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2018-2019学年四川省眉山市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019学年四川省眉山市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)设定点F1(2,0),F2(2,0),平面内满足|PF1|+|PF2|4的动点P的轨迹是()A椭圆B线段C双曲线D不存在2(5分)已知平面和直线l,则内至少有一条直线与l()A平行B相交C垂直D异面3(5分)平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若,则下列式子中与相等的是()AB+C+D+4(5分)已知直线3x+4y30与直线6x+my+140平行,则它们之间的距离是()ABC8D25(5分)若圆

2、C1:x2+y21与圆C2:x2+y26x8y+n0内切,则n()A21B9C19D116(5分)“a1”是“直线l1:ax+2y80与直线l2:x+(a+1)y+40平行”的()A充分而不必要条件B必要而充分不条件C充要条件D既不充分也不必要条件7(5分)已知双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线过点(4,3),且其右焦点为F2(5,0),则双曲线的方程为()ABCD8(5分)已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A若m,n,mn,则B若m,n,则mnC若m,n是异面直线,m,m,n,n,则D若,m,n,则mn9(5分)某企业生产甲、乙两种产品均需要A,B两种原

3、料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3210B(吨)126A10万元B12万元C13万元D14万元10(5分)如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC,则BD与平面ABC所成角的正切值为()ABC1D11(5分)已知A(2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx0上的动点,如果M,N关于直线xy10对称,则PAB面积的最大值是()AB4C6D12(5分)已知直线l:xy+30和点A(

4、0,1),抛物线yx2上一动点P到直线l和点A的距离之和的最小值是()A2B1C+1D2+2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上13(5分)命题“x0,+),x2+x0”的否定是 14(5分)若x,y满足约束条件,则zxy的最大值为 15(5分)如图,F1,F2分别是椭圆1(ab0)的左右焦点,以F1F2为直径的圆O与椭圆交于点A,B,C,D,若AB所在直线垂直平分线段OF2,则椭圆的离心率为 16(5分)如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线B1C上运动,则下列四个命题:AP面A1C1DA1PBC1平面PD1B平面A1C1D三棱锥A

5、1DPC1的体积不变其中正确的命题序号是 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17(10分)已知ABC的三个顶点分别为A(4,0),B(0,2),C(2,2),求:(1)AB边上的高所在直线的方程;(2)ABC的外接圆的方程18(12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,各条棱长均为2,M,N分别为CC1,AB的中点(1)求证:CN平面AB1M;(2)求异面直线CN与B1M所成角的余弦值19(12分)已知圆C:x2+y28x+120,直线l:x+ay+2a0(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB

6、|2时,求直线l的方程20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PDDC2BC2,PD平面ABCD,E是PC的中点,过E作EFPB交PB于F(1)求证:平面PBD平面DEF;(2)求二面角CPBD的余弦值21(12分)已知椭圆C:1(ab0)的短轴长为2,离心率为,直线l:yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M,N,A为椭圆C的左顶点(1)求椭圆C的标准方程;(2)当AMN的面积为时,求1的方程22(12分)已知抛物线E:x22py(p0)的焦点为F,直线x2与x轴的交点为M,与抛物线E的交点为N,且4|FN|5|MN|(1)求抛物线E的方程;(2)若直线ykx+2与E交于A

7、,B两点,C(0,2),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,求证:k12+k222k2为定值2018-2019学年四川省眉山市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)设定点F1(2,0),F2(2,0),平面内满足|PF1|+|PF2|4的动点P的轨迹是()A椭圆B线段C双曲线D不存在【分析】利用已知条件判断轨迹方程,推出结果即可【解答】解:定点F1(2,0)、F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|4|F1F2|的动点P的轨迹为线段F1F2,故选:B【点评】本题考

