1、2018-2019学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）命题“x00，（）1”的否定是（）Ax00，（）1Bx0，（）x1Cx0，（）x1Dx0，（）x12（4分）复数z（a21）+（a+1）i，（aR）为纯虚数，则a的取值是（）A3B2C1D13（4分）在高台跳水运动中，ts时相对于水面的高度（单位：m）是h（t）4.9t2+6.5t+10，则该高台跳水运动员在t1s时瞬时速度的大小为（）A11.6m/sB1.6m/sC3.3m/sD4.9m/s4（4分）“不等式0成立”是“
2、不等式（x1）（x+1）0成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（4分）已知命题p：对x1，x2R（x1x2），0成立，则f（x）在（0，+）上为增函数；命题q：x0R，x022x0+10，则下列命题为真命题的是（）ApqBpqC（p）qD（p）（q）6（4分）某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（）ABCD7（4分）用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A60个B40个C30个D24个8（4分）某电子元件生产厂家新
3、引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是（）ABCD9（4分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABADAA11，BADBAA1120，DAA160，则AC1（）A1B2CD10（4分）（1+2）n的展开式中各项系数之和为243，设x2nao+a1（x+1）+a2（x+1）2+a2n（x+1）2n，则a3（）A120B120C45D4511（4分）直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，E
4、、D分别为AB、BB的中点，则异面直线CE与CD所成角的余弦值为（）ABCD12（4分）已知函数f（x）x3在其定义域（0，+）内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是（）A（0，1）（1，）B（0，1）C（，+）D（1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案直接填在答题卡中的横线上13（3分）设i是虚数单位，则 14（3分）若曲线yxlnx上在点P处的切线与直线x+2y10垂直，则点P的坐标为 15（3分）（1a+b）5的展开式中，ab2项的系数为 （用数字作答）16（3分）已知f（x）a（1x）+2lnx（aR）在定义域上满足f（x）0恒成立，则a 三、解答题：共40
5、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-19题为必考题，每个试题考生都必须作答第20、21题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共30分17（10分）某超市举办酬宾活动，单次购物超过100元的顾客可参与一次抽奖活动，活动规则如下：盒子中装有大小和形状完全相同的7个小球，其中3个红球、2个白球和2个黑球，从中不放回地随机抽取2个球，每个球被抽到的机会均等每抽到1个红球记0分，每抽到1个白球记50分，每抽到1个黑球记100分如果抽取2个球总得分200分可获得10元现金，总得分低于100分没有现金，其余得分可获得5元现金（1）设抽取2个球总得分为随机变量X求随机变量X的分布列；（2）设每
6、位顾客一次抽奖获得现金Y元，求Y的数学期望18（10分）如图，四棱锥PABCD中，PDCD2，ADAB4，PB2，PDC，ABDC，BCDC（1）求证：PDBC；（2）求钝二面角APDC的余弦值19（10分）已知函数f（x）exx2（1）当x0时，求f（x）的最小值；（2）若存在实数x1，x2，使得f（2x13）+（2x13）2，求x2x1的最小值四、（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程20在平面直角坐标xOy中，直线L的参数方程为，（t为参敬，a为常数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标
7、方程为sin2+4sin（l）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线L与曲线C相交于A、B两点，若|AB|24，求a的值选修4-5：不等式选讲21（10分）设函数f（x）|x+2|+2|xm|（1）当m1时，解不等式f（x）x+3；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）3+|mx|成立，求实数m的取值范围2018-2019学年四川省绵阳市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）命题“x00，（）1”的否定是（）Ax00，（）1Bx0，（）x1Cx0，（）x1Dx
8、0，（）x1【分析】直接写出特称命题的否定得答案【解答】解：命题“x00，（）1”的否定是x0，（）x1故选：D【点评】本题考查特称命题的否定，注意特称命题的否定是全称命题，是基础题2（4分）复数z（a21）+（a+1）i，（aR）为纯虚数，则a的取值是（）A3B2C1D1【分析】实部为0而虚部不为0的虚数被称为纯虚数，由此定义建立关系式，不难得到本题的答案【解答】解：z（a21）+（a+1）i是纯虚数a210且a+10，解之得a1故选：D【点评】本题给出含字母参数的虚数为纯虚数，求参数a的值，着重考查了复数的代数形式和纯虚数的定义等知识，属于基础题3（4分）在高台跳水运动中，ts时相对于水面
