1、备战2020中考数学解题方法专题研究专题10 数形结合法专题【方法简介】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。【真题演练】1. （2019湖北
2、省仙桃市3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A BCD【答案】C【解答】解：解不等式x10得x1，解不等式52x1得x2，则不等式组的解集为1x2，故选：C2. （2019江苏苏州3分）若一次函数（为常数，且）的图像经过点，则不等式的解为（ ）。ABCD【答案】D【解答】如下图图像，易得时，故选D。3. (2018常州)京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点A，B和点C，D，先用卷尺量得AB160 m，CD40 m，再用测角仪测得CAB30，DBA60，求该段运河的河宽(即CH的长)【解析】：过点D作DEAB于点E，可得
3、四边形CHED为矩形，HECD40 m.设CHDEx m，在RtBDE中，DBA60，BEx.在RtACH中，BAC30，AHx.由AHHEEBAB160 m，得x40x160，解得x30，即CH30 m.答：该段运河的河宽为30 m4. (2018乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y()与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y与时间x(0x24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定
4、温度；(3)若大棚内的温度低于10 时，蔬菜会受到伤害问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【解答】解：(1)设线段AB解析式为yk1xb(k0)，线段AB过点(0，10)，(2，14)，代入，得解得AB解析式为y2x10(0x5)B在线段AB上，当x5时，y20.B坐标为(5，20)线段BC的解析式为y20(5x10)设双曲线CD的解析式为y(k20)C(10，20)，k2200.双曲线CD解析式为y(10x24)y关于x的函数解析式为y(2)由(1)可知，恒温系统设定恒定温度为20 .(3)把y10代入y中，解得x20.201010.答：恒温系统最多关闭10小时，
5、蔬菜才能避免受到伤害【名词释义】数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：1.解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。2.解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。3.解决锐角三角函数问题：有关解直角三角形问题，借助图形来处理比较简单，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。4.解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求最值的问题。
6、从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。【典例示例】例题1：(2019安徽)（10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具如图1，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，OAB41.3，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离（参考数据：sin41.30.66，cos41.30.75，tan41.30.88）【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D，CDAB，ADBDAB3（米），在RtAOD中，OAB41.3，cos41.3，即OA
7、4（米），tan41.3，即ODADtan41.330.882.64（米），则CDCO+OD4+2.646.64（米）例题2：（2019山东省滨州市 14分）如图，抛物线yx2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值【答案】（1）yx+4；（2）点P的坐标是（6，），最大距离是；，sinPAD的值是或【解答】解：（1）当x0时，y4，则点A的坐标为（0，4），
8、当y0时，0x2+x+4，解得，x14，x28，则点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（8，0），OAOB4，OBAOAB45，将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD，BAD90，OAD45，ODA45，OAOD，点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为ykx+b，得，即直线AD的函数解析式为yx+4；（2）作PNx轴交直线AD于点N，如右图所示，设点P的坐标为（t，t2+t+4），则点N的坐标为（t，t+4），PN（t2+t+4）（t+4）t2+t，PNx轴，PNy轴，OADPNH45，作PHAD于点H，则PHN90，PH（t2+t）t（t6）2+，当t6时，PH取得最大值，此时
9、点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；当点P到直线AD的距离为时，如右图所示，则t，解得，t12，t210，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，），当P1的坐标为（2，），则P1A，sinP1AD；当P2的坐标为（10，），则P2A，sinP2AD；由上可得，sinPAD的值是或【归纳总结】数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽
10、象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.【强化巩固】1. （2019山东省滨州市 3分）已知点P（a3，2a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A B C D【解答】解：点P（a3，2a）关于原点对称的点在第四象限，点P（a3，2a）在第二象限，解得：a2则a的取值范围在数轴上表示正确的是：故选：C2. 2019湖北宜昌3分）如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形
11、的顶点上，则sinBAC的值为（）ABCD【解答】解：如图，过C作CDAB于D，则ADC90，AC5sinBAC故选：D3. （2019湖南湘西州6分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来【解答】解：解不等式x21得x3，解不等式4x+5x+2，得：x1，则不等式组的解集为1x3，将解集表示在数轴上如下：4. （2019贵州安顺10分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸
12、公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？【解答】解：（1）设一次函数解析式为：ykx+b当x2，y120；当x4，y140；，解得：，y与x之间的函数关系式为y10x+100；（2）由题意得：（6040x）（10 x+100）2090，整理得：x210x+90，解得：x11x29，让顾客得到更大的实惠，x9，答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元5. （2018绍兴）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE
