1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题7 因式分解法专题【方法简介】数学中用以求解高次一元方程的一种方法。把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。【真题演练】1. （2019山东潍坊3分）下列因式分解正确的是（）www.zz#ste%A3ax26ax3（ax22ax）Bx2+y2（x+y）（xy）Ca2+2ab4b2（a+2b）2Dax2+2axaa（x1）2【答案】D【解答】解：A、3ax26ax3ax（x2），故此选项错误；B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；C、a2+2ab4
2、b2，无法分解因式，故此选项错误；D、ax2+2axaa（x1）2，正确故选：D2. （2019湖南株洲3分）下列各选项中因式分解正确的是（）Ax21（x1）2Ba32a2+aa2（a2）C2y2+4y2y（y+2）Dm2n2mn+nn（m1）2【答案】D【解答】解：A.x21（x+1）（x1），故此选项错误；B.a32a2+aa2（a1），故此选项错误；C.2y2+4y2y（y2），故此选项错误；D.m2n2mn+nn（m1）2，正确故选：D3. （2019湖南长沙3分）分解因式：am29aa（m+3）（m3）【答案】a（m+3）（m3）【解答】解：am29aa（m29）a（m+3）（m3）
3、故答案为：a（m+3）（m3）4. x为何值时，多项式x26x16的值与多项式162x的值互为相反数？【解析】：依题意有x26x16162x0.整理，得x24x0，解得x10，x24.【名词释义】因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的它为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础所以因式分解是中学代数教材的一个重要内容它具有广泛的基础知识的功能由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以因式分解又是发展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体正因为因式分解具
4、有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。1提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式2运
5、用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方字母表达式：a22ab+b2=(ab)2立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和)3十字相乘法分解因式：主要用于某些二次三项式的因式分解对于一个一般形式的二次项的系数不是1的二次三项式ax2bxc，用十字相乘法分解因式的关键：找出四个因数，使
6、a1a2=a，c1c2=c，a1c2a2c1=b【典例示例】例题1：（2019黑龙江省齐齐哈尔市5分）（2）因式分解：a2+12a+4（a1）【答案】（a1）（a+3）【解答】解：（2）a2+12a+4（a1）（a1）2+4（a1）（a1）（a1+4）（a1）（a+3）例题2：小明同学在解一元二次方程3x28x(x2)0时，他是这样做的：解：3x28x(x2)0，第一步3x8x20，第二步5x20，第三步5x2，第四步x. 第五步(1)小明的解法从第_步开始出现错误，此题的正确结果是_；(2)用因式分解法解方程：x(2x1)3(2x1).【解析】：(1)二x10，x2(2)x(2x1)3(2x
7、1)，(2x1)(x3)0，解得x1，x23.【归纳总结】一因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法或其他方法分解二从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式来分解因式如果是二次三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法三因式分解要注意的几个问题：每个因式分解到不能再分为止相同因式写成乘方的形式因式分解的结果不要中括号如果多项式的第一项系数是负数，一般要提
8、出“-”号，使括号内的第一项系数为正数因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面【强化巩固】1. （2019广西贺州3分）把多项式4a21分解因式，结果正确的是（）A（4a+1）（4a1） B（2a+1）（2a1）C（2a1）2D（2a+1）2【答案】B【解答】解：4a21（2a+1）（2a1），故选：B2. （2019湖北天门3分）分解因式：x44x2x2（x+2）（x2）【答案】x2（x+2）（x2）；【解答】解：x44x2x2（x24）x2（x+2）（x2）；故答案为x2（x+2）（x2）；3. （2019湖北十堰3分）分解因式：a2+2a【答案】a（a+2）【解答
9、】解：a2+2aa（a+2）4. （2019湖南长沙3分）分解因式：am29a 【答案】a（m+3）（m3）【解答】解：am29aa（m29）a（m+3）（m3）故答案为：a（m+3）（m3）5. （2019湖北十堰3分）对于实数a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m 【答案】3或4【解答】解：根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，（2m1）2490，（2m1+7）（2m17）0，2m1+70或2m170，所以m13，m24故答案为3或46. （2019荆门）已知3是关于x的方程x2（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程
10、的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长为 .【答案】D【解析】解：把x=3代入方程得93（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x27x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长，当ABC的腰为4，底边为3时，则ABC的周长为4+4+3=11；当ABC的腰为3，底边为4时，则ABC的周长为3+3+4=10综上所述，该ABC的周长为10或11故选：D7. 若规定两数a、b通过“”运算，得到4ab，即ab=4ab，例如26=426=48（1）求35的值；（2）求xx+2x-24=0中x的值；（3）若无论x是什么数，总有ax=x，求a的
11、值【解析】（1）35=435=60，（2）由xx+2x-24=0得4x2+8x-32=0，即x2+2x-8=0，x1=2，x2=-4，（3）由a*x=x得4ax=a，无论x为何值总有4ax=x，a=8. 阅读理解题由多项式乘法：(xa)(xb)x2(ab)xab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2(ab)xab(xa)(xb)3.示例：分解因式：x25x6x2(23)x23(x2)(x3)(1)尝试：分解因式：x26x8(x_)(x_)；(2)应用：请用上述方法解方程：x23x40.【解析】：(1)24(2)x23x40，(x1)(x4)0，则x10或x40，解得x1或x4.9. （2019淄博市淄川中考模拟）关于x的一元二次方程x23x+k0有实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30与方程x23x+k0有一个相同的根，求此时m的值【解析】（1）根据题意得（3）24k0，解得k；（2）k的最大整数为2，方程x23x+k0变形为x23x+20，解得x11，x22，一元二次方程（m1）x2+x+m30与方程x23x+k0有一个相同的根，当x1时，m1+1+m30，解得m；当x2时，4（m1）+2+m30，解得m1，而m10，m的值为