9、的高度（单位：m）是h（t）4.9t2+6.5t+10，则该高台跳水运动员在t1s时瞬时速度的大小为（）A11.6m/sB1.6m/sC3.3m/sD4.9m/s【分析】根据题意，求出函数的导数，进而计算h（1）的值，结合导数的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，h（t）4.9t2+6.5t+10，为ts时相对于水面的高度，其导数h（t）9.8t+6.5，有h（1）9.8+6.53.3，则该高台跳水运动员在t1s时瞬时速度的大小为3.3m/s；故选：C【点评】本题考查导数的计算以及几何意义，属于基础题4（4分）“不等式0成立”是“不等式（x1）（x+1）0成立”的（）A充分不必要条件B必要不
10、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】分别求解分式不等式及一元二次不等式，再由集合间的关系结合充分必要条件的判定得答案【解答】解：由0，得1x1，即不等式0的解集为1，1）；由（x1）（x+1）0，得1x1，即不等式（x1）（x+1）0的解集为1，11，1）1，1“不等式0成立”是“不等式（x1）（x+1）0成立”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查分式不等式及一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定，是基础题5（4分）已知命题p：对x1，x2R（x1x2），0成立，则f（x）在（0，+）上为增函数；命题q：x0R，x022x0+10，则下列命题为真命题的是（）ApqBpqC
11、（p）qD（p）（q）【分析】由已知可得p为真命题，由配方法得到q为假命题，再由复合命题的真假判断得答案【解答】解：命题p：对x1，x2R（x1x2），0成立，则f（x）在（0，+）上为增函数为真命题；x22x+1（x1）20，命题q：x0R，x022x0+10为假命题则pq为真命题；pq为假命题；（p）q为假命题；（p）（q）为假命题故选：A【点评】本题考查复合命题的真假判断及其应用，是基础题6（4分）某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（）ABCD【分析】设事件A表示“抽到的第1个同学
12、是男生”，事件B表示“抽到的第2个同学也是男生”，则P（A），P（AB），由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率【解答】解：某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，设事件A表示“抽到的第1个同学是男生”，事件B表示“抽到的第2个同学也是男生”，则P（A），P（AB），则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率：P（B|A）故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7（4分）用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶
13、数共有（）A60个B40个C30个D24个【分析】数字0不能排在首位，末位是0时又是偶数，当末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列，当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个，相加得到结果【解答】解：由题意知本题是一个分类计数原理，在所给的数字中，0是一个比较特殊的数字，0在末位和0不在末位结果不同，末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列有A4212种结果，当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个共有A21A31A3118种结果，根据分类计数原理知共有12+1830种结果，故选：C【点评】本题考查
14、计数原理的应用，本题解题的关键是包含数字0的排数问题，要分类来解，0在末位是偶数，并且0还不能排在首位，在分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题8（4分）某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是（）ABCD【分析】取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率p重复6次这样的试验，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果
15、恰好发生3次的概率【解答】解：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率p重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是：P（X3）故选：A【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（4分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABADAA11，BADBAA1120，DAA160，则AC1（）A1B2CD【分析】利用，即可求解【解答】解：，+2+2+21+1+1+211（）+2+
