1、2018-2019学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（5分）直线x+20的倾斜角为（）A0BCD2（5分）某校高中三个年级，其中高三有学生1000人，现用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一抽取了75人，高二抽取了60人，则高中部共有学生（）人A3700B2700C1500D12003（5分）设命题p：“x21，x1”，则p为（）Ax21，x1B1，x01Cx21，x1D1，x014（5分）设a，b，c为实数，且ab0，则下列不等式正确的是（）ABac2bc2CDa2ab
2、b25（5分）已知直线l1：ax+（a+1）y+10，l2：x+ay+20，则“a2”是“l1l2”（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A，s2+1002B+100，s2+1002C，s2D+100，s27（5分）已知双曲线1的焦点到渐近线的距离为2，则其焦距为（）A1B6C3D28（5分）设，是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（）A若，则B若m，n，且
3、mn，则C若，m，则mD若1，m，m，则ml9（5分）某市为调查某社区居民的家庭收入与年支出的关系，现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据：收入x（万元）8.59101111.5支出y（万元）6.27.58.08.59.8若该社区居民家庭收入与年支出存在线性相关关系，且根据上表得到的回归直线方程是，其中0.76，据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出约为（）A11.4万元B11.8万元C12.0万元D12.2万元10（5分）如图的程序框图的部分算法思路来源于我国古代内容极为丰富的数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为12，15，则输出的m（
4、）A3B30C60D18011（5分）设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线与x轴交于点A，点P在C是上，若2|PA|PF|，则直线PF的斜率为（）A或B或C或D或12（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0）、F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y24c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点，且AF1B90，则双曲线C的离心率为（）ABCD2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上13（5分）在区间3，5上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为 14（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z3x+y的最小值为 15（5分）三棱锥
5、OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直且长度分别为2cm，2cm，1cm，则其外接球的表面积是 cm216（5分）设A，B在圆x2+y24上运动，且|AB|2，点P在直线3x+4y150上运动则|+|的最小值是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）为了解某企业生产的某种产品的质量情况，从其生产的产品中随机抽取了部分产品，测量这些产品的一项质量指标值作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本的茎叶图（图中仅列出了质量指标值在50，60），80，90）的数据）（）
6、求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（）在选取的样本中，从质量指标值在80以上（含80）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取的2件产品来自不同组的概率18（12分）已知函数f（x）x2ax+3（）若f（x）3的解集为b，3，求实数a，b的值；（）若关于x的不等式f（x）1x2在x，2上有解，求实数a的取值范图19（12分）已知圆C的圆心在直线x2y0上，且经过点M（0，1），N（1，6）（）求圆C的方程；（）已知点A（1，1），B（7，4），若P为圆C上的一动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围20（12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，其中ABCD，ADC90，C
7、D2AB，E为SC的中点，（）证明：BE平面SAD；（）若SAAD，BEDC，且SAADCD2求二面角EBCD的余弦值21（12分）已知抛物线C的焦点是椭圆1的右焦点，准线方程为x1（）求抛物线C的方程；（）若抛物线C上不同的三点A，P，Q满足：A（m，2）且APAQ，求证：直线PQ过定点22（12分）设圆M：x2+y2+2x150的圆心为M，点N（1，0），P为圆M上的一动点，线段PN的中垂线与半径PM交于点Q，设点Q的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）若直线l：xmy4（mR）与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A，直线AB交x轴于点D，求当DAB面积最大时，直线l的方程201
8、8-2019学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1（5分）直线x+20的倾斜角为（）A0BCD【分析】直线x+20与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为【解答】解：直线x+20的斜率不存在，倾斜角为故选：D【点评】本题考查了直线方程与倾斜角的应用问题，是基础题2（5分）某校高中三个年级，其中高三有学生1000人，现用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一抽取了75人，高二抽取了60人，则高中部共有学生（）人A3700B2700C1500D1200【分析】由题意知从高