13、交MN于点F已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm（1）窗扇完全打开，张角CAB=85，求此时窗扇与窗框的夹角DFB的度数；（2）窗扇部分打开，张角CAB=60，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）（参考数据：1.732，2.449）【解答】解：（1）AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，四边形ACDE是平行四边形，ACDE，DFB=CAB，CAB=85，DFB=85；（2）作CGAB于点G，AC=20，CGA=90，CAB=60，CG=，AG=10，BD=40，CD=10，CB=30，BG=，AB=AG+BG=10+1010+102.449=34.493
14、4.5cm，即A、B之间的距离为34.5cm6. 图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 _；（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积_；（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？（4）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求（m+n）2的值（5）用完全平方公式和非负数的性质求代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值【解析】：（1）由图可知，阴影部分小正方形的边长为：m-n；（2）根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为（m-n）2，还可以表示为（m+n）
15、2-4mn；（3）根据阴影部分的面积相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn；（4）mn=-2，m-n=4，（m+n）2=（m-n）2+4mn=42+4（-2）=16-8=8；（5）x2+2x+y2-4y+7=x2+2x+1+y2-4y+4+2=（x+1）2+（y-2）2+2，（x+1）20，（y-2）20，（x+1）2+（y-2）22，当x=-1，y=2时，代数式x2+2x+y2-4y+7的最小值是2故答案为：（1）m-n；（2）（m-n）2，（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn(4) 8 (5) 最小值是2.7. （2019湖北省鄂州市）（8分）某校为了解全校学生
16、对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分类别ABCDE类型新闻体育动画娱乐戏曲人数112040m4请你根据以上信息，回答下列问题：（1）统计表中m的值为25，统计图中n的值为25，A类对应扇形的圆心角为39.6度；（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率【解答】解：（1）样本容量为2020%100
17、，m100（11+20+40+4）25，n%100%25%，A类对应扇形的圆心角为36039.6，故答案为：25、25、39.6（2）1500300（人）答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；（3）画树状图如下：共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，所以所选2名同学中有男生的概率为8. 我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题请你尝试解决一下问题：（1）在图1中
18、，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：作图确定水塔的位置；求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CAAB，DBAB，使得CA= _DB= _.在AB上取一点P，可设AP= _，BP= _.的最小值即为线段_和线段_长度之和的最小值，最小值为 _【解析】：（1）抛物线所对应的二次函数
19、的最大值是4；（2）如图所示，点P即为所求（作法：延长AC到点E，使CE=AC，连接BE，交直线CD于点P，则点P即为所求.说明：不必写作法和证明，但要保留作图痕迹；不连接PA不扣分；（延长BD，同样的方法也可以得到P点的位置）过点A作AFBD，垂足为F，过点E作EGBD，交BD的延长线于点G，则有四边形ACDF、CEGD都是矩形FD=AC=CE=DG=1，EG=CD=AFAB=3，BD=2，BF=BD-FD=1，BG=BD+DG=3，在RtABF中，AF2=AB2-BF2=8，AF=2EG=2.在RtBEG中，BE2=EG2+BG2=17，BE=（cm）.PA+PB的最小值为cm.即所用水管
20、的最短长度为cm.（3）图3所示，作线段AB=6，分别过点A、B，作CAAB，DBAB，使得CA=3，BD=5，在AB上取一点P，可设AP=x，BP=y，的最小值即为线段 PC和线段 PD长度之和的最小值，作C点关于线段AB的对称点C，连接CD，过C点作CEDB，交BD延长线于点E，AC=BE=3，DB=5，AB=CE=6，DE=8，.最小值为10故答案为：4；x，y；PC，PD，109. （2018山东日照）（13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图1，在RtABC中，ACB=90，ABC=
21、30，则：AC=AB探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：ACE为等边三角形；BE与CE之间的数量关系为 （2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边ADE，且点E在ACB的内部，连接BE试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求
22、C点的坐标【解答】解：探究结论（1）如图1中，ACB=90，B=30，A=60，AC=AB=AE=EB，ACE是等边三角形，EC=AE=EB，故答案为EC=EB（2）如图2中，结论：ED=EB理由：连接PEACP，ADE都是等边三角形，AC=AD=DE，AD=AE，CAP=DAE=60，CAD=PAE，CADPAE，ACD=APE=90，EPAB，PA=PB，EA=EB，DE=AE，ED=EB（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为ED=EB拓展应用：如图3中，作AHx轴于H，CFOB于F，连接OAA（，1），AOH=30，由（2）可知，CO=CB，CFOB，OF
23、=FB=1，可以假设C（1，n），OC=BC=AB，1+n2=1+（+2）2，n=2+，C（1，2+）10. 在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上(1）小明发现DGBE，请你帮他说明理由(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出GHE与BHD面积之和的最大值，并简要说明理由【解析】：（1）四边形ABCD和四边形AEFG
24、都为正方形，AD=AB，DAG=BAE=90，AG=AE，在ADG和ABE中，ADGABE（SAS），AGD=AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，在ADG中，AGD+ADG=90，AEB+ADG=90，在EDH中，AEB+ADG+DHE=180，DHE=90，则DGBE；(2）四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，AD=AB，DAB=GAE=90，AG=AE，DAB+BAG=GAE+BAG，即DAG=BAE，在ADG和ABE中，ADGABE（SAS），DG=BE，如图2，过点A作AMDG交DG于点M，AMD=AMG=90，BD为正方形ABCD的对角线，MDA=45，在RtAMD中，MDA=45，cos45=，AD=2，DM=AM=，在RtAMG中，根据勾股定理得：GM=，DG=DM+GM=+，BE=DG=+；(3）GHE和BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于EGH，点H在以EG为直径的圆上，当点H与点A重合时，EGH的高最大；对于BDH，点H在以BD为直径的圆上，当点H与点A重合时，BDH的高最大，则GHE和BHD面积之和的最大值为2+4=6