1、2018-2019学年云南省红河州高二（下）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）已知集合Ax|x210，Bx|x2，则AB（）A2，+）B1，+）C1，2）D1，+）2（5分）已知复数z满足：（2i）z1，则（）ABCD3（5分）刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积下图是一个圆内接正六边形，若向内随机一投掷点，则该点落在正六边形内的概率为（）ABCD4（5分）已知曲线yx3+ax在x1处的切线与直线y4x+3平
2、行，则a的值为（）A3B1C1D35（5分）设等比数列an的前n项和为Sn，公比q2，则（）ABCD6（5分）已知展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a的值为（）AB2CD27（5分）已知m，n是两条不同的自线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n没有公共点，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，n，则mn8（5分）函数f（x）x2ln|x|的图象大致是（）ABCD9（5分）执行如所示的程序框图，则输出S的值为（）AB2C3D10（5分）若点M为圆C：（x2）2+y21上的动点，则点M到双曲线渐进线的距离的最小值为（）AB1CD11（5分）已知定义在R上的奇函数f
3、（x），满足f（x2）f（x），且在0，1上是减函数，则（）Af（23）f（11）f（40）Bf（40）f（11）f（23）Cf（11）f（40）f（23）Df（23）f（40）f（11）12（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|）的图象过点（0，），且f（x）在上单调，f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数x1，x2，满足f（x1）f（x2），则f（x1+x2）（）ABCD二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）已知平面向量（，2），（2x1，4），若，则| 14（5分）正项等差数列an的前n项和为Sn，已知a11，且Sn3
4、，则n 15（5分）已知F1，F2为椭圆C：（ab0）的左、右焦点，若椭圆C上恰有6个不同的点P，使得PF1F2为直角三角形，则椭圆的离心率为 16（5分）如图，已知方体ABCDA1B1C1D1的长为2，E，F分別为棱AA1，CC1的中点，则四棱锥B1EBFD1的体积为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐下表是西南地区某大学近五年的录取平均分与省一本线对比表：年份2014201520162017
5、2018年份代码t12345省一本线505500525500530录取平均分533534566547580录取平均分与省一本线分差y2834414750（1）根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（2）据以往数据可知，该大学每年的录取分数X服从正态分布N（，25），其中为当年该大学的录取平均分假设2019年该省一本线为520分，李华2019年高考考了569分，他很喜欢这所大学，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给李华一个合理的建议（第一志愿录取可能性低于60%，则建议谨慎报考）参考公式：参考数据：P（X+）0.6828，P（2X+2）0.9544，18（1
6、2分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且sin2Bsin2AsinC（sinBsinC）（1）求角A；（2）若ABC为钝角三角形，且bc，当a2时，求bc的取值范围19（12分）如图，在矩形ABCD中，AB2BC，E为CD的中点，将ADE沿AE折起到PAE的位置，使得平面PAE平面ABCE（1）证明：平面PBE平面PAE；（2）求平面PAE与平面PBC所成二面角的正弦值20（12分）已知函数f（x）alnx（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若存在实数x01，e，使得f（x0）0，求正实数a的取值范围21（12分）设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过点F作垂直于x
7、轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点M（1，0）（1）求抛物线C的方程；（2）设过点（2，0）的直线l1，l2分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且l1l2，求四边形DGEH面积的最小值选考题：请考生在第22、23两道题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）如图所示，在直角坐标系xOy中，曲线C由以原点为圆心，半径为2的半圆和中心在原点，焦点在x轴上的半椭圆构成以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知射线与曲线C交于点M，点N为曲线C上的动点，求MON面积的最大值选修4-5：
8、不等式选讲23已知xR，使不等式|x1|+|x2|t成立（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）tT，使不等式em+ent成立，求m+n的最大值2018-2019学年云南省红河州高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1（5分）已知集合Ax|x210，Bx|x2，则AB（）A2，+）B1，+）C1，2）D1，+）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可【解答】解：Ax|x1，或x1，Bx|x2；AB2，+）故选：A【点评】考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集
