,OD+OE=OC;(2)(1)中结论仍然成立,理由:过点C作CFOA于F,CGOB于G,OFC=OGC=90,AOB=60,FCG=120,同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC,OF+OG=OC,CFOA,CGOB,且点C是AOB的平分线OM上一点,CF=CG,DC

17、E=120,FCG=120,DCF=ECG,CFDCGE,DF=EG,OF=OD+DF=OD+EG,OG=OEEG,OF+OG=OD+EG+OEEG=OD+OE,OD+OE=OC;(3)(1)中结论不成立,结论为:OEOD=OC,理由:过点C作CFOA于F,CGOB于G,OFC=OGC=90,AOB=60,FCG=120,同(1)的方法得,OF=OC,OG=OC,OF+OG=OC,CFOA,CGOB,且点C是AOB的平分线OM上一点,CF=CG,DCE=120,FCG=120,DCF=ECG,CFDCGE,DF=EG,OF=DFOD=EGOD,OG=OEEG,OF+OG=EGOD+OEEG=OEOD,OEOD=OC16