1、2017-2018学年云南省红河州个旧一中高二（下）第二次模拟数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集U0，1，2，3，集合AxN|（x1）（x3）0，则集合UA中元素的个数是（）A1B2C3D42（5分）在等差数列an中，a3+a512a7，则a1+a9（）A8B12C16D203（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，使得ex00Bsin2x+3（xk，kZ）CxR，2xx2Da1，b1是ab1的充分不必要条件4（5分）当时，若，则sincos的值为（）ABCD5（5分）平面直角坐标系xOy中，、分
2、别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，向量2，+，以下说法正确的是（）A|B（）C1D6（5分）在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段AB两端点的距离都大于1m的概率等于（）ABCD7（5分）若将函数y2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）Ax（kZ）Bx+（kZ）Cx（kZ）Dx+（kZ）8（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a（）ABC4D59（5分）设函数，若，则实数a（）ABC或 D2或 10（5分）设实数x，y满足约束条件，则zx2+y2的最小值为（）AB10C8D511（5分）双曲线的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程是（）ABC
3、D12（5分）在正三棱柱ABCA1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱）中，所有棱长之和为定值a若正三棱柱ABCA1B1C1的顶点都在球O的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（）ABC12D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线在点（1，1）处的切线方程为 14（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b 15（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为 16（5分）过椭圆1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是 三、
4、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）设函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b+c3，求ABC的面积18（12分）已知Sn为等比数列an的前n项和，S2，S4，S3成等差数列，且（I）求数列an的通项公式；（）设bnn|an|，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PAAC2，PADDAC60，CEAD于E（1）求证：ADPC；（2）若平面PAD平面ABCD，且AD3，求二面角CPDA的余弦值20（12分）已知椭圆C：+1（ab0），其左、右焦点分别
5、为F1、F2，离心率为，点R坐标为（2，），又点F2在线段RF1的中垂线上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的左右顶点分别为A1，A2，点P在直线x2上（点P不在x轴上），直线PA1与椭圆C交于点N，直线PA2与椭圆C交M，线段MN的中点为Q，证明：2|A1Q|MN|21（12分）已知函数f（x）x2lnxax，aR（）当a1时，求f（x）的最小值；（）若f（x）x，求a的取值范围选修4-5：不等式选讲（10分）22（10分）已知函数f（x）|x+6|mx|（mR）（I）当m3时，求不等式f（x）5的解集；（II）若不等式f（x）7对任意实数x恒成立，求m的取值范围2017-2018学年云南省红
6、河州个旧一中高二（下）第二次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集U0，1，2，3，集合AxN|（x1）（x3）0，则集合UA中元素的个数是（）A1B2C3D4【分析】可解出集合A，然后进行补集的运算即可【解答】解：A1，2，3；UA0故选：A【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，以及补集的运算2（5分）在等差数列an中，a3+a512a7，则a1+a9（）A8B12C16D20【分析】在等差数列an中，a3+a512a7，可得a3+a5+a7123a5，解得a5，再利用a1+
7、a92a5，即可得出【解答】解：在等差数列an中，a3+a512a7，a3+a5+a7123a5，解得a54，则a1+a92a58，故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，使得ex00Bsin2x+3（xk，kZ）CxR，2xx2Da1，b1是ab1的充分不必要条件【分析】根据指数函数的值域为（0，+），可判断A；举出反例，sinx1可判断B；举出反例x3，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D【解答】解：ex0恒成立，故Ax0R，使得ex00错误；当sinx1时，sin2x+1，故B错误；当x3时，
8、2332，故C错误；当a1，b1时，ab1成立，反之，当ab1时，a1，b1不一定成立，故a1，b1是ab1的充分不必要条件，故D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了全称命题，特称命题，充要条件等知识点，难度不大，属于基础题4（5分）当时，若，则sincos的值为（）ABCD【分析】根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系，求解即可【解答】解：由诱导公式得，所以；又，且，所以sincos0，所以故选：C【点评】本题考查了三角函数诱导公式以及同角的三角函数基本关系应用问题，是基础题5（5分）平面直角坐标系xOy中，、分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，向量2，+，以下说
9、法正确的是（）A|B（）C1D【分析】利用向量的坐标运算，判断向量的数量积求解即可【解答】解：平面直角坐标系xOy中，、分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，向量2，+，可得（2，0），（1，1），所以|2，|，所以A不正确；（1，1），（1，1），（）0，所以（）正确；2，所以C不正确；不正确；故选：B【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直与平行的判断，是基本知识的考查6（5分）在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段AB两端点的距离都大于1m的概率等于（）ABCD【分析】求得满足条件的线段的长度，利用线段的长度比求概率【解答】解：在线段AB上取两点C，D，使得ACBD1，则
