1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题5 几何变换法专题【方法简介】几何变换（geometric transformation）是指从具有几何结构之集合至其自身或其他此类集合的一种对射。几何变换是一种数学解题的方法思路。在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，使问题得以突破。在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发
2、生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。移动图形一般有三种方法：（1）平移法；（2）旋转法：利用旋转变换；（3）对称：可利用中心对称和轴对称。【真题演练】1. （ 山东青岛，3，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解答】解：A、B中的图形是中心对称图形，B、C中的图形是轴对称图形，D中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，所以B中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故选择B.2. 新疆建设兵团，5，5分）如图所示，将一个含30角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转
3、的度数是（ ）A60 B90 C120 D150【答案】D【解答】解：AB边旋转后变为AB，而BAC=180，BAC=BAC=30，BAB=18030=150，即旋转角为150 ，故选择 D.3. (2019，山西，3分）如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC=10cm，点D为ABC内一点，BAD=15，AD=6cm，连接BD，将ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 cm.【解析】过点A作AGDE于点G，由旋转可知：AD=AE，DAE=90，CAE=BAD=15AED=45；在AEF中：AFD=AED+CAE=60在RtAD
4、G中：AG=DG=在RtAFG中：故答案为：4. （2018临沂）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转（0360），得到矩形AEFG（1）如图，当点E在BD上时求证：FD=CD；（2）当为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由【解答】解：（1）由旋转可得，AE=AB，AEF=ABC=DAB=90，EF=BC=AD，AEB=ABE，又ABE+EDA=90=AEB+DEF，EDA=DEF，又DE=ED，AEDFDE（SAS），DF=AE，又AE=AB=CD，CD=DF；（2）如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，GC=G
5、B，GHBC，四边形ABHM是矩形，AM=BH=AD=AG，GM垂直平分AD，GD=GA=DA，ADG是等边三角形，DAG=60，旋转角=60；当点G在AD左侧时，同理可得ADG是等边三角形，DAG=60，旋转角=36060=300【名词释义】在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利
6、于对图形本质的认识。几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。1.平移变换 把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。一般有2种方法：其一是平移已知条件，其二是平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。2.旋转变换 把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起. 3.对称变换 通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。2.出现了明显的垂线条件时。【典例示例】例题1：（
7、四川省绵阳市，17，3分）如图，点O是边长为的等边ABC的内心，将OBC绕点O逆时针旋转30得到OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE_【答案】【解答】解：延长BO交AC于点F，设OC1交AC于点G因为点O是等边ABC的内心，所以BOC120，OCB30，BO平分ABC，所以BFAC，AFCFAC，所以BFAF6，BOBF4，OF2由旋转知BOB1C130，B1OC1120，所以FOG30，于是FGO60，C1GE60在RtOFG中，FG，OG2FG又O1COCOB4，所以GC1OC1OG4在C1GE中，C1EG180C1C1GE180306090在RtC1GE中，GE
8、C1GsinC1所以CEFCFGGE在RtCDE中，EDC90ACB906030，所以DECE，故答案为.例题2：（2019湖北省咸宁市3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB4，BC8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM下列结论：CQCD；四边形CMPN是菱形；P，A重合时，MN2；PQM的面积S的取值范围是3S5其中正确的是（把正确结论的序号都填上）【解答】解：如图1，PMCN，PMNMNC，MNCPNM，PMNPNM，PMPN，NCNP，PMCN，MPCN，四边形CNPM是平行
9、四边形，CNNP，四边形CNPM是菱形，故正确；CPMN，BCPMCP，MQCD90，CPCP，若CQCD，则RtCMQCMD，DCMQCMBCP30，这个不一定成立，故错误；点P与点A重合时，如图2，设BNx，则ANNC8x，在RtABN中，AB2+BN2AN2，即42+x2（8x）2，解得x3，CN835，AC，MN2QN2故正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S，4S5，故错误故答案为：【强化巩固】1. （2018黑龙江龙东）（3.00分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心
