1、2017-2018学年云南省玉溪一中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）已知平面向量（3，4），（x，），若，则实数x为（）ABCD3（5分）已知直线l：yk（x+）和圆C：x2+（y1）21，若直线l与圆C相切，则k（）A0BC或0D或04（5分）将函数ysin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为（）ABycos2xCycos2xD5（5分）如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为
2、2的半圆，则该几何体的表面积为（）A3B4C5D126（5分）将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（）ABCD7（5分）A是抛物线y22px（p0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是（）Ax1By1Cx2Dy28（5分）某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7iN，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（）AxNBxNCxNDxN9（5分）在ABC中，C，AB3，则ABC的周长为（）ABCD10（5分）已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA平面ABC，ABB
3、C，AB1，BC，若球O的表面积为4，则SA（）AB1CD11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则a（）A3B4C5D612（5分）若存在正实数m，使得关于x的方程x+a（2x+2m4ex）1n（x+m）lnx0有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（，0）（，+）D（，+）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）二项式（x+）6的展开式中的常数项为 14（5分）若实数x，
4、y满足不等式组，则目标函数z3xy的最大值为 15（5分）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4Sa2（bc）2，b+c8，则S的最大值为 16（5分）已知F为双曲线1（a0，b0）的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且0，MNF的面积为ab则该双曲线的离心率为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an是公差不为0的等差数列，首项a11，且a1，a3，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设
5、数列bn满足bnan，求数列bn的前n项和Tn18（12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下22列联表：（单位：人）报考“经济类”不报“经济类”合计男62430女14620合计203050（）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？（）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望附：参考数据：P（X2k）0.050.010k3.8416.6
6、35（参考公式：X2）19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且O为AC的中点（）证明：A1O平面ABC；（）求二面角AA1BC1的余弦值20（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（1，0），（1，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于2，记顶点C的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）设直线ykx+2（0k2）与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间），且，求实数的取值范围21（12分）已知函数，aR（1）求函数f（x）的极值；（2）设g（x）（xk）ex+k，
7、kZ，e2.71828为自然对数的底数，当a1时，若x1（0，+），x2（0，+），不等式4f（x1）+g（x2）0成立，求k的最大值选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos（+）（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）设直线l与曲线C相交于M，N两点，求|MN|的值选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23已知函数f（x）|x1|+|x+a
8、|x2（）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（）设a1，且存在x0a，1），使得f（x0）0，求a的取值范围2017-2018学年云南省玉溪一中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）在复平面内，复数对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复
9、数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）已知平面向量（3，4），（x，），若，则实数x为（）ABCD【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，4x30，解得x，故选：C【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（5分）已知直线l：yk（x+）和圆C：x2+（y1）21，若直线l与圆C相切，则k（）A0BC或0D或0【分析】找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离dr，即可求出k的值【解答】解：由圆的方程得到圆心C（0，1），半径r1，圆心C（0，1）到直线l：yk（x+）和的距离d1，k或0
10、，故选：D【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键4（5分）将函数ysin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为（）ABycos2xCycos2xD【分析】根据函数yAsin（x+）的图象变换规律即可得解【解答】解：将函数ysin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为ysin2（x+）+sin（2x+）sin（2x+）故选：A【点评】本题主要考查了函数yAsin（x+）的图象变换规律的应用，属于基础题5（5分）如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为2的半圆，则该几何体的表面积为（）A3
11、B4C5D12【分析】由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为1的半球，进而可得答案【解答】解：由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为1的半球，其表面积S3，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题6（5分）将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（）ABCD【分析】先求出基本事件总数n，再利用列举法求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率【解答】解：将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，基