16、22，AC1，故选：D【点评】本题考查了空间向量的应用，属于中档题10（4分）（1+2）n的展开式中各项系数之和为243，设x2nao+a1（x+1）+a2（x+1）2+a2n（x+1）2n，则a3（）A120B120C45D45【分析】先求出n的值，再根据x2nao+a1（x+1）+a2（x+1）2+a2n（x+1）2n1+（x+1）10，利用通项公式求出a3的值【解答】解：令x1，可得（1+2）n的展开式中各项系数之和为3n243，n5设x2nao+a1（x+1）+a2（x+1）2+a2n（x+1）2n1+（x+1）10，则a3（1）7120，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，
17、二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11（4分）直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，E、D分别为AB、BB的中点，则异面直线CE与CD所成角的余弦值为（）ABCD【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE与CD所成角的余弦值【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设ACBCAA2，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），E（1，1，0），C（0，0，2），D（0，2，1），（1，1，0），（0，2，1），设异面直线CE与CD所成角为，则cos异面
18、直线CE与CD所成角的余弦值为故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12（4分）已知函数f（x）x3在其定义域（0，+）内既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是（）A（0，1）（1，）B（0，1）C（，+）D（1，）【分析】只需方程方程x2ax0在（0，+）有两个不相等实根即lna，令g（x），则结合其图象即可求解【解答】解：f（x）x2ax要使函数f（x）x3在其定义域（0，+）内既有极大值也有极小值，只需方程方程x2ax0在（0，+）有两个不相等实根即lna，令g（x），则g（x）在（0，e）递
19、增，在（e，+）递减其图象如下：lna，1aa故选：D【点评】本题考查了导数的应用、数形结合思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分把答案直接填在答题卡中的横线上13（3分）设i是虚数单位，则【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题14（3分）若曲线yxlnx上在点P处的切线与直线x+2y10垂直，则点P的坐标为（e，e）【分析】设切点P（m，n），求得yxlnx的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得m，n，即为P的坐标【解答】解：设切点P（m，n），yxlnx的导数为y1+lnx，可
20、得切线的斜率为k1+lnm，由切线与直线x+2y10垂直，可得1+lnm2，解得me，ne，即P（e，e）故答案为：（e，e）【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线方程的运用，以及两直线垂直的条件，属于基础题15（3分）（1a+b）5的展开式中，ab2项的系数为30（用数字作答）【分析】由题意利用幂的意义，组合数公式，求得ab2项的系数【解答】解：（1a+b）5，表示5个因式（1a+b）的积，要得到含ab2项，需1个因式选a，有2个因式选b，其余的2个因式选1 即可展开式中，ab2项的系数为30，故答案为：30【点评】本题主要考查幂的意义，组合数公式，属于基础题16（3分）已知f（x）a（1
21、x）+2lnx（aR）在定义域上满足f（x）0恒成立，则a2【分析】求出原函数的导函数，可得a0时，不满足f（x）0恒成立；a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，求出函数的最大值，转化为最大值小于等于0，再由导数求解a值【解答】解：f（x）a（1x）+2lnx，f（x）（x0），若a0，则f（x）0，函数f（x）在（0，+）上为增函数，f（2）a+2ln20，不满足f（x）0恒成立；若a0，由f（x）0，得0x，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减由0，得令g（a）a2+2ln，则g（a）1当a（0，2）时，g（a）0，当a（2，+）时，g（a）0g（a）在
22、（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增，又g（2）0，只有当a2时，有g（a）0a2故答案为：2【点评】本题考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题三、解答题：共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-19题为必考题，每个试题考生都必须作答第20、21题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共30分17（10分）某超市举办酬宾活动，单次购物超过100元的顾客可参与一次抽奖活动，活动规则如下：盒子中装有大小和形状完全相同的7个小球，其中3个红球、2个白球和2个黑球，从中不放回地随机抽取2个球，每个球被抽到的机会均等每抽到1个红球记0分，每