9、三年级抽取的人数，进而由分层抽样中各层的个体数占总体的比例相等，由比例的性质来得到答案【解答】解：由题意知从高三年级抽取的人数为185756050人所以该校高中部的总人数为10003700（人）故选：A【点评】本题考查分层抽样方法，注意分层抽样中根据各层的个体数占总体的比例来确定各层应抽取的样本容量3（5分）设命题p：“x21，x1”，则p为（）Ax21，x1B1，x01Cx21，x1D1，x01【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“x21，x1”，则p为1，x01故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关
10、系，是基础题4（5分）设a，b，c为实数，且ab0，则下列不等式正确的是（）ABac2bc2CDa2abb2【分析】A：作差判断不成立；B：c0时不成立；C：作差判断不成立【解答】解：对于A：0，A不正确；对于B：ac2bc2在c0时，不成立，B不正确；对于C：0，C不正确故选：D【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题5（5分）已知直线l1：ax+（a+1）y+10，l2：x+ay+20，则“a2”是“l1l2”（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用a2判断两条直线是否垂直，然后利用两条在的垂直求出a是的值，利用充要条件判断即可【解答】解：因
11、为直线l1：ax+（a+1）y+10，l2：x+ay+20，当“a2”时，直线l1：2xy+10，l2：x2y+20，满足k1k21，“l1l2”如果l1l2，所以a1+（a+1）a0，解答a2或a0，所以直线l1：ax+（a+1）y+10，l2：x+ay+20，则“a2”是“l1l2”充分不必要条件故选：A【点评】本题考查两条直线的位置关系，充要条件的判断方法的应用，考查计算能力6（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A，s2+1002B+100，s2+1
12、002C，s2D+100，s2【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论【解答】解：由题意知yixi+100，则（x1+x2+x10+10010）（x1+x2+x10）+100，方差s2（x1+100（+100）2+（x2+100（+100）2+（x10+100（+100）2（x1）2+（x2）2+（x10）2s2故选：D【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式7（5分）已知双曲线1的焦点到渐近线的距离为2，则其焦距为（）A1B6C3D2【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论【解答
13、】解：双曲线的渐近线为yx，不妨设为yx，即x+y0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离db2，则c3，则双曲线的焦距等于2c6，故选：B【点评】本题主要考查双曲线截距的求解，根据焦点到其渐近线的距离建立方程关系求出b的值是解决本题的关键8（5分）设，是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（）A若，则B若m，n，且mn，则C若，m，则mD若1，m，m，则ml【分析】在A中，与相交或平行；在B中，与相交或平行；在C中，m或m；在D中，由线面平行的性质定理得ml【解答】解：由，是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，知：在A中，若，则与相交或平行，故A错
14、误；在B中，若m，n，且mn，则与相交或平行，故B错误；在C中，若，m，则m或m，故C错误；在D中，若1，m，m，则由线面平行的性质定理得ml，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题9（5分）某市为调查某社区居民的家庭收入与年支出的关系，现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据：收入x（万元）8.59101111.5支出y（万元）6.27.58.08.59.8若该社区居民家庭收入与年支出存在线性相关关系，且根据上表得到的回归直线方程是，其中0.76，据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出约为
15、（）A11.4万元B11.8万元C12.0万元D12.2万元【分析】先根据线性回归直线过样本中心点得0.4，从而得回归方程，在将x15代入可求得y11.8万元【解答】解：10，8，再根据样本中心点（，）在回归直线上，所以80.7610+可得0.4，所以线性回归直线方程为0.76x+0.4，当x15时，y0.7615+0.4，解得y11.8元故选：B【点评】本题考查了线性回归方程，属中档题10（5分）如图的程序框图的部分算法思路来源于我国古代内容极为丰富的数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为12，15，则输出的m（）A3B30C60D180【分析】由已知中的
16、程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得a12，b15，t1215180，不满足条件ab，b1253满足条件ab，a1239满足条件ab，a936满足条件ab，a633此时，不满足条件ab，计算并输出m60故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题11（5分）设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线与x轴交于点A，点P在C是上，若2|PA|PF|，则直线PF的斜率为（）A或B或C或D或【分析】如图所示，过点P作PE
17、准线，垂足为点E利用抛物线的定义可得|PE|PF|结合已知条件，利用余弦定理，转化求解即可【解答】解：如图所示，过点P作PE准线，垂足为点E则|PE|PF|，设：PEn，PA，AFp，在APE中，EPA，cos，设PFA，可得：n2p2+n2pn，解得p或p；当p时，可得cos，直线PF的斜率为：，当p时，可得cos，直线PF的斜率为：，故选：C【点评】本题考查了抛物线的定义、三角形的边角关系、三角函数、直线的斜率等基础知识与基本技能方法，属于中档题12（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1（c，0）、F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y24c2与双曲线C位于x轴上
