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2018-2019学年四川省绵阳市高二(下)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019学年四川省绵阳市高二(下)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)命题“x00,()1”的否定是()Ax00,()1Bx0,()x1Cx0,()x1Dx0,()x12(4分)复数z(a21)+(a+1)i,(aR)为纯虚数,则a的取值是()A3B2C1D13(4分)在高台跳水运动中,ts时相对于水面的高度(单位:m)是h(t)4.9t2+6.5t+10,则该高台跳水运动员在t1s时瞬时速度的大小为()A11.6m/sB1.6m/sC3.3m/sD4.9m/s4(4分)“不等式0成立”是“

2、不等式(x1)(x+1)0成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5(4分)已知命题p:对x1,x2R(x1x2),0成立,则f(x)在(0,+)上为增函数;命题q:x0R,x022x0+10,则下列命题为真命题的是()ApqBpqC(p)qD(p)(q)6(4分)某学习小组有3名男生和2名女生,现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示,则在抽到第1个同学是男生的条件下,抽到第2个同学也是男生的概率为()ABCD7(4分)用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有()A60个B40个C30个D24个8(4分)某电子元件生产厂家新

3、引进一条产品质量检测线,现对检测线进行上线的检测试验:从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个,再将电子元件放回重复6次这样的试验,那么“取出的3个电子元件中有2个正品,1个次品”的结果恰好发生3次的概率是()ABCD9(4分)如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,ABADAA11,BADBAA1120,DAA160,则AC1()A1B2CD10(4分)(1+2)n的展开式中各项系数之和为243,设x2nao+a1(x+1)+a2(x+1)2+a2n(x+1)2n,则a3()A120B120C45D4511(4分)直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,E

4、、D分别为AB、BB的中点,则异面直线CE与CD所成角的余弦值为()ABCD12(4分)已知函数f(x)x3在其定义域(0,+)内既有极大值也有极小值,则实数a的取值范围是()A(0,1)(1,)B(0,1)C(,+)D(1,)二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分把答案直接填在答题卡中的横线上13(3分)设i是虚数单位,则 14(3分)若曲线yxlnx上在点P处的切线与直线x+2y10垂直,则点P的坐标为 15(3分)(1a+b)5的展开式中,ab2项的系数为 (用数字作答)16(3分)已知f(x)a(1x)+2lnx(aR)在定义域上满足f(x)0恒成立,则a 三、解答题:共40

5、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-19题为必考题,每个试题考生都必须作答第20、21题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共30分17(10分)某超市举办酬宾活动,单次购物超过100元的顾客可参与一次抽奖活动,活动规则如下:盒子中装有大小和形状完全相同的7个小球,其中3个红球、2个白球和2个黑球,从中不放回地随机抽取2个球,每个球被抽到的机会均等每抽到1个红球记0分,每抽到1个白球记50分,每抽到1个黑球记100分如果抽取2个球总得分200分可获得10元现金,总得分低于100分没有现金,其余得分可获得5元现金(1)设抽取2个球总得分为随机变量X求随机变量X的分布列;(2)设每

6、位顾客一次抽奖获得现金Y元,求Y的数学期望18(10分)如图,四棱锥PABCD中,PDCD2,ADAB4,PB2,PDC,ABDC,BCDC(1)求证:PDBC;(2)求钝二面角APDC的余弦值19(10分)已知函数f(x)exx2(1)当x0时,求f(x)的最小值;(2)若存在实数x1,x2,使得f(2x13)+(2x13)2,求x2x1的最小值四、(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题记分选修4-4:坐标系与参数方程20在平面直角坐标xOy中,直线L的参数方程为,(t为参敬,a为常数)以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标

7、方程为sin2+4sin(l)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线L与曲线C相交于A、B两点,若|AB|24,求a的值选修4-5:不等式选讲21(10分)设函数f(x)|x+2|+2|xm|(1)当m1时,解不等式f(x)x+3;(2)若存在实数x,使得不等式f(x)3+|mx|成立,求实数m的取值范围2018-2019学年四川省绵阳市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题4分,共48分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)命题“x00,()1”的否定是()Ax00,()1Bx0,()x1Cx0,()x1Dx

8、0,()x1【分析】直接写出特称命题的否定得答案【解答】解:命题“x00,()1”的否定是x0,()x1故选:D【点评】本题考查特称命题的否定,注意特称命题的否定是全称命题,是基础题2(4分)复数z(a21)+(a+1)i,(aR)为纯虚数,则a的取值是()A3B2C1D1【分析】实部为0而虚部不为0的虚数被称为纯虚数,由此定义建立关系式,不难得到本题的答案【解答】解:z(a21)+(a+1)i是纯虚数a210且a+10,解之得a1故选:D【点评】本题给出含字母参数的虚数为纯虚数,求参数a的值,着重考查了复数的代数形式和纯虚数的定义等知识,属于基础题3(4分)在高台跳水运动中,ts时相对于水面

