1、2018-2019学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Ax|1x1，B1，0，1，2，则AB（）A1，0，1B1，0C0，1D1，22（5分）（）A1+iB1+iC1iD1i3（5分）已知向量，则x（）A2B1C3D14（5分）双曲线1的渐近线方程为（）Ax2y0B2xy0C4xy0Dx4y05（5分）（12x）5展开式中的x3系数为（）A40B40C80D806（5分）古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A，B，C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着n个大小不等
2、的环形金盘，大的在下、小的在上将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面若A柱上现有3个金盘（如图），将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为（）A5B7C9D117（5分）函数ye2e|x|的图象可能是（）ABCD8（5分）设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A，m，n，则mnB，m，n，则mnC，m，n，则mnD，m，n，则mn9（5分）设随机变量XB（2，p），若，则E（X）（）ABC2D110（5分）设，则下列正确的是（）AacbBcabCcbaDabc11（5
3、分）在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，将ADE沿直线DE折起成ADE，F为AC的中点，则下列结论正确的是（）A直线AE与直线BF共面BCAEC可以是直角三角形DACDE12（5分）已知函数f（x）sinx（0）的图象关于直线对称，且f（x）在上为单调函数，下述四个结论：满足条件的取值有2个为函数f（x）的一个对称中心f（x）在上单调递增f（x）在（0，）上有一个极大值点和一个极小值点其中所有正确结论的编号是（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）在等差数列an中，a47，a2+a818，则公差d 14（5分）函数f（x）lnx2x的图象在点P（1，f
4、（1）处的切线方程为 15（5分）已知C是以AB为直径的半圆弧上的动点，O为圆心，P为OC中点，若AB4，则 16（5分）已知椭圆，O（0，0），P（3，1）斜率为1的直线与C相交于A，B两点，若直线OP平分线段AB，则C的离心率等于 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒叶，四季常绿；花，芳香素雅绿叶白花，格外清丽某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取100棵测量植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：m），其中不大于1.50（
5、单位：m）的植株高度茎叶图如图所示（1）求植株高度频率分布直方图中a，b，c的值；（2）在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值18（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cos A1sin（1）求A；（2）若B，且b2，D是BC上的点，AD平分BAC，求ACD的面积19（12分）已知等比数列an的前n项和，其中为常数（1）求；（2）设bnlog2an，求数列an+bn的前n项和Tn20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2
6、，E，F分别是棱PC，AB的中点（1）证明：EF平面PAD；（2）求二面角PBDA的余弦值21（12分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，准线为l，点AC，A在l上的射影为B，且ABF是边长为4的正三角形（1）求p；（2）过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，l1与C交于P，Q两点，l2与C交于M，N两点，设POQ的面积为S1，MON的面积为S2（O为坐标原点），求的最小值22（12分）已知函数f（x）ax2lnx，aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当nN*时，证明：2018-2019学年云南省昆明市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小
7、题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合Ax|1x1，B1，0，1，2，则AB（）A1，0，1B1，0C0，1D1，2【分析】进行交集的运算即可【解答】解：Ax|1x1，B1，0，1，2；AB0，1故选：C【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算2（5分）（）A1+iB1+iC1iD1i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5分）已知向量，则x（）A2B1C3D1【分析】可以求出，根据可得出x43x0，解出x即可【解答】解：；x43x0；x2故选：A【
8、点评】考查向量坐标的减法运算，以及平行向量的坐标关系4（5分）双曲线1的渐近线方程为（）Ax2y0B2xy0C4xy0Dx4y0【分析】由双曲线的方程的渐近线方程为yx，求得a，b，即可得到渐近线方程【解答】解：双曲线1的a4，b2，可得渐近线方程为yx，即有2yx故选：A【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题5（5分）（12x）5展开式中的x3系数为（）A40B40C80D80【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x3系数【解答】解：（12x）5展开式的通项公式为 （2x）r，故令r3，可得其中的
9、x3系数为（2）380，故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题6（5分）古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着A，B，C三根金铜石细柱，其中细柱A上套着n个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面若A柱上现有3个金盘（如图），将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为（）A5B7C9D11【分析】用an表示将n个盘子从一根柱子移到另一根柱子所必须移动的次数，显然a00，a11进行分析得出an的通项公式，