8、查轨迹方程的求法,考查转化思想以及计算能力2(5分)已知平面和直线l,则内至少有一条直线与l()A平行B相交C垂直D异面【分析】根据平面和直线l,则直线l在平面内,或与平面平行,或平面相交,可以把这直线和平面放在长方体中进行研究,即可得到答案【解答】解:在长方体ABCDA1B1C1D1中,平面为面AC,若直线l为直线AB,则直线ADAB;若直线l为直线A1B1,则直线ADA1B1;若直线l为直线AC1,直线BDAC1;故选:C【点评】此题是个基础题考查学生对直线和平面位置关系的理解,在空间图形中,只有平行具有传递性,在解决立体几何问题时,把图形放入长方体是常用的解题方法,体现了数形结合的思想3

9、(5分)平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若,则下列式子中与相等的是()AB+C+D+【分析】推导出+(),由此能求出结果【解答】解:平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,+()+故选:A【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间向量的加法法则等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题4(5分)已知直线3x+4y30与直线6x+my+140平行,则它们之间的距离是()ABC8D2【分析】根据两平行直线的斜率相等,在纵轴上的截距不相等,求出 m,利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离【解答】解:直线3x+4y30与直线6x+m

10、y+140平行,m8,故直线6x+my+140 即3x+4y+70,故两平行直线间的距离为 2,故选:D【点评】本题考查两直线平行的性质,两平行直线间的距离公式的应用5(5分)若圆C1:x2+y21与圆C2:x2+y26x8y+n0内切,则n()A21B9C19D11【分析】根据题意,分析圆C2的圆心与半径,由圆与圆的位置关系可得1,解可得n的值,即可得答案【解答】解:根据题意,圆C2:x2+y26x8y+n0,其标准方程为(x3)2+(y4)225n,其圆心为(3,4),半径r,若圆C1:x2+y21与圆C2:x2+y26x8y+n0内切,则有1,解可得n11;故选:D【点评】本题考查圆与圆

11、的位置关系,注意分析圆C2的圆心半径6(5分)“a1”是“直线l1:ax+2y80与直线l2:x+(a+1)y+40平行”的()A充分而不必要条件B必要而充分不条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解:若直线l1:ax+2y80与直线l2:x+(a+1)y+40平行,则a(a+1)20,即a2+a20,解得a1或a2,当a2时,直线l1方程为2x+2y80,即xy+40,直线l2:xy+40,此时两直线重合,则a2,故“a1”是“直线l1:ax+2y80与直线l2:x+(a+1)y+40平行”的充要条件,故选:C【点评】本题

12、主要考查充分条件和必要条件的判断,根据直线平行的等价条件是解决本题的关键7(5分)已知双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线过点(4,3),且其右焦点为F2(5,0),则双曲线的方程为()ABCD【分析】利用已知条件列出方程组,求出a,b即可得到双曲线方程【解答】解:双曲线C:1(a0,b0)的一条渐近线过点(4,3),可得,其右焦点为F2(5,0),可得a2+b225,可得a4,b3,所以双曲线的方程为:故选:B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,是基本知识的考查8(5分)已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A若m,n,mn,则B若m,n

13、,则mnC若m,n是异面直线,m,m,n,n,则D若,m,n,则mn【分析】通过图示容易否定A,B,D,故选C【解答】解:A如图可否定A;B如图可否定B;D如图可否定D,故选:C【点评】此题考查了线面位置关系,难度较小9(5分)某企业生产甲、乙两种产品均需要A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3210B(吨)126A10万元B12万元C13万元D14万元【分析】设该企业生产甲产品x吨,乙产品y吨,利润为z万元,根据条件求出约束条件和目标函数,利用线性规划

14、的知识进行求解即可【解答】解:设该企业生产甲产品x吨,乙产品y吨,利润为z万元,则约束条件为,且x,y0,目标函数z3x+4y,作出不等式组对应的平面区域如图:由z3x+4y,得yx+,平移直线yx+,由图象知当直线yx+经过点A时,yx+的截距最大,此时z最大,由得,即A(2,2),此时z32+426+814(万元),即该企业生产甲产品2吨,乙产品2吨,利润为14万元,故选:D【点评】本题主要考查线性规划的应用问题,求出约束条件和目标函数,作出对应区域,利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本题的关键10(5分)如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角BADC,则BD与平面