10、当P在线段CD上时，点P与线段两端点A、B的距离都大于1m，CD321，所求概率P故选：D【点评】本题考查了几何概型的概率计算，利用线段的长度比求概率是几何概型概率计算的常用方法7（5分）若将函数y2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）Ax（kZ）Bx+（kZ）Cx（kZ）Dx+（kZ）【分析】利用函数yAsin（x+）（A0，0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案【解答】解：将函数y2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y2sin2（x+）2sin（2x+），由2x+k+（kZ）得：x+（kZ），即平移后的图象的对称轴方程为x+（kZ），故选：B【点评】本
11、题考查函数yAsin（x+）（A0，0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题8（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a（）ABC4D5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当n1时，满足执行循环的条件，故a，n2，当n2时，满足执行循环的条件，故a5，n3，当n3时，满足执行循环的条件，故a，n4，当n4时，满足执行循环的条件，故a，n5，观察规律可知a的取值周期为3，可得：当n2015时，满足执行循环的条件，故a5，n2016，当n2016时，满足执行循环的条件
12、，故a，n2017当n2017时，满足执行循环的条件，故a，n2018当n2018时，满足执行循环的条件，故a5，n2019当n2019时，不满足执行循环的条件，退出循环，输出的a值为5故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题9（5分）设函数，若，则实数a（）ABC或 D2或 【分析】推导出f（），当1时，f（f（）4（）+a4，当1时，f（f（）4，由此能求出实数a【解答】解：函数，f（），当1时，f（f（）4（）+a4，解得a，不成立；当1时，f（f（）4，解得a综上，a故选：A【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质
13、等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10（5分）设实数x，y满足约束条件，则zx2+y2的最小值为（）AB10C8D5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：zx2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则zx2+y2的最小值为：10故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键11（5分）双曲线的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程是（）ABCD【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式分析可得c2a，
14、进而可得ba，结合双曲线的焦点位置分析可得双曲线的渐近线方程，又由直线与圆的位置关系可得，解可得a的值，进而可得b的值，将a、b的值代入双曲线的方程，即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，即e2，则c2a，则ba，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为yx，即yx0，若双曲线的渐近线与圆相切，则有，解可得a1，则b，则双曲线的方程为x21；故选：A【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由离心率的值分析a、b的关系12（5分）在正三棱柱ABCA1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱）中，所有棱长之和为定值a若正三棱柱ABCA1B1C1的顶点都在球O的表面上，则当正三棱柱侧
15、面积取得最大值24时，该球的表面积为（）ABC12D【分析】设正三棱柱ABCA1B1C1底面边长为x，侧棱为y，则6x+3ya，三棱柱ABCA1B1C1侧面积S3xy当且仅当时，正三棱柱侧面积取得最大值24，求出正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心O到顶点A的距离，由此能求出该球的表面积【解答】解：设正三棱柱ABCA1B1C1底面边长为x，侧棱为y，则6x+3ya，三棱柱ABCA1B1C1侧面积S3xy，当且仅当，即时，等号成立，a24，x2，y4正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心O到顶点A的距离为R，该球的表面积为4R2故选：D【点评】本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，考查三棱
16、柱、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）曲线在点（1，1）处的切线方程为x+y20【分析】由求导公式求出导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程【解答】解：由题意得，在点（1，1）处的切线斜率k1，则在点（1，1）处的切线方程是：y1（x1），即x+y20故答案为：x+y20【点评】本题考查了导数的几何意义，以及直线的点斜式方程，属于基础题14（5分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b【分析】运用同角的平方关系
17、可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b，代入计算即可得到所求值【解答】解：由cosA，cosC，可得sinA，sinC，sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC+，由正弦定理可得b故答案为：【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题15（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为【分析】以点D原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，求出的坐标，求其夹角余弦