9、的高度(单位:m)是h(t)4.9t2+6.5t+10,则该高台跳水运动员在t1s时瞬时速度的大小为()A11.6m/sB1.6m/sC3.3m/sD4.9m/s【分析】根据题意,求出函数的导数,进而计算h(1)的值,结合导数的定义分析可得答案【解答】解:根据题意,h(t)4.9t2+6.5t+10,为ts时相对于水面的高度,其导数h(t)9.8t+6.5,有h(1)9.8+6.53.3,则该高台跳水运动员在t1s时瞬时速度的大小为3.3m/s;故选:C【点评】本题考查导数的计算以及几何意义,属于基础题4(4分)“不等式0成立”是“不等式(x1)(x+1)0成立”的()A充分不必要条件B必要不

10、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】分别求解分式不等式及一元二次不等式,再由集合间的关系结合充分必要条件的判定得答案【解答】解:由0,得1x1,即不等式0的解集为1,1);由(x1)(x+1)0,得1x1,即不等式(x1)(x+1)0的解集为1,11,1)1,1“不等式0成立”是“不等式(x1)(x+1)0成立”的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查分式不等式及一元二次不等式的解法,考查充分必要条件的判定,是基础题5(4分)已知命题p:对x1,x2R(x1x2),0成立,则f(x)在(0,+)上为增函数;命题q:x0R,x022x0+10,则下列命题为真命题的是()ApqBpqC

11、(p)qD(p)(q)【分析】由已知可得p为真命题,由配方法得到q为假命题,再由复合命题的真假判断得答案【解答】解:命题p:对x1,x2R(x1x2),0成立,则f(x)在(0,+)上为增函数为真命题;x22x+1(x1)20,命题q:x0R,x022x0+10为假命题则pq为真命题;pq为假命题;(p)q为假命题;(p)(q)为假命题故选:A【点评】本题考查复合命题的真假判断及其应用,是基础题6(4分)某学习小组有3名男生和2名女生,现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示,则在抽到第1个同学是男生的条件下,抽到第2个同学也是男生的概率为()ABCD【分析】设事件A表示“抽到的第1个同学

12、是男生”,事件B表示“抽到的第2个同学也是男生”,则P(A),P(AB),由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下,抽到第2个同学也是男生的概率【解答】解:某学习小组有3名男生和2名女生,现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示,设事件A表示“抽到的第1个同学是男生”,事件B表示“抽到的第2个同学也是男生”,则P(A),P(AB),则在抽到第1个同学是男生的条件下,抽到第2个同学也是男生的概率:P(B|A)故选:C【点评】本题考查概率的求法,考查条件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题7(4分)用0、1、2、3、4这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶

13、数共有()A60个B40个C30个D24个【分析】数字0不能排在首位,末位是0时又是偶数,当末位是0时,十位和百位从4个元素中选两个进行排列,当末位不是0时,只能从2和4中选一个,百位从3个元素中选一个,十位从三个中选一个,相加得到结果【解答】解:由题意知本题是一个分类计数原理,在所给的数字中,0是一个比较特殊的数字,0在末位和0不在末位结果不同,末位是0时,十位和百位从4个元素中选两个进行排列有A4212种结果,当末位不是0时,只能从2和4中选一个,百位从3个元素中选一个,十位从三个中选一个共有A21A31A3118种结果,根据分类计数原理知共有12+1830种结果,故选:C【点评】本题考查

14、计数原理的应用,本题解题的关键是包含数字0的排数问题,要分类来解,0在末位是偶数,并且0还不能排在首位,在分类时要做到不重不漏,本题是一个基础题8(4分)某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线,现对检测线进行上线的检测试验:从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个,再将电子元件放回重复6次这样的试验,那么“取出的3个电子元件中有2个正品,1个次品”的结果恰好发生3次的概率是()ABCD【分析】取出的3个电子元件中有2个正品,1个次品的概率p重复6次这样的试验,利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出“取出的3个电子元件中有2个正品,1个次品”的结果

15、恰好发生3次的概率【解答】解:从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个,再将电子元件放回取出的3个电子元件中有2个正品,1个次品的概率p重复6次这样的试验,那么“取出的3个电子元件中有2个正品,1个次品”的结果恰好发生3次的概率是:P(X3)故选:A【点评】本题考查概率的求法,考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题9(4分)如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,ABADAA11,BADBAA1120,DAA160,则AC1()A1B2CD【分析】利用,即可求解【解答】解:,+2+2+21+1+1+211()+2+