15、ABC所成角的正切值为()ABC1D【分析】取BC中点F连AF过D作DEAF,连接BE,证明DBE为BD与平面ABC所成角,在RtBED中,求出BD与平面ABC所成角的正切值【解答】解:取BC中点F连AF过D作DEAF,连接BE,BDCD,DFBC,ADBD,ADCD,BDCDDAD平面BCD,BC平面BCD,ADBC,BC平面ADF,BCDE,DEAF,BCAFF,DE平面ABC,DBE为BD与平面ABC所成角,设AB1,则BDAD,BC1,AFDF,在RtADF中,DE,在RtBED中,BE,tanBDE故选:B【点评】本题考查BD与平面ABC所成角的正切值,考查学生的计算能力,正确作出直

16、线与平面所成的角是关键11(5分)已知A(2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx0上的动点,如果M,N关于直线xy10对称,则PAB面积的最大值是()AB4C6D【分析】利用M,N是圆x2+y2+kx0上不同的两点,M,N关于xy10对称,可得圆心坐标与半径,进而可求PAB面积的最大值【解答】解:由题意,圆x2+y2+kx0的圆心(,0)在直线xy10上,10,k2圆x2+y2+kx0的圆心坐标为(1,0),半径为1A(2,0),B(0,2),直线AB的方程为+1,即xy+20圆心到直线AB的距离为PAB面积的最大值是2(1+)3

17、+故选:D【点评】本题考查圆的对称性,考查三角形面积的计算,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题12(5分)已知直线l:xy+30和点A(0,1),抛物线yx2上一动点P到直线l和点A的距离之和的最小值是()A2B1C+1D2+2【分析】过点P作PC垂直于抛物线的准线m,垂足为点C,过点P作PB垂直于直线l,垂足为点B,然后将直线l的方程与抛物线的方程联立,求出两个交点M、N的坐标,问题即为求|PB|+|PC|的最小值,结合图形,观察得出当点P位于点M时取最小值,结合图形可得出答案【解答】解:如下图所示,过点P作PBl,垂足为点B,过点P作PC垂直于抛物线的准线m:x1,垂足

18、为点C,易知抛物线为点A(0,1),则点P到A的距离等于点P到抛物线的准线m:x1的距离,及|PA|PC|,则|PA|+|PB|PC|+|PB|,将直线l的方程与抛物线的方程联立,消去y得,x24x120,解得或,则直线l交抛物线于点M(2,1)和点N(6,9)问题为求|PB|+|PC|的最小值,当点P位于点M时,|PB|+|PC|取得最小值,且最小值为点M到直线m的距离为2故选:A【点评】本题考查直线与抛物线的综合问题,考查抛物线的定义,考查数形结合思想的应用,属于中等题二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上13(5分)命题“x0,+),x2+x0

19、”的否定是x00,+),x02+x00【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“x0,+),x2+x0”的否定是x00,+),x02+x00故答案为:x00,+),x02+x00【点评】本题考查的知识点是命题的否定,其中熟练掌握全称命题:“xA,P(x)”的否定是特称命题:“xA,非P(x)”,是解答此类问题的关键14(5分)若x,y满足约束条件,则zxy的最大值为1【分析】先根据约束条件画出可行域,设zxy,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线zxy过可行域内的点A时,从而得到zxy的最大值即可【解答】解:依题意,画出x,y满

20、足约束条件可行域(如图示),则对于目标函数yxz,当直线zxy经过A(2,1)时,z取到最大值,Zmax1故答案为:1【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,目标函数有唯一最优解是最常见的问题,这类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解,属中档题15(5分)如图,F1,F2分别是椭圆1(ab0)的左右焦点,以F1F2为直径的圆O与椭圆交于点A,B,C,D,若AB所在直线垂直平分线段OF2,则椭圆的离心率为【分析】由题意得到A点坐标,利用椭圆方程的定义即可求得AF1+AF2+2a从而求得椭圆的离心率;【解答】解:可得OAc,AB所在直线