18、值，可得异面直线AE与BD1所成角的余弦值【解答】解：以点D原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，则A（2，0，0），E（0，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2），cos，异面直线AE与BD1所成角的余弦值为故答案为：【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题16（5分）过椭圆1内一点P（3，1），且被这点平分的弦所在直线的方程是3x+4y130【分析】设出以点P（3，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以P（3，1）为中点的弦所在直线的斜率再由点斜式可求得直线方程【解答】解：设以点P（
19、3，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x26，y1+y22又1，1，得：+0又据对称性知x1x2，以点P（3，1）为中点的弦所在直线的斜率k，中点弦所在直线方程为y1（x3），即3x+4y130故答案为：3x+4y130【点评】本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）设函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b+c3，求ABC的面积【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一
20、个角的一个三角函数的形式，然后求解周期（2）求出A的大小，利用余弦定理求出bc，然后求解三角形的面积【解答】解：（1），所以f（x）的最小正周期为T（2）由f（B+C），得，又A（0，），得，在ABC中，由余弦定理，得（b+c）23bc，又，b+c3，解得bc2所以，ABC的面积【点评】本题考查两角和与差的三角函数的化简取值，余弦定理的应用，考查计算能力18（12分）已知Sn为等比数列an的前n项和，S2，S4，S3成等差数列，且（I）求数列an的通项公式；（）设bnn|an|，求数列bn的前n项和Tn【分析】（）设等比数列an的公比为q，由题意和等差中项的性质列出方程并化简，由等比数列的通项
21、公式和条件列出方程组，求出q和a1的值，代入通项公式求出an；（）由（）化简n|an|，利用错位相减法、等比数列的前n项和公式求出数列nan的前n项和【解答】解：（）设等比数列an的公比为q，S2、S4、S3成等差数列，2S4S2+S3，即a3+2a40，又a2+a3+a4，a1q2+2a1q30，a1q+a1q2+a1q3，解得q，a11，ana1qn1（）n1；（）由（）得，n|an|n（）n1，设Tn1（）0+2（）1+3（）2+n（）n1，Tn1（）1+2（）2+3（）3+n（）n，得，Tn（）0+（）1+（）2+（）n1n（）nn（）n2（n+2）（）n，Tn4（n+2）（）n1【点
22、评】本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，等差中项的性质，以及错位相减法求数列的和，考查了方程思想，化简、变形能力19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PAAC2，PADDAC60，CEAD于E（1）求证：ADPC；（2）若平面PAD平面ABCD，且AD3，求二面角CPDA的余弦值【分析】（1）连接PE，证明PAECAE，可得PEACEA，由CEAD，得PEAD，由线面垂直的判定可得AD平面PCE，从而得到ADPC；（2）由AD平面PEC，平面PAD平面ABCD，可得EP，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角
23、坐标系，分别求出平面PCD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角CPDA的余弦值【解答】（1）证明：连接PE，PAAC，PADCAD，AE是公共边，PAECAE，PEACEA，CEAD，PEAD，又PE平面PCE，CE平面PCE，PECEE，AD平面PCE，又PC平面PCE，ADPC；（2）解：由AD平面PEC，平面PAD平面ABCD，EP，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示PAAC2，PADCAD60，AD3，AE1，DE2，则E（0，0，0），D（2，0，0），设平面PCD的法向量为，则，即，令，则，又平
24、面PAD的一个法向量为，设二面角CPDA所成的平面角为，则，由图可知二面角CPDA是锐角，故二面角CPDA的余弦值为【点评】本题考查空间中线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题20（12分）已知椭圆C：+1（ab0），其左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点R坐标为（2，），又点F2在线段RF1的中垂线上（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的左右顶点分别为A1，A2，点P在直线x2上（点P不在x轴上），直线PA1与椭圆C交于点N，直线PA2与椭圆C交M，线段MN的中点为Q，证明：2|A1Q|MN|【分析】（）由已知条件得，由此能求出椭圆C的方程
25、（）设PA1的方程为（k0），PA2方程为，由方程组，得，由此求出，化简后，三角形MNA1为直角三角形，Q为斜边中点，从而能证明2|A1Q|MN|【解答】（）解：，F2（c，0）在PF1的中垂线上，解得c2，a23，b21椭圆C的方程为（4分） （）证明：由（）知，设PA1的方程为（k0），则P坐标（），PA2方程为由方程组，消去y，整理得（8分）解得，化简后，MA1NA1，则三角形MNA1为直角三角形，Q为斜边中点，2|A1Q|MN|（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等21（12分）
26、已知函数f（x）x2lnxax，aR（）当a1时，求f（x）的最小值；（）若f（x）x，求a的取值范围【分析】（）当求函数的最值问题，利用求导，判断单调性，然后求极值，再判断最值；（）求参数的取值范围，转化为求函数的最值问题【解答】解：（）当a1时，f（x）x2lnxx，f（x）当x（0，1）时，f（x）0；当x（1，+）时，f（x）0f（x）的最小值为f（1）0（）f（x）x，即f（x）xx2lnx（a+1）x0由于x0，所以f（x）xxa+1令g（x）x，则g（x）当x（0，1）时，g（x）0；当x（1，+）时，g（x）0g（x）有最小值g（1）1故a+11，a的取值范围是（，0）【点评】
27、本题考查了导数与函数的最值问题，求参数的取值范围经常利用转化思想，转化为求最值的问题选修4-5：不等式选讲（10分）22（10分）已知函数f（x）|x+6|mx|（mR）（I）当m3时，求不等式f（x）5的解集；（II）若不等式f（x）7对任意实数x恒成立，求m的取值范围【分析】（I）分段取绝对值，分别解不等式即可（）由|x+6|mx|（x+6）+（mx）|6+m|由题意得|6+m|7，即可得m的取值范围【解答】解：（I）当m3时，f（x）5即|x+6|3x|5，所以或或（4分）解得不等式f（x）5的解集为x|x1（5分）（）因为|x+6|mx|（x+6）+（mx）|6+m|由题意得|6+m|7，则7m+67，（8分）解得13m1，即m的取值范围是13，1（10分）【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题