18、方的两个交点，且AF1B90，则双曲线C的离心率为（）ABCD2【分析】求得圆的圆心和半径，运用双曲线的定义和余弦定理，同角平方关系，化简变形可得a，c的方程，由离心率公式，解方程可得所求值【解答】解：圆（x+c）2+y24c2的圆心为（c，0），半径为2c，且|AF1|2c，|BF1|2c，由双曲线的定义可得|AF2|2a+2c，|BF2|2c2a，设BF1F2，在三角形BF1F2中，cos，在三角形AF1F2中，cos（90+）sin，由sin2+cos21，化简可得（c2+a2）22c4，即为c2+a2c2，即有a2（1）c2，可得e故选：A【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用
19、双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上13（5分）在区间3，5上随机取一个实数x，则事件“”发生的概率为【分析】由，得2x0，由此利用几何概型概率计算公式能求出事件“”发生的概率【解答】解：，2x0，在区间3，5上随机取一个实数x，由几何概型概率计算公式得：事件“”发生的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z3x+y的最小值为8【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得
20、如图的ABC及其内部，再将目标函数z3x+y对应的直线进行平移，可得当xy2时，z3x+y取得最小值为8【解答】解：作出约束条件表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（2，2），B（，），C（3，2）设zF（x，y）3x+y，将直线l：z3x+y进行平移，当l经过点A（2，2）时，目标函数z达到最小值z最小值F（2，2）8故答案为：8【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z3x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题15（5分）三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直且长度分别为2cm，2cm，1cm，则其外接球的表面积是9c
21、m2【分析】三棱锥OABC的三条侧棱OA、OB、OC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积【解答】解：三棱锥OABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：3，所以球的直径是3，半径长R球的表面积S4R29故答案为：9【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题将三棱锥扩展为长方体是本题的关键16（5分）设A，B在圆x2+y24上运动，且|AB|2，点P在直线3x+4y150上运动则|+|的最小值是4【分析】取AB的中点M，得M的轨迹
22、是以O为圆心1为半径的圆，根据|+|2|的最小值等于O到直线3x+4y150的距离减去1可得【解答】解：取AB的中点M，连OM，则OMAB，|OM|1，即点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆|+|2|，设点O到直线3x+4y150的距离为d3，所以|d|312，2|4（当且仅当OPl，M为线段OP与圆x2+y21的交点时取等）故答案为：4【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）为了解某企业生产的某种产品的质量情况，从其生产的产品中随机抽取了部分产品，测量这些产品的一项质量指标值作为样本（样本容量为n）进行统计，按照5
23、0，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本的茎叶图（图中仅列出了质量指标值在50，60），80，90）的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；（）在选取的样本中，从质量指标值在80以上（含80）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取的2件产品来自不同组的概率【分析】（）由频率分布直方图得50，60）的频率0.16，由茎叶图得50，60）的频数为8，由此能求出样本容量，再由茎叶图得80，90）的频数为4，能求出x，y（）在选取的样本中，质量指标值在80，90）的有4件，90，100）的有2件，从质量指标值在80以上（含80）的
24、产品中随机抽取2件产品，基本事件总数n15，所抽取的2件产品来自不同组包含的基本事件个数m8，由此能求出所抽取的2件产品来自不同组的概率【解答】解：（）由频率分布直方图得50，60）的频率为：0.016100.16，由茎叶图得50，60）的频数为8，样本容量n50由茎叶图得80，90）的频数为4，y0.008，（0.016+x+0.040+0.008+0.004）101，解得x0.032（）在选取的样本中，质量指标值在80，90）的有4件，90，100）的有：0.00410502件，从质量指标值在80以上（含80）的产品中随机抽取2件产品，基本事件总数n15，所抽取的2件产品来自不同组包含的基
25、本事件个数m8，所抽取的2件产品来自不同组的概率p【点评】本题考查样本容量、频率、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题18（12分）已知函数f（x）x2ax+3（）若f（x）3的解集为b，3，求实数a，b的值；（）若关于x的不等式f（x）1x2在x，2上有解，求实数a的取值范图【分析】（）由题意把不等式f（x）3化为x2ax+60，根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值；（）把不等式化为a2（x+），求出g（x）2（x+）在x，2的最小值，即可得出实数a的取值范图【解答】解：（）函数f（x）x2ax+3，则f