21、垂直平分线段OF2,A()F1(c,0),F2(c,0),AF1+AF2+2a则椭圆的离心率为e故答案为:1【点评】本题考查椭圆的定义,椭圆的离心率的计算,是中档题16(5分)如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线B1C上运动,则下列四个命题:AP面A1C1DA1PBC1平面PD1B平面A1C1D三棱锥A1DPC1的体积不变其中正确的命题序号是【分析】由面面平行的判定与性质判断正确;由线面垂直的判定与性质判断正确;由线面垂直的判定及面面垂直的判定判断正确;利用等积法说明正确【解答】解:对于,连接AB1,AC,可得ACA1C1,AB1DC1,B1AC面A1C1D,从而有AP面A1C

22、1D,故正确;对于,由A1B1BC1,B1CBC1,且A1B1B1CB1,得BC1平面A1B1CD,则A1PBC1,故正确;对于,连接D1B,由D1BA1C1且D1BA1D,可得D1B面A1C1D,又BD1平面PD1B,由面面垂直的判定知平面PD1B平面A1C1D,故正确;对于,容易证明A1DB1C,从而B1C平面A1DC1,故B1C上任意一点到平面A1DC1的距离均相等,以P为顶点,平面A1DC1为底面,则三棱锥A1DPC1的体积不变,故正确正确命题的序号是故答案为:【点评】本题考查棱柱的结构特征,考查命题的真假判断与应用,考查空间想象能力与思维能力,是中档题三、解答题:本大题共6小题,共7

23、0分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17(10分)已知ABC的三个顶点分别为A(4,0),B(0,2),C(2,2),求:(1)AB边上的高所在直线的方程;(2)ABC的外接圆的方程【分析】(1)由AB的斜率的AB上的高所在直线的斜率,再由点斜式得直线方程;(2)设三角形外接圆的一般方程,再代入三个点的坐标,解方程组可得【解答】解:(1)直线AB的斜率为,AB边上的高所在直线的斜率为2,.(2分)则AB边上的高所在直线的方程为y+22(x2),(4分)即2x+y20(5分)(2)设ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0(6分)由,解之可得(9分)故ABC的外接圆的方程为x2

24、+y2+2x+2y80(10分)【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题18(12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,各条棱长均为2,M,N分别为CC1,AB的中点(1)求证:CN平面AB1M;(2)求异面直线CN与B1M所成角的余弦值【分析】(1)取AB1的中点Q,连结NQ,MQ,推导出四边形NQMC是平行四边形,NCMQ,由此能证明CN平面AB1M(2)取BB1中点R,连结CR,NR,推导出四边形CMBR是平行四边形,从而CRB1M,进而RCM为异面直线CN与B1M所成角,异面直线CN与B1M所成角的余弦值【解答】证明:(1)取AB1的中点Q,连结NQ,MQ,N,Q分

25、别是AB,AB1的中点,NQ,又M是CC1的中点,MCBB1,NQMC,四边形NQMC是平行四边形,NCMQ,CN平面AB1M,MQ平面AB1M,CN平面AB1M解:(2)取BB1中点R,连结CR,NR,M,R分别是CC1,BB1的中点,CMB1R,四边形CMBR是平行四边形,CRB1M,RCM为异面直线CN与B1M所成角,ABC是边长为2正三角形,CN,又三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,CR,NR,CN2+NR2CR2,RNC90,cos,异面直线CN与B1M所成角的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,

26、考查空间想象能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,是中档题19(12分)已知圆C:x2+y28x+120,直线l:x+ay+2a0(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|2时,求直线l的方程【分析】(1)根据题意,由圆的方程分析圆心与半径,结合直线与圆的位置关系可得2,解可得a的值,即可得答案;(2)根据题意,设圆心C到直线l的距离为d,结合直线与圆的位置关系可得:()2+d2r2,解可得d的值,由点到直线的距离公式可得d,解可得a的值,将a的值代入直线的方程即可得答案【解答】解:(1)根据题意,圆C:x2+y28x+120,则圆C