16、22,AC1,故选:D【点评】本题考查了空间向量的应用,属于中档题10(4分)(1+2)n的展开式中各项系数之和为243,设x2nao+a1(x+1)+a2(x+1)2+a2n(x+1)2n,则a3()A120B120C45D45【分析】先求出n的值,再根据x2nao+a1(x+1)+a2(x+1)2+a2n(x+1)2n1+(x+1)10,利用通项公式求出a3的值【解答】解:令x1,可得(1+2)n的展开式中各项系数之和为3n243,n5设x2nao+a1(x+1)+a2(x+1)2+a2n(x+1)2n1+(x+1)10,则a3(1)7120,故选:B【点评】本题主要考查二项式定理的应用,

17、二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题11(4分)直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,E、D分别为AB、BB的中点,则异面直线CE与CD所成角的余弦值为()ABCD【分析】以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线CE与CD所成角的余弦值【解答】解:以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系,设ACBCAA2,则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),E(1,1,0),C(0,0,2),D(0,2,1),(1,1,0),(0,2,1),设异面直线CE与CD所成角为,则cos异面

18、直线CE与CD所成角的余弦值为故选:B【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题12(4分)已知函数f(x)x3在其定义域(0,+)内既有极大值也有极小值,则实数a的取值范围是()A(0,1)(1,)B(0,1)C(,+)D(1,)【分析】只需方程方程x2ax0在(0,+)有两个不相等实根即lna,令g(x),则结合其图象即可求解【解答】解:f(x)x2ax要使函数f(x)x3在其定义域(0,+)内既有极大值也有极小值,只需方程方程x2ax0在(0,+)有两个不相等实根即lna,令g(x),则g(x)在(0,e)递

19、增,在(e,+)递减其图象如下:lna,1aa故选:D【点评】本题考查了导数的应用、数形结合思想,属于中档题二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分把答案直接填在答题卡中的横线上13(3分)设i是虚数单位,则【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解:故答案为:【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题14(3分)若曲线yxlnx上在点P处的切线与直线x+2y10垂直,则点P的坐标为(e,e)【分析】设切点P(m,n),求得yxlnx的导数,可得切线的斜率,由两直线垂直的条件可得m,n,即为P的坐标【解答】解:设切点P(m,n),yxlnx的导数为y1+lnx,可

20、得切线的斜率为k1+lnm,由切线与直线x+2y10垂直,可得1+lnm2,解得me,ne,即P(e,e)故答案为:(e,e)【点评】本题考查导数的几何意义,考查直线方程的运用,以及两直线垂直的条件,属于基础题15(3分)(1a+b)5的展开式中,ab2项的系数为30(用数字作答)【分析】由题意利用幂的意义,组合数公式,求得ab2项的系数【解答】解:(1a+b)5,表示5个因式(1a+b)的积,要得到含ab2项,需1个因式选a,有2个因式选b,其余的2个因式选1 即可展开式中,ab2项的系数为30,故答案为:30【点评】本题主要考查幂的意义,组合数公式,属于基础题16(3分)已知f(x)a(1

21、x)+2lnx(aR)在定义域上满足f(x)0恒成立,则a2【分析】求出原函数的导函数,可得a0时,不满足f(x)0恒成立;a0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减,求出函数的最大值,转化为最大值小于等于0,再由导数求解a值【解答】解:f(x)a(1x)+2lnx,f(x)(x0),若a0,则f(x)0,函数f(x)在(0,+)上为增函数,f(2)a+2ln20,不满足f(x)0恒成立;若a0,由f(x)0,得0x,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减由0,得令g(a)a2+2ln,则g(a)1当a(0,2)时,g(a)0,当a(2,+)时,g(a)0g(a)在

22、(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,又g(2)0,只有当a2时,有g(a)0a2故答案为:2【点评】本题考查恒成立问题的求解方法,考查数学转化思想方法,训练了利用导数求最值,是中档题三、解答题:共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-19题为必考题,每个试题考生都必须作答第20、21题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共30分17(10分)某超市举办酬宾活动,单次购物超过100元的顾客可参与一次抽奖活动,活动规则如下:盒子中装有大小和形状完全相同的7个小球,其中3个红球、2个白球和2个黑球,从中不放回地随机抽取2个球,每个球被抽到的机会均等每抽到1个红球记0分,每

23、抽到1个白球记50分,每抽到1个黑球记100分如果抽取2个球总得分200分可获得10元现金,总得分低于100分没有现金,其余得分可获得5元现金(1)设抽取2个球总得分为随机变量X求随机变量X的分布列;(2)设每位顾客一次抽奖获得现金Y元,求Y的数学期望【分析】(1)由题意X的可能得分为0,50,100,150,200,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量X的分布列(2)由题意得Y的可能取值为0,5,10,分别求出相应的概率,由此能求出Y的数学期望E(Y)【解答】解:(1)由题意X的可能得分为0,50,100,150,200,P(X0),P(X50),P(X100),P(X150),P(X20