12、本事件总数n432124，“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件有：ABCD，CBAD，CDAB，DABC，DCBA，BADC，共6个，“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率p故选：B【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用7（5分）A是抛物线y22px（p0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|4时，OFA120，则抛物线的准线方程是（）Ax1By1Cx2Dy2【分析】当|AF|4时，OFA120，结合抛物线的定义可求得p，进而根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程【解答】解：由题意BFAOFA9030，过A作准线的垂
13、线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B如图，A点到准线的距离为：d|AB|+|BC|p+24，解得p2，则抛物线的准线方程是x1故选：A【点评】本题主要考查了直线与抛物线的关系，当涉及抛物线的焦点弦的问题时，常利用抛物线的定义来解决8（5分）某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7iN，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（）AxNBxNCxNDxN【分析】模拟执行程序框图结合程序框图的功能即可得解【解答】解：由于程序框图的功能是给定正整数N，求最小的正整数i，使得7iN，故xN时，执行循环体，当xN时，退出循环故选：C【点评】本题主要考查了程序框图的应用，尤其考查循环结构，对
14、循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属基础题9（5分）在ABC中，C，AB3，则ABC的周长为（）ABCD【分析】设ABC的外接圆半径为R，由已知及正弦定理可求BC2RsinA2sinA，AC2RsinB2sin（A），进而利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长2sin（A+）+3，即可得解【解答】解：设ABC的外接圆半径为R，则2R2，所以：BC2RsinA2sinA，AC2RsinB2sin（A），所以：ABC的周长2（sinA+sin（A）+32sin（A+）+3故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于中档题10（5分）已知S，A，B，C
15、是球O表面上的不同点，SA平面ABC，ABBC，AB1，BC，若球O的表面积为4，则SA（）AB1CD【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的表面积公式即可得到答案【解答】解：SA平面ABC，ABBC，四面体SABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径球O的表面积为4，R1AB1，BC，2R2，SA1故选：B【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的直径（半径），是解答
16、本题的关键11（5分）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则a（）A3B4C5D6【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，求出|AN|BN|，可得结论【解答】解：设双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，如图，连接PF1，PF2，F1是MA的中点，P是MN的中点，F1P是MAN的中位线，|PF1|AN|，同理|PF2|BN|，|AN|BN|2|
17、PF1|PF2|，P在双曲线上，根据双曲线的定义知：|PF1|PF2|2a，|AN|BN|4a12，a3故选：A【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，同时考查三角形的中位线，运用定义法是解题的关键，属于中档题12（5分）若存在正实数m，使得关于x的方程x+a（2x+2m4ex）1n（x+m）lnx0有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C（，0）（，+）D（，+）【分析】由题意得（1+2e）ln（1+）（t2e）lnt，（t+11），令f（t）（t2e）lnt，（t1），利用导数性质能求出实数a的取值范围【解答】解：由题意得（1+2e）ln（1
18、+）（t2e）lnt，（t+11），令f（t）（t2e）lnt，（t1），则f（t）lnt+1，f（t）+0，当te时，f（t）f（e）0，当1te时，f（t）f（e）0，f（t）f（e）e，e，而t1时，f（t）0，则要满足e0，解得：a，故选：D【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）二项式（x+）6的展开式中的常数项为【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项【解答】解：二项式（x+）6展开式的通项公式为Tr+1x6r（）r
19、x62r令62r0，求得r3，故展开式中的常数项为故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，是基础题14（5分）若实数x，y满足不等式组，则目标函数z3xy的最大值为1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，联立，得A（1，2），化目标函数z3xy为y3xz，由图可知，当直线y3xz过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3121，故答案为：1【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思
20、想方法，是中档题15（5分）已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4Sa2（bc）2，b+c8，则S的最大值为8【分析】满足Sa2（bc）2，b+c8，利用余弦定理与三角形的面积计算公式可得：2bcsinA2bc（b2+c2a2）2bc2bccosA，化为sinA1cosA，与sin2A+cos2A1，解得sinA，进而利用三角形面积公式，再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：满足4Sa2（bc）2，b+c8，4bcsinA2bc（b2+c2a2）2bc2bccosA，化为sinA1cosA，又sin2A+cos2A1，解得：sinA1，SbcsinAbc（
21、）28，当且仅当bc4时取等号故答案为：8【点评】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16（5分）已知F为双曲线1（a0，b0）的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且0，MNF的面积为ab则该双曲线的离心率为【分析】设M（m，n），（n0），利用0，MNF的面积为ab，求出M的坐标，代入双曲线方程，即可得出结论【解答】解：设M（m，n），（n0），则0，MNF的面积为ab，2ab，m2+n2c2，n，m2c2，1，故答案为【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：
22、共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知数列an是公差不为0的等差数列，首项a11，且a1，a3，a9成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bnan，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用分组法求出数列的和【解答】解：（1）设数列an 的公差为d，由题意a1a9，即：（2d+1）21+8d，解得：d1，或d0（舍去），所以：ann （2）由（I）可知 bnn+2n，（1+2+3+n）+（21+22+2n