27、的方程为(x1)2+y21,其圆心为(1,0),半径r2;若直线l与圆C相切,则有2,解可得a;(2)设圆心C到直线l的距离为d,则有()2+d2r2,即2+d24,解可得d,则有d,解可得a1或7;则直线l的方程为xy20或x7y140【点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及直线与圆相切、相交的性质,属于基础题20(12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PDDC2BC2,PD平面ABCD,E是PC的中点,过E作EFPB交PB于F(1)求证:平面PBD平面DEF;(2)求二面角CPBD的余弦值【分析】(1)推导出PDBC,BCCD,从而BC平面PCD,进而BCDE,再由DEP

28、C,得DE面PBC,从而DEPB,再由EFPB,得PB面DEF,由此能证明平面PBD平面DEF(2)以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,利用向量法能求出二面角CPBD的余弦值【解答】证明:(1)PD平面ABCD,PDBC,四边形ABCD是矩形,BCCD,PDCDD,BC平面PCD,而DE面PCD,BCDE,(2分)PDDC,E是PC的中点,DEPC,DE面PBC,DEPB,(4分)又EFPB,PB面DEF,PB平面PBD,平面PBD平面DEF(6分)解:(2)以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),B(1,2,

29、0),P(0,0,2),E(0,1,1),.(7分)由(1)可知面PBC的一个法向量(0,1,1),.(8分)设面PBD的一个法向量(x,y,z),(1,2,0),(0,0,2),由,令x2,则(2,1,0),(10分)设二面角CPBD的平面角为,则cos,二面角CPBD的余弦值为(12分)【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题21(12分)已知椭圆C:1(ab0)的短轴长为2,离心率为,直线l:yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M,N,A为椭圆C的左顶点(1)求椭圆C的标准方程;

30、(2)当AMN的面积为时,求1的方程【分析】(1)根据椭圆短轴长为2,离心率,可建立方程组求得a,b,从而可求椭圆C的方程;(2)直线yk(x1)与椭圆C联立,消元可得(3+4k2)x26k2x+4k2120,从而可求|MN|,求出A(2,0)到直线yk(x1)的距离,利用AMN的面积为,可求k的值【解答】解:(1)依题意2b2,而a2b2+c2 (2分)解之可得a2,b,c1 (4分)椭圆C的标准方程为 (5分)(2)设设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y得消元可得(3+4k2)x26k2x+4k2120.(6分)则x1+x2 则x1+x2,x(8分)|MN|x1x2|(9分)点A

31、(2,0)到直线yk(x1)的距离为d.(10分)S|MN|d17k4+k2180k1直线l的方程为xy10或x+y10.(12分)【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式22(12分)已知抛物线E:x22py(p0)的焦点为F,直线x2与x轴的交点为M,与抛物线E的交点为N,且4|FN|5|MN|(1)求抛物线E的方程;(2)若直线ykx+2与E交于A,B两点,C(0,2),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,求证:k12+k222k2为定值【分析】(1)先求出点N的坐标,再利用两点间的距离公式以及抛物线的定义,并结合条件4|F

32、N|5|MN|求出p的值,可得出抛物线E的方程;(2)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),将直线l的方程与抛物线E的方程联立,列出韦达定理,利用两点间的斜率公式并代入韦达定理可计算出k12+k222k2为定值【解答】解:(1)设N(2,y0),代入x22py,得,而M(2,0),则又,由4|FN|5|MN|,得,则p1,因此,抛物线E的方程为x22y;(2)设点A(x1,y1)、B(x2,y2),由,得x22kx40由韦达定理可得x1+x22k,x1x244k2+160,2k24k2+4k2+82k2+8,因此,【点评】本题考查直线与抛物线的综合,考查抛物线的定义及抛物线方程的求解,考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用,考查计算能力,属于中等题