26、（x）3化为x2ax+33，即x2ax+60，且该不等式的解集为b，3，b，3是方程x2ax+60的实数根，解得a5，b2；（）关于x的不等式f（x）1x2在可化为x2ax+31x2，即ax2x2+2；又x，2，a2（x+）；设g（x）2（x+），其中x，2，则g（x）224，当且仅当x1时取“”；又关于x的不等式f（x）1x2在x，2上有解，等价于af（x）min4，所以实数a的取值范图是4，+）【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题19（12分）已知圆C的圆心在直线x2y0上，且经过点M（0，1），N（1，6）（）求圆C的方程；（）已知
27、点A（1，1），B（7，4），若P为圆C上的一动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围【分析】（）设圆心 C（a，b）则 a2b0，即a2b，由|MC|NC|列式可解得a4，b2，r5从而可得圆C的标准方程；（）设P（x，y），根据两点间的距离公式可得|PA|2+|PB|21172y，再根据y的范围可得【解答】解：（）设圆心 C（a，b）则 a2b0，即a2b，由|MC|NC|得 ，解得b2，a4，圆的半径r5，圆C的方程为：（x4）2+（y2）225（）设P（x，y），则（x4）2+（y2）225，即x2+y225+8x+4y则|PA|2+|PB|2（x1）2+（y1）2+（x7）2+（y4
28、）22x2+2y216x10y+6750+16x+8y16x10y+671172y，3y7，1031172y123故|PA|2+|PB|2的取值范围是103，123【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题20（12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，其中ABCD，ADC90，CD2AB，E为SC的中点，（）证明：BE平面SAD；（）若SAAD，BEDC，且SAADCD2求二面角EBCD的余弦值【分析】（）取CD中点F，连结BF、EF，推导出BFAD，EFSD，从而平面SAD平面EFB，由此能证明BE平面SAD（）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间
29、直角坐标系，利用向量法能求出二面角EBCD的余弦值【解答】证明：（）取CD中点F，连结BF、EF，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC90，CD2AB，E为SC的中点，BFAD，EFSD，SDADD，EFBFF，平面SAD平面EFB，BE平面BEF，BE平面SAD解：（）SAAD，BEDC，且SAADCD2以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，S（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），B（0，1，0），（2，1，0），（1，0，1），设平面BCE的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，2，1），平面BCD的法向量（0，0，
30、1），设二面角EBCD的平面角为，则cos二面角EBCD的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题21（12分）已知抛物线C的焦点是椭圆1的右焦点，准线方程为x1（）求抛物线C的方程；（）若抛物线C上不同的三点A，P，Q满足：A（m，2）且APAQ，求证：直线PQ过定点【分析】（）椭圆1的右焦点为（1，0），其准线方程为x1可得1，即可求出抛物线的方程；（）先求出点A的坐标，再设P（，y1），Q（，y2），设直线PQ的方程为xty+s，根据韦达定理和向量的运算即可得到s2t
31、+5，或s2t+1，分类讨论即可求出直线过定点【解答】解：（）椭圆1的右焦点为（1，0），其准线方程为x11，即p2，抛物线C的方程为y24x（）由A（m，.2）可得44m，可得m1设P（，y1），Q（，y2），设直线PQ的方程为xty+s，由，消x可得y24ty4s0，y1+y24t，y1y24sA（1，2）且APAQ，（1，y12）（1，y22），（1）（1）+（y12）（y22），（y12+y22）+1+y1y22（y1+y2）+4，（y1+y2）2+y1y22（y1+y2）+5，16t24s24t+5，s24t26s8t+5，（s3）24（t1）20s32（t+1）或s32（t+1），
32、即s2t+5，或s2t+1当s2t+5时，直线PQ的方程为xty+2t+5，即为x5t（y+2），即直线过定点（5，2），当s2t+1时，直线PQ的方程为xty2t+1，即为x1t（y2），即直线过定点（1，2），此时与点P重合，故应舍去，综上所述直线过定点（5，2）【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22（12分）设圆M：x2+y2+2x150的圆心为M，点N（1，0），P为圆M上的一动点，线段PN的中垂线与半径PM交于点Q，设点Q的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）若直线l：xmy4（mR）与曲线E交于A，B
33、两点，点A关于x轴的对称点为A，直线AB交x轴于点D，求当DAB面积最大时，直线l的方程【分析】（I）根据中垂线性质可得QM+QNQM+QPPM4，故点Q的轨迹为椭圆；（II）求出D点坐标，求出弦长|AB|，代入面积公式，利用换元法和基本不等式得出面积取得最大值的条件，进而得出m的值【解答】解：（I）圆M的圆心为M（1，0），半径PM4Q是PN的中垂线与半径PM的交点，QM+QNQM+QPPM4点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆设椭圆方程为则2a4，c1，a2，b，曲线E的方程是+1（II）联立方程组，消去x可得：（3m2+4）y224my+360，576m2144（3m2+4）0，m240设A（x1，y1），B（x2，y2），则A（x1，y1），y1y2，y1+y2直线AB的方程为，令y0得xx1+41D（1，0）故D到直线AB的距离d，又|AB|，DAB的面积S|AB|d，令t，则m2t2+4，S当且仅当3t即t2时取等号当t2时，m2，即m当DAB面积最大时，直线l的方程为xy4【点评】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，考查设而不求法的应用，属于中档题