9、的运算2（5分）已知复数z满足：（2i）z1，则（）ABCD【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式求【解答】解：由（2i）z1，得z，|故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3（5分）刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积下图是一个圆内接正六边形，若向内随机一投掷点，则该点落在正六边形内的概率为（）ABCD【分析】设正六边形的边长，得到圆的半径，分别求出正六边形及圆的面积，由测度比为面积比得答案【解答】解：如图，设正六边形的
10、边长为r，则圆的半径为r，圆面积为r2，正六边形的面积为6r2向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为故选：D【点评】本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题4（5分）已知曲线yx3+ax在x1处的切线与直线y4x+3平行，则a的值为（）A3B1C1D3【分析】求导函数得出y3x2+a，从而得出x1时的导数为3+a，即切线的斜率为3+a，又知道切线和y4x+3平行，从而得出3+a4，解出a1【解答】解：y3x2+a；x1时，y3+a；据题意得，3+a4；a1故选：C【点评】考查基本初等函数的求导公式，函数在某点处导数的几何意义，以及两平行直线的斜率相等5（5分）设等比数列an的前n项
11、和为Sn，公比q2，则（）ABCD【分析】利用等比数列的通项公式、前n项和公式直接求解【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，公比q2，故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式的求法及应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）已知展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a的值为（）AB2CD2【分析】求出展开式的通项公式，利用已知建立方程关系即可解得结果【解答】解：二项式展开式中的通项公式为，当84r0时，得r2，此时常数项为，有2，即a2，解得，故选：C【点评】本题考查二项式定理的应用，根据二项展开式的定理，求出展开式的通项公式是解决本题的关键
12、7（5分）已知m，n是两条不同的自线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若m，n没有公共点，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，n，则mn【分析】由两直线的位置关系可判断A；由面面平行的定义可判断B；由线面的位置关系可判断C；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断D【解答】解：m，n没有公共点，则m，n平行或异面，故A错误；m，n，则m，n平行或异面，故B错误；m，mn，则n或n，故C错误；n，由线面平行的性质定理可得n平行于过n的平面与的交线l，m，可得ml，即有mn，故D正确故选：D【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，注意平行和垂直的判定和性质的运
13、用，考查推理能力，属于基础题8（5分）函数f（x）x2ln|x|的图象大致是（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置判断即可【解答】解：函数f（x）x2ln|x|是偶函数，排除选项B，D；当x1时，y0，x（0，1）时，y0，排除C，故选：A【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置是解题常用方法9（5分）执行如所示的程序框图，则输出S的值为（）AB2C3D【分析】求得运行的周期为4，计算可得所求结果【解答】解：程序起始为S2，i1，接着可得S3，i2，可得S，i3，接着S，i4，可得S2，i5，即有周期为4，i20202019，可得S，故
14、选：A【点评】本题考查程序运行的结果，考查运算能力，属于基础题10（5分）若点M为圆C：（x2）2+y21上的动点，则点M到双曲线渐进线的距离的最小值为（）AB1CD【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的圆心到直线的距离减去半径求解即可【解答】解：双曲线渐进线：，圆C：（x2）2+y21的圆心（2，0），点M到双曲线渐进线的最小值是：11故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力11（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x2）f（x），且在0，1上是减函数，则（）Af（23）f（11）f（40）Bf（40）f（11）f（23）Cf（11）
15、f（40）f（23）Df（23）f（40）f（11）【分析】由题可得f（0）0，f（x+4）f（x），可得f（x）的周期为4，结合周期，可得f（23）f（1），f（40）f（0），f（11）f（1），由单调性可得所求大小关系【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足f（x2）f（x），且在0，1上是减函数，可得f（x）在1，1上为减函数可得f（x+2）f（x），即f（x+4）f（x），可得f（x）的周期为4，f（23）f（23+24）f（1），f（40）f（0），f（11）f（1112）f（1）f（1）0，即有f（1）f（0）f（1），可得f（23）f（40）f（11），故选：D【点评】本题