24、0),X分布列为: X 0 50 100 150 200 P (2)由题意得Y的可能取值为0,5,10,P(Y0),P(Y5),P(Y10),Y的数学期望E(Y)【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查排列、古典概型等基础知识,中砂题18(10分)如图,四棱锥PABCD中,PDCD2,ADAB4,PB2,PDC,ABDC,BCDC(1)求证:PDBC;(2)求钝二面角APDC的余弦值【分析】(1)推导出BCPC,BCDC,从而BC平面PCD,由此能证明PDBC(2)以D为原点,过D作BC的平行给为x轴,DC为y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量

25、法能求出钝二面角APDC的余弦值【解答】解:(1)证明:四棱锥PABCD中,PDCD2,ADAB4,PB2,PDC,ABDC,PC2,BC2,PC2+BC2PB2,BCPC,BCDC,PCDCC,BC平面PCD,PD平面PCD,PDBC(2)解:以D为原点,过D作BC的平行给为x轴,DC为y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,平面PDC的法向量(1,0,0),设平面APD的法向量(x,y,z),A(2,2,0),D(0,0,0),P(0,1,),(2,2,0),(0,1,),则,取x1,得(1,1),设钝二面角APDC的平面角为,则cos钝二面角APDC的余弦值为【点评】本

26、题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题19(10分)已知函数f(x)exx2(1)当x0时,求f(x)的最小值;(2)若存在实数x1,x2,使得f(2x13)+(2x13)2,求x2x1的最小值【分析】(1)设函数f(x)exx2,根据函数的单调性证明即可;(2)设f(2x13)+(2x13)2+m,求出x1,x22,(m0),令h(x)2,(x0),根据函数的单调性求出其最小值即可【解答】解:(1)f(x)exx2f(x)ex2x,f(x)ex2,f(x)在0,ln2)递减,在(ln2,+)递增,故f(x)

27、f(ln2)22ln20,故f(x)在0,+)递增,故f(x)minf(0)1,(2)设f(2x13)+(2x13)2+m,x1R,则0,即m0,故2x13lnm,lnm,故x1,x22,x2x12,(m0),令h(x)2,(x0),则h(x)2,故h(x)2+0,故h(x)在(0,+)递增,且h()0,当x时,h(x)0,当0x时,h(x)0,故h(x)在(0,)递减,在(,+)递增,故x时,h(x)取最小值,此时h()+ln2,即x2x1的最小值是+ln2【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及转化思想,换元思想,是一道综合题四、(二)选考题:共10分请考生在第22、2

28、3题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题记分选修4-4:坐标系与参数方程20在平面直角坐标xOy中,直线L的参数方程为,(t为参敬,a为常数)以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2+4sin(l)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线L与曲线C相交于A、B两点,若|AB|24,求a的值【分析】(1)把直线l的参数方程(t为参数)中的参数消去,可得可得直线l的普通方程;由sin2+4sin,得2sin2+4sin2,结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程;(2)将直线l的参数方程代入曲线C,可得再由根与系数的关系及此时t的几

29、何意义求解【解答】解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,可得直线l的普通方程为;由sin2+4sin,得2sin2+4sin2,即y2+4yx2+y2,整理得x24y故曲线C的直角坐标方程为x24y;(2)将直线l的参数方程代入曲线C,可得于是64(a+3)0解得a3且,t1t216a|AB|t1t2|解得a6【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用,是中档题选修4-5:不等式选讲21(10分)设函数f(x)|x+2|+2|xm|(1)当m1时,解不等式f(x)x+3;(2)若存在实数x,使得不等式f(x)3+|m

30、x|成立,求实数m的取值范围【分析】(1)将m1代入f(x)中,然后去绝对值写成分段函数的形式,再根据f(x)x+3分别解不等式可得解集;(2)存在实数x,使得不等式f(x)3+|mx|成立,则只需3(|x+2|+|xm|)min,求出最小值后解关于m的不等式可得m的取值范围【解答】解:(1)当m1时,f(x)|x+2|+2|x1|,f(x)x+3,或或,或或x,不等式的解集为;(2)存在实数x,使得不等式f(x)3+|mx|成立,即存在实数x,使得|x+2|+|xm|3成立,只需3(|x+2|+|xm|)min,|x+2|+|xm|(x+2)(xm)|2+m|,当且仅当(x+2)(xm)时取等号,(|x+2|+|xm|)min|2+m|,|2+m|3,5m1,m的取值范围为5,1【点评】本题考查了解绝对值不等式和不等式有解问题,考查了分类讨论思想和转化思想,考查了计算能力,属中档题