10、继而求得结果【解答】解：用an表示将n个盘子从一根柱子移到另一根柱子所必须移动的次数，显然a00，a11对于n个盘子，先把柱子A上的n1个盘套到柱子C上而且保持相对位置不变，这需要an1次，再把柱子A上的最大的盘套到B上，用1次，然后再把C上的盘按要求套到B上，还需用an1次，所以有an2an1+1，即an+12（an1+1），数列an+1是等比数列，首项为a1+12，公比为2，所以，即，所以，即将A柱上的金盘全部移到B柱上，至少需要移动次数为7故选：B【点评】本题考查合情推理，属于中档题7（5分）函数ye2e|x|的图象可能是（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性以及函数的单调性，推出结果即可
11、【解答】解：函数ye2e|x|是偶函数，x0时，ye2e0，x0时，函数是减函数，所以函数的图象是B故选：B【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性是判断函数图象的常用方法8（5分）设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A，m，n，则mnB，m，n，则mnC，m，n，则mnD，m，n，则mn【分析】由面面垂直的定义和线面垂直的性质可判断A；由线面垂直和面面垂直的性质可判断B；由面面垂直的定义和线线的位置关系可判断C；由面面平行的定义和线线的位置关系可判断D【解答】解：m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，m，n，可将m，n平移为相交直线，确
12、定一个平面与，相交于m，n，由，m，n，结合面面垂直的定义和线面垂直的性质可得mn，故A正确；，m，n，则m，n可能平行或相交或异面，故B错误；，m，n，则m，n可能平行或相交或异面，故C错误；，m，n，则mn或m，n异面，故D错误故选：A【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查推理能力，属于基础题9（5分）设随机变量XB（2，p），若，则E（X）（）ABC2D1【分析】由随机变量XB（2，p），得到P（X0）1，解得p，由此能求出E（X）【解答】解：随机变量XB（2，p），P（X0）1，解得p，E（X）2故选：A【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望
13、的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10（5分）设，则下列正确的是（）AacbBcabCcbaDabc【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：，e01，blnlnln（）ln10，ca1，cab故选：B【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11（5分）在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，将ADE沿直线DE折起成ADE，F为AC的中点，则下列结论正确的是（）A直线AE与直线BF共面BCAEC可以是直角三角形DACDE【分析】在A中，取CD中点G，连结BG，FG，则BGDE，FGAD，从而平面
14、BGF平面ADE，进而直线AE与直线BF平行或异面；在B中，BF的长不是常数；在C中，求出AE1，CE，当AE2时，AECE，AEC是直角三角形；在D中，由DECE，DEA60，得到DE与AC不垂直【解答】解：在平行四边形ABCD中，点E在AB边上，将ADE沿直线DE折起成ADE，F为AC的中点，在A中，取CD中点G，连结BG，FG，则BGDE，FGAD，BGFGG，平面BGF平面ADE，BF平面BFG，BF平面ADE，直线AE与直线BF平行或异面，故A错误；在B中，将ADE沿直线DE折起成ADE，F为AC的中点，A点位置不确定，BF的长不是常数，故B错误；在C中，AE1，CE，当AE2时，A
15、ECE，AEC是直角三角形，故D正确；在D中，DECE，DEA60，DE与AC不垂直，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12（5分）已知函数f（x）sinx（0）的图象关于直线对称，且f（x）在上为单调函数，下述四个结论：满足条件的取值有2个为函数f（x）的一个对称中心f（x）在上单调递增f（x）在（0，）上有一个极大值点和一个极小值点其中所有正确结论的编号是（）ABCD【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果【解答】解：函数f（x）sinx（02）的图象关于直线x对称，k+，kZ，即k+，kZ，所
16、以当k0时，当k1时，2与原题0矛盾，错误且f（x）在上为单调函数，所以：f（x）sin当x时f（）0，故正确，函数f（x）在上单调递增，故正确，对于选项D函数f（x）在（0，）上只有极大值点故错误，故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）在等差数列an中，a47，a2+a818，则公差d2【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出公差【解答】解：在等差数列an中，a47，a2+a818，解得a11，d2，公差d2故答案为：2【点评】本
17、题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14（5分）函数f（x）lnx2x的图象在点P（1，f（1）处的切线方程为x+y+10【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率，以及切点，由点斜式方程可得切线方程【解答】解：函数f（x）lnx2x的导数为f（x）2，可得在点P（1，f（1）处的切线斜率为k121，切点为（1，2），则切线方程为y+2（x1），即为x+y+10故答案为：x+y+10【点评】本题考查导数的几何意义，考查直线方程的运用，以及运算能力，属于基础题15（5分）已知C是以AB为直径的半圆弧上的动点，O为圆心，P为OC中点，若AB4，则
18、2【分析】根据题意，由向量的加法可得2，代入（）中，结合数量积的公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，半圆的直径AB4，P为OC中点，则OAOBOC2，OPPC1，与反向且模长都为1；（）2 211cos1802；故答案为：2【点评】本题考查向量的运算，涉及加法与数量积的计算；解题时要结合图形，注意P为半径OC的中点这一条件16（5分）已知椭圆，O（0，0），P（3，1）斜率为1的直线与C相交于A，B两点，若直线OP平分线段AB，则C的离心率等于【分析】设出A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由直线OP平分线段AB知，直线OP过线段AB的中点，由点差法可求解离心率【解答