16、考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题12（5分）已知函数f（x）sin（x+）（0，|）的图象过点（0，），且f（x）在上单调，f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，若存在两个不相等的实数x1，x2，满足f（x1）f（x2），则f（x1+x2）（）ABCD【分析】根据图象过点（0，），且f（x）在上单调，f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象与原图象重合，求解，的值，根据f（x1）f（x2），可得x1，x2关于某一条对称轴是对称的即可求解f（x1+x2）的值；【解答】解：将点（0，）带入函数f（x）sin（x+），可得sin|， f（x）的图象向左平
17、移个单位，可得ysin（x+）sin（x），2k，可得4k；kZf（x）在上单调，可得，；综上可得：4f（x）sin（4x），由于f（x1）f（x2），令4x，可得x，kZx1，x2，令k0，可得xx1，x2关于x是对称的，那么x1+x2；f（x1+x2）f（）sin（）故选：A【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象求解析式，函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13（5分）已知平面向量（，2），（2x1，4），若，则|5【分析】由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，求出x的值，可得的坐标，从而求出求向
18、量的模【解答】解：平面向量（，2），（2x1，4），若，则 ，求得x2，（3，4），则|5，故答案为：5【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于基础题14（5分）正项等差数列an的前n项和为Sn，已知a11，且Sn3，则n2【分析】利用等差数列的通项公式求出公差d，再由等差数列的前n项和公式能求出n的值【解答】解：正项等差数列an的前n项和为Sn，a11，解得d1，Sn3，3，由nN*，解得n2故答案为：2【点评】本题考查等差数列的项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5分）已知F1，F2为椭圆C：（ab0）的左、右焦
19、点，若椭圆C上恰有6个不同的点P，使得PF1F2为直角三角形，则椭圆的离心率为【分析】由题意，问题等价于椭圆上存在2个点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|cb，从而可求椭圆离心率e【解答】解：由题意，问题等价于椭圆上存在2个点P使得直线PF1与直线PF2垂直，此时两个点就是椭圆的上下顶点|OP|cb，即c2a2c2，ac，e，故答案为：，【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题，转化为椭圆上存在2个点P使得直线PF1与直线PF2垂直是关键16（5分）如图，已知方体ABCDA1B1C1D1的长为2，E，F分別为棱AA1，CC1的中点，则四棱锥B1EBFD
20、1的体积为【分析】三棱锥B1EFB与三棱锥B1EFD1等底同高，则四棱锥B1EBFD1的体积为转化为2V2V，求解即可【解答】解：三棱锥B1EFB与三棱锥B1EFD1等底同高，则四棱锥B1EBFD1的体积为转化为2V2V22，故答案为：【点评】本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐下表是西南地区某大学近五年的录
21、取平均分与省一本线对比表：年份20142015201620172018年份代码t12345省一本线505500525500530录取平均分533534566547580录取平均分与省一本线分差y2834414750（1）根据上表数据可知，y与t之间存在线性相关关系，求y关于t的线性回归方程；（2）据以往数据可知，该大学每年的录取分数X服从正态分布N（，25），其中为当年该大学的录取平均分假设2019年该省一本线为520分，李华2019年高考考了569分，他很喜欢这所大学，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给李华一个合理的建议（第一志愿录取可能性低于60%，则建议谨慎报考）参考公式：参考数据
22、：P（X+）0.6828，P（2X+2）0.9544，【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；（2）取t6求得该大学2019年的录取平均分为577.1分，再由正态分布的对称性求得李华被录取的概率即可【解答】解：（1），4035.722.9故所求回归直线方程为：；（2）由（1）知，当t6时，故该大学2019年的录取平均分为577.1分又569677.15572.1李华被录取的概率：P0.6故建议李华第一志愿谨慎报考该大学【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查正态分布曲线的的特点及其意义，考查计算能力，是中档题18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且sin2B
23、sin2AsinC（sinBsinC）（1）求角A；（2）若ABC为钝角三角形，且bc，当a2时，求bc的取值范围【分析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可得cosA，结合范围A（0，），可得A的值（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求bc4sin（B），由已知可求范围B，利用正弦函数的图象可求sin（B），即可求得bc的取值范围【解答】解：（1）因为sin2Bsin2AsinC（sinBsinC），由正弦定理可得：b2+c2a2bc，由余弦定理可得：cosA，因为：A（0，），所以：A（2）由于A，a2，所以4，又B+C，可得：bc4（sinBsinC）4sinBsin（
24、B）4（sinBcosB）4sin（B），因为ABC为钝角三角形，且bc，则B，所以B，可得：sin（B），所以：bc（2，2）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12分）如图，在矩形ABCD中，AB2BC，E为CD的中点，将ADE沿AE折起到PAE的位置，使得平面PAE平面ABCE（1）证明：平面PBE平面PAE；（2）求平面PAE与平面PBC所成二面角的正弦值【分析】（1）利用勾股定理可得AEBE，在由平面PAE平面ABCE 可得BE平面PAE，即可证明平面PBE平面PAE；