10、对称图形的是（）ABCD【答案】C【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误故选：C2. （2017山东聊城）如图，将ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B处，此时，点A的对应点A恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（）ABCB=ACABACB=2B CBCA=BACDBC平分BBA【答案】C【解答】解：根据旋转的性质得，BCB和ACA都是旋转角，则BCB=ACA，故A正确，CB=CB，B=BBC，又ACB=B+BB
11、C，ACB=2B，又ACB=ACB，ACB=2B，故B正确；ABC=B，ABC=BBC，BC平分BBA，故D正确；故选C3. （2019湖北省荆门市3分）如图，RtOCB的斜边在y轴上，OC，含30角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将RtOCB绕原点顺时针旋转120后得到OCB，则B点的对应点B的坐标是（）A（，1）B（1，）C（2，0）D（，0）【答案】A【解答】解：如图，在RtOCB中，BOC30，BCOC1，RtOCB绕原点顺时针旋转120后得到OCB，OCOC，BCBC1，BCOBCO90，点B的坐标为（，1）故选：A4. （2019，山东枣庄，3分）如图，将ABC沿BC边上的
12、中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9若AA1，则AD等于（）A2B3C4D【答案】B【解答】解：SABC16.SAEF9，且AD为BC边的中线，SADESAEF，SABDSABC8，将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，则（）2，即（，解得AD3或AD（舍），故选：B5. （2019广西池河3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90而得，则AC所在直线的解析式是 【答案】y2x4【解答】解：A（2，0），B（0，1）OA2，OB1过点C作CDx轴于点D， 则易知ACDBAO（AAS
13、）ADOB1，CDOA2C（3，2）设直线AC的解析式为ykx+b，将点A，点C坐标代入得直线AC的解析式为y2x4故答案为：y2x46. （2018广西南宁）（8.00分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）（1）将ABC向下平移5个单位后得到A1B1C1，请画出A1B1C1；（2）将ABC绕原点O逆时针旋转90后得到A2B2C2，请画出A2B2C2；（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状（无须说明理由）【解答】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求：（2）如图所示，A2B2C2即为所求：（3）三角形的形状为等腰直角三角形，
14、OB=OA1=，A1B=，即，所以三角形的形状为等腰直角三角形7. （ 四川省巴中市，26，10分）如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1，ABC在平面直角坐标系中的位置如图.（1）画出将ABC向右平移2个单位得到的A1B1C1；（2）画出将ABC绕点O顺时针方向旋转900得到的A2B2C2；（3）求A1B1C1与A2B2C2重合部分的面积.【解答】解：（1）将ABC的顶点A、B、C分别向右平移2个单位得到对应的点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1，得到所求作的A1B1C1，如图所示；（2）将ABC的顶点A、B、C分别绕点O顺时针方向旋转900得到对应的点A2、B2、C2，连接A2、B2
15、、C2，得到所求作的A2B2C2，如图所示；（3）由作图可知，B2C2B1C1，A1C1B1C1，B2C2A1C1B2是B1C1的中点，B2F=A1C1=B2EFB1C1 A1:=（）=8. （2018自贡）如图，已知AOB=60，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个120角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E（1）当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结
16、论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明【解答】解：（1）OM是AOB的角平分线，AOC=BOC=AOB=30，CDOA，ODC=90，OCD=60，OCE=DCEOCD=60，在RtOCD中，OD=OCcos30=OC，同理：OE=OC，OD+OE=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，OF+OG=OC，CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=CG，DC
17、E=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=OD+DF=OD+EG，OG=OEEG，OF+OG=OD+EG+OEEG=OD+OE，OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OEOD=OC，理由：过点C作CFOA于F，CGOB于G，OFC=OGC=90，AOB=60，FCG=120，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，OF+OG=OC，CFOA，CGOB，且点C是AOB的平分线OM上一点，CF=CG，DCE=120，FCG=120，DCF=ECG，CFDCGE，DF=EG，OF=DFOD=EGOD，OG=OEEG，OF+OG=EGOD+OEEG=OEOD，OEOD=OC16