19、】解：设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），A，B两点中点为M（x0，y0），x0，y0，P（3，1），直线OP方程为yx，M（x0，y0）在直线OP上，y0，将A，B两点代入椭圆方程得，相减得，化解为3b2a2，由a2b2+c2得，a2，e故答案为：【点评】本题考查椭圆中点弦问题，离心率的求法，属于压轴题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）栀子原产于中国，喜温暖湿润、阳光充足的环境，较耐寒叶，四季常绿；花，芳香素雅绿叶白花，格外清丽某地区引种了一批栀子作为绿化景观植物，一段时间后，从该批栀子中随机抽取100棵测量
20、植株高度，并以此测量数据作为样本，得到该样本的频率分布直方图（单位：m），其中不大于1.50（单位：m）的植株高度茎叶图如图所示（1）求植株高度频率分布直方图中a，b，c的值；（2）在植株高度频率分布直方图中，同一组中的数据用该区间的中点值代表，植株高度落入该区间的频率作为植株高度取该区间中点值的频率，估计这批栀子植株高度的平均值【分析】（1）由茎叶图的性质能求出a，b，由频率分布直方图的性质能求出c（2）由频率分布直方图的性质能求出这批栀子植株高度的平均值的估计值【解答】解：（1）由茎叶图知，由频率分布直方图知0.50.5+1.451+1.553+1.654+c0.1+30.1+40.11，
21、所以c1.5（2）这批栀子植株高度的平均值的估计值为：（1.350.5+1.451+1.553+1.654+1.751.5）0.11.60【点评】本题考查频率、平均数的求法，考查茎叶图、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知cos A1sin（1）求A；（2）若B，且b2，D是BC上的点，AD平分BAC，求ACD的面积【分析】（1）由二倍角的余弦公式，化简计算可得所求角；（2）由三角形的正弦定理和三角形的面积公式，计算可得所求值【解答】解：（1）cosA1sin12sin2，可得sin（0舍去），由0，可得，则A
22、；（2）在ACD中，AC2，C，ADC，可得，即有AD2，可得ACD的面积为SACADsinCAD22【点评】本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查二倍角公式的运用，化简运算能力，属于中档题19（12分）已知等比数列an的前n项和，其中为常数（1）求；（2）设bnlog2an，求数列an+bn的前n项和Tn【分析】（1）利用等比数列的求和公式，求出数列的通项公式，然后求解（2）化简数列的通项公式，然后利用分组求和求解即可【解答】解：（1）因为，当n1时，a1S14+，当n2时，所以，因为数列an是等比数列，所以对n1也成立，所以4+2，即2（2）由（1）可得因为bnlog2an，所以所
23、以Tn（2+22+23+2n）+即【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列的求和公式的应用，考查计算能力20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，E，F分别是棱PC，AB的中点（1）证明：EF平面PAD；（2）求二面角PBDA的余弦值【分析】（1）取PD中点为G，连结EG，AG，推导出四边形AGEF是平行四边形，从而EFAG，由此能证明EF平面PAD（2）令ACBDO，则OE平面ABCD，以O为原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角PBDA的余弦值【解答】解：（1）证明：如图，取PD中点为G，连结EG，A
24、G，则，所以EG与AF平行与且相等，所以四边形AGEF是平行四边形，所以EFAG，AG平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD（2）令ACBDO，因为E是PC中点，所以OE平面ABCD，以O为原点，OA，OB，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在菱形ABCD中，AB2，BAd60，所以，在RtPAC中，则，B（0，1，0），D（0，1，0），设平面PBD的法向量为，所以，所以可取，又因平面ABD的法向量，所以由图可知二面角为锐二面角，所以二面角PBDA的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解
25、能力，是中档题21（12分）已知抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，准线为l，点AC，A在l上的射影为B，且ABF是边长为4的正三角形（1）求p；（2）过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，l1与C交于P，Q两点，l2与C交于M，N两点，设POQ的面积为S1，MON的面积为S2（O为坐标原点），求的最小值【分析】（1）设准线与y轴的交点为点H，连结AF，AB，BF，运用等边三角形的性质和解直角三角形可得p；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由F（0，1），设直线l1：ykx+1（k0），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，和点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式可得S1，再
26、将k换为，可得S2，再由基本不等式可得所求最小值【解答】解：（1）设准线与y轴的交点为点H，连结AF，AB，BF，因为ABF是正三角形，且BAAFBF4，在BHF中，BHF90，FBH30，BF4，所以HFp2（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由F（0，1），设直线l1：ykx+1（k0），由（1）知C：x24y，联立方程：消y得x24kx40因为16k2+160，所以x1+x24k，x1x24，所以，又原点O到直线l1的距离为，所以，同理，所以，当且仅当k1时取等号故的最小值为16【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简运
27、算能力，属于中档题22（12分）已知函数f（x）ax2lnx，aR（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当nN*时，证明：【分析】（1）求导之后分为a0和a0两类讨论函数单调性即可（2）由（1）可得，令f（x）fmin（x）0可得，进而得出结论【解答】解：（1）因为，当a0时，总有f（x）0，所以f（x）在（0，+）上单调递减当a0时，令，解得故时，f（x）0，所以f（x）在上单调递增同理时，有f（x）0，所以f（x）在上单调递减（2）由（1）知当a0时，若f（x）min0，则，此时，因为f（x）f（x）min0，所以，当nN*时，取，有，所以（ln2ln1）+（ln3ln2）+（ln（n+1）lnn），所以【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及导数与不等式的综合，难度较难