25、（2）建立空间坐标系，计算平面PBC、PAE的法向量，通过计算法向量的夹角得出面面角的正弦值；【解答】证明：（1）设AB2BC2a，在矩形ABCD中，由E为CD中点，易得AEBEaAE2+BE22a2+2a24a2AB2，AEBE，平面PAE平面ABCE平面PAE平面ABCEAEBE平面PAE又BE面PAE，平面PBE平面PAE；解：（2）设a2，取AE中点F，连接PF，由PAPE得PFAE，PF，又平面PAE平面ABCE平面PAE平面ABCEAEPF平面ABCE，如图，故以E为原点，建立空间直角坐标系，依题意，E（0，0，0），B（0，2，0），C（，0），P（，0，），由（1）可得BE平面
26、PAE，故平面PAE的法向量为设平面PBC的法向量为，不妨取x1，可得cos平面PAE与平面PBC所成二面角的正弦值为【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题20（12分）已知函数f（x）alnx（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若存在实数x01，e，使得f（x0）0，求正实数a的取值范围【分析】（1）求出原函数的导函数，当a0时，f（x）0，得f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，利用导函数的符号对函数定义域分段，由此可得f（x）的单调性；（2）由（1）知，当a0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增然后对a分段求解f（x）的最小值，再
27、由最小值小于0求解正实数a的取值范围【解答】解：（1）由f（x）alnx（aR），得f（x）x（x0）当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，由f（x）0，得x，由f（x）0，得0xf（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增；（2）由（1）知，当a0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增当，即0a1时，f（x）在1，e上单调递增，0，不合题意；当1e，即1ae2时，f（x）在1，上单调递减，在，e上单调递增，由0，解得eae2；当e，即ae2时，f（x）在1，e上单调递减，由0，解得ae2综上所述，a的取值范围为（e，+）【点评】本题考查利用导数
28、研究函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题21（12分）设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与抛物线交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点M（1，0）（1）求抛物线C的方程；（2）设过点（2，0）的直线l1，l2分别与抛物线C交于点D，E和点G，H，且l1l2，求四边形DGEH面积的最小值【分析】（1）由题意得rp+1，解得：p2，得到抛物线方程（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得DE，GH，即可得面积表达式【解答】解：（1）由题意得，圆的半径rp，解得：p2，故抛物线的方程为y24x（2）设点D（x1，y1），E（x2，y2），直线
29、l1的方程：xmy+2，联立，得y24my80，y1+y24m，y1y28|DE|4同理可得|GH|4则四边形DGEF的面积：S|DE|GH|8令tm2+，（t2），则S88当t2时，即m1时，四边形DGEH面积的最小值为48【点评】此题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的综合，属于中档题选考题：请考生在第22、23两道题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）如图所示，在直角坐标系xOy中，曲线C由以原点为圆心，半径为2的半圆和中心在原点，焦点在x轴上的半椭圆构成以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已
30、知射线与曲线C交于点M，点N为曲线C上的动点，求MON面积的最大值【分析】（1）分别写出曲线C的上、下两半部分的直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的极坐标方程；（2）把射线代入求得M的极径，然后写出MON的面积，则最大值可求【解答】解：（1）由题设可得：曲线C上半部分的直角坐标方程为x2+y24（y0），曲线C上半部分的极坐标方程为2（0）又曲线C下半部分的标准方程为，曲线C下半部分的极坐标方程为故曲线C的极坐标方程为；（2）由题设，将代入曲线C的极坐标方程可得：M|OM|由面积公式得：|OM|ON|sinMON|OM|ON|，当且仅当sinMON1，|ON|2时等号成立故
31、MON面积的最大值为【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程化极坐标方程，是中档题选修4-5：不等式选讲23已知xR，使不等式|x1|+|x2|t成立（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）tT，使不等式em+ent成立，求m+n的最大值【分析】（1）由题意知，|x1|+|x2|（x1）（x2）|1，当且仅当（x1）（x2）0时等号成立，所以t1；（2）由基本不等式可得：，当且仅当mn时等号成立又因为tT，使不等式em+ent成立，则，即m+n，继而得解【解答】解：（1）由题意知，|x1|+|x2|（x1）（x2）|1，当且仅当（x1）（x2）0时等号成立，所以t1，故集合T（，1（2）由基本不等式可得：，当且仅当mn时等号成立又因为tT，使不等式em+ent成立，则，即m+n，故m+n的最大值为ln【点评】本题考查绝对值不等式的解法，难度较大，属于较难题型