23、抽到1个白球记50分，每抽到1个黑球记100分如果抽取2个球总得分200分可获得10元现金，总得分低于100分没有现金，其余得分可获得5元现金（1）设抽取2个球总得分为随机变量X求随机变量X的分布列；（2）设每位顾客一次抽奖获得现金Y元，求Y的数学期望【分析】（1）由题意X的可能得分为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列（2）由题意得Y的可能取值为0，5，10，分别求出相应的概率，由此能求出Y的数学期望E（Y）【解答】解：（1）由题意X的可能得分为0，50，100，150，200，P（X0），P（X50），P（X100），P（X150），P（X20
24、0），X分布列为： X 0 50 100 150 200 P （2）由题意得Y的可能取值为0，5，10，P（Y0），P（Y5），P（Y10），Y的数学期望E（Y）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查排列、古典概型等基础知识，中砂题18（10分）如图，四棱锥PABCD中，PDCD2，ADAB4，PB2，PDC，ABDC，BCDC（1）求证：PDBC；（2）求钝二面角APDC的余弦值【分析】（1）推导出BCPC，BCDC，从而BC平面PCD，由此能证明PDBC（2）以D为原点，过D作BC的平行给为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量
25、法能求出钝二面角APDC的余弦值【解答】解：（1）证明：四棱锥PABCD中，PDCD2，ADAB4，PB2，PDC，ABDC，PC2，BC2，PC2+BC2PB2，BCPC，BCDC，PCDCC，BC平面PCD，PD平面PCD，PDBC（2）解：以D为原点，过D作BC的平行给为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，平面PDC的法向量（1，0，0），设平面APD的法向量（x，y，z），A（2，2，0），D（0，0，0），P（0，1，），（2，2，0），（0，1，），则，取x1，得（1，1），设钝二面角APDC的平面角为，则cos钝二面角APDC的余弦值为【点评】本
26、题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（10分）已知函数f（x）exx2（1）当x0时，求f（x）的最小值；（2）若存在实数x1，x2，使得f（2x13）+（2x13）2，求x2x1的最小值【分析】（1）设函数f（x）exx2，根据函数的单调性证明即可；（2）设f（2x13）+（2x13）2+m，求出x1，x22，（m0），令h（x）2，（x0），根据函数的单调性求出其最小值即可【解答】解：（1）f（x）exx2f（x）ex2x，f（x）ex2，f（x）在0，ln2）递减，在（ln2，+）递增，故f（x）
27、f（ln2）22ln20，故f（x）在0，+）递增，故f（x）minf（0）1，（2）设f（2x13）+（2x13）2+m，x1R，则0，即m0，故2x13lnm，lnm，故x1，x22，x2x12，（m0），令h（x）2，（x0），则h（x）2，故h（x）2+0，故h（x）在（0，+）递增，且h（）0，当x时，h（x）0，当0x时，h（x）0，故h（x）在（0，）递减，在（，+）递增，故x时，h（x）取最小值，此时h（）+ln2，即x2x1的最小值是+ln2【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题四、（二）选考题：共10分请考生在第22、2
28、3题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程20在平面直角坐标xOy中，直线L的参数方程为，（t为参敬，a为常数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2+4sin（l）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线L与曲线C相交于A、B两点，若|AB|24，求a的值【分析】（1）把直线l的参数方程（t为参数）中的参数消去，可得可得直线l的普通方程；由sin2+4sin，得2sin2+4sin2，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线C，可得再由根与系数的关系及此时t的几
29、何意义求解【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为；由sin2+4sin，得2sin2+4sin2，即y2+4yx2+y2，整理得x24y故曲线C的直角坐标方程为x24y；（2）将直线l的参数方程代入曲线C，可得于是64（a+3）0解得a3且，t1t216a|AB|t1t2|解得a6【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题选修4-5：不等式选讲21（10分）设函数f（x）|x+2|+2|xm|（1）当m1时，解不等式f（x）x+3；（2）若存在实数x，使得不等式f（x）3+|m
30、x|成立，求实数m的取值范围【分析】（1）将m1代入f（x）中，然后去绝对值写成分段函数的形式，再根据f（x）x+3分别解不等式可得解集；（2）存在实数x，使得不等式f（x）3+|mx|成立，则只需3（|x+2|+|xm|）min，求出最小值后解关于m的不等式可得m的取值范围【解答】解：（1）当m1时，f（x）|x+2|+2|x1|，f（x）x+3，或或，或或x，不等式的解集为；（2）存在实数x，使得不等式f（x）3+|mx|成立，即存在实数x，使得|x+2|+|xm|3成立，只需3（|x+2|+|xm|）min，|x+2|+|xm|（x+2）（xm）|2+m|，当且仅当（x+2）（xm）时取等号，（|x+2|+|xm|）min|2+m|，|2+m|3，5m1，m的取值范围为5，1【点评】本题考查了解绝对值不等式和不等式有解问题，考查了分类讨论思想和转化思想，考查了计算能力，属中档题