23、），+2n+12【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和18（12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下22列联表：（单位：人）报考“经济类”不报“经济类”合计男62430女14620合计203050（）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？（）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望附：参考数据：
24、P（X2k）0.050.010k3.8416.635（参考公式：X2）【分析】（I）计算K2，根据临界值表作出结论；（II）分别计算X0，1，2，3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差【解答】解：（）（2分）有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关（4分）（）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为（6分）X的可能取值为0，1，2，3，由题意，得XB（3，），随机变量X的分布列为X0123P（10分）随机变量X的数学期望（12分）【点评】本题考查了独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题19（12分）如图，在三棱柱ABCA
25、1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且O为AC的中点（）证明：A1O平面ABC；（）求二面角AA1BC1的余弦值【分析】（）推导出A1OAC，由此能证明A1O平面ABC（）以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角AA1BC1的大小【解答】证明：（）AA1A1C，且O为AC的中点，A1OAC，（2分）又侧面AA1C1C底面ABC，交线为AC，且A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC（4分）解：（）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系由已知可得O（0，0
26、，0），A（0，1，0），A1（0，0，），C1（0，2，），B（，0，0），设平面AA1B的一个法向量为由，得设平面A1BC1的法向量为由，得由图可知二面角AA1BC1为钝角二面角AA1BC1的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（1，0），（1，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于2，记顶点C的轨迹为曲线E（）求曲线E的方程；（）设直线ykx+2（0k2）与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间），且，
27、求实数的取值范围【分析】（）设点C（x，y），可得2，化简得曲线E的方程；（）设直线ykx+2与y轴相交于点P（0，2），与曲线E相交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间），设Q（x1，y1），R（x2，y2）联立方程得（2+k2）x2+4kx+20；16k22412k24k2240，k22又0k2，2k24由，得x1x2结合韦达定理得，结合k得实数的取值范围【解答】解：（）设点C（x，y），ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（1，0），（1，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于2，2，化简得曲线E的方程为：2x2+y22（y0）；（）设直线ykx+2（0k2）与y轴相交于点P（0，2
28、），与曲线E相交于不同的两点Q，R（点R在点P和点Q之间），设Q（x1，y1），R（x2，y2）（2+k2）x2+4kx+20；，x1x216k2168k28k2160，k22又0k2，2k24，且，x1x2由得（1+）x2，结合得实数的取值范围且1点R在点P和点Q之间，1综上，实数的取值范围：（1，3）【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，直线与曲线的位置关系，考查了根与系数的关系、向量运算，属于中档题21（12分）已知函数，aR（1）求函数f（x）的极值；（2）设g（x）（xk）ex+k，kZ，e2.71828为自然对数的底数，当a1时，若x1（0，+），x2（0，+），不等式4f（x1）
29、+g（x2）0成立，求k的最大值【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求得极值点即可求函数f（x）的极值；（2）问题等价于x+k对x（0，+）时恒成立，设h（x）x+，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可【解答】解：（1）f（x），（x0），由f（x）0，解得：xe1a，0xe1a时，f（x）0，此时f（x）递增，xe1a时，f（x）0，此时f（x）递减，故函数f（x）在（0，e1a）递增，在（e1a，+）递减；函数f（x）的极大值为f（e1a）ea1，无极小值（2）a1时，由（1）得f（x）f（e1a）1，故原不等式等价于4+（xk）ex+k0，当x（0，+）时恒成
30、立，x（0，+）时，ex10，即原不等式等价于k对x（0，+）时恒成立，设h（x）x+，则h（x），令F（x）exx5，则F（x）ex1，x（0，+）时，F（x）0，函数F（x）在（0，+）递增，而F（2）e270，F（3）e380，故F（2）F（3）0，故存在唯一的x0（2，3），使得F（x0）0，即x0+5，x（0，x0）时，F（x）0，h（x）0，函数h（x）递减，x（x0，+）时，F（x）0，h（x）0，函数h（x）递增，xx0时，函数h（x）有极小值（即最小值）h（x0），h（x0）x0+x0+1（3，4），又kh（x0），kZ，k的最大整数值是3【点评】本题考查了函数的单调性、最值
31、问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos（+）（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）设直线l与曲线C相交于M，N两点，求|MN|的值【分析】（）直线l的参数方程消去参数t，得直线l的直角坐标方程为0；曲线C的极坐标方程l转化为22cos2sin，由此能求出曲线C的直角坐标方程（
32、）曲线C是以C（1，1）为圆心，以r为半径的圆，求出圆心C（1，1）到直线l的距离d，由|MN|2，能求出结果【解答】解：（）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得直线l的直角坐标方程为0曲线C的极坐标方程为2cos（+）即2cos2sin，即22cos2sin，曲线C的直角坐标方程为x2+y22x2y，即（x1）2+（y+1）22（）曲线C是以C（1，1）为圆心，以r为半径的圆，圆心C（1，1）到直线l的距离d，直线l与曲线C相交于M，N两点，|MN|22【点评】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知
33、识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题选修4-5：不等式选讲（本小题满分0分）23已知函数f（x）|x1|+|x+a|x2（）当a1时，求不等式f（x）0的解集；（）设a1，且存在x0a，1），使得f（x0）0，求a的取值范围【分析】（）当a1时，不等式即|x1|+|x+1|x20，等价于或或，即可求不等式f（x）0的解集；（）当xa，1）时，f（x）ax1，不等式f（x）0可化为ax+1，若存在x0a，1），使得f（x0）0，即可求a的取值范围【解答】解：（）当a1时，不等式即|x1|+|x+1|x20，等价于或或解得x1或1x0或x2，即不等式f（x）0的解集为（，0）（2，+）（）当xa，1）时，f（x）ax1，不等式f（x）0可化为ax+1，若存在x0a，1），使得f（x0）0，则a2，所以a的取值范围为（1，2）【点评】本题考查不等式的解法，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题