1、2017-2018学年云南省大理州高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|52x13，xR，Bx|x（x8）0，xZ，则AB（）A（0，2）B0，2C0，2D0，1，22（5分）给定函数，y|x1|，y2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD3（5分）已知变量x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值为（）A0B2C4D84（5分）已知l，m是直线，是平面，且m，则“lm”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5
2、分）等差数列an中，a10，S3S10，则当Sn取最大值时，n的值为（）A6B7C6或7D不存在6（5分）已知a，b，c，则（）AabcBbacCacbDcab7（5分）已知a是函数f（x）2xx的零点，若0x0a，则f（x0）的值满足（）Af（x0）0Bf（x0）0Cf（x0）0Df（x0）的符号不确定8（5分）执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x值为48，则输入的x值为（）A3B6C8D129（5分）为了得到函数ysin3x+cos3x的图象，可以将函数ycos3x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位10（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中
3、正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）ABCD11（5分）直线ykx+3与圆（x2）2+（y3）24相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）ABCD12（5分）椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆周长为2，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1y2|的值为（）A2B3C4D5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置13（5分）已知，则 14（5分）已知平面向量，满足|3，|2，与的夹角为60，若（m），则实数m 15（5分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，
4、对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为 人16（5分）已知直线x+ky（2+k）0恒过定点A，若点A在直线mxy+n0上，则4m+2n的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17（10分）ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA（）求；（）若cb1，求a的值18（12分）在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项（）求数列an的通项公式；（）求数
5、列（2n1）an的前n项和Sn19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，BAC90，ABACAA12，点M，N分别为A1B和B1C1的中点（）证明：A1MMC；（）求二面角NMCA的正弦值20（12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160），第二组160，165），第八组190，195，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人（）求第七组的频率；（）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以
6、上（含180cm）的人数；（）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E|xy|5，事件F|xy|15，求P（EF）21（12分）已知圆G：x2+y22x经过椭圆（ab0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于C、D两点（）求椭圆的方程；（）若l截圆G所得的弦长为，求OCD的面积22（12分）已知f （x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f （x）ax1其中a0且a1（1）求f （2）+f （2）的值；（2）求f （x）的解析式；（3）解关于x的不等式1f （x1）4，结果用集合或区间表示2017-2018学年云南省大
7、理州高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1（5分）已知集合Ax|52x13，xR，Bx|x（x8）0，xZ，则AB（）A（0，2）B0，2C0，2D0，1，2【分析】化简集合Ax|2x2，xR，B0，1，2，3，4，5，6，7，8，根据两个集合的交集的定义求出AB【解答】解：集合Ax|42x4，xRx|2x2，xR，Bx|x（x8）0，xZx|0x8，xZ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，ABx|0，1，2，故选：D【点评】本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求
8、法，属于基础题2（5分）给定函数，y|x1|，y2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）ABCD【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；为增函数，为定义域上的减函数，y|x1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，y2x+1为增函数【解答】解：是幂函数，其在（0，+）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+）内为减函数，故此项符合要求；中的函数图象是由函数yx1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符
9、合要求；中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意故选：B【点评】本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件3（5分）已知变量x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值为（）A0B2C4D8【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线zx+2y过点A，B时，z最大值即可【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图，由zx+2y知，yx+z，所以动直线yx+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值结合可行域可知当动直线经过点AB即与直线x+2y4重合时，目标函数取得最大值z4故选：C【点评】本题主要考查了简单的线性
10、规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题4（5分）已知l，m是直线，是平面，且m，则“lm”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由线面垂直的判定与性质定理即可得出【解答】解：由空间线面关系可得m，“l”“lm”，反之不成立m，则“lm”是“l”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5（5分）等差数列an中，a10，S3S10，则当Sn取最大值时，n的值为（）A6B7C6或7D不存在【分析】由等差数列的性质和求和公式易得a70，进而可得前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，
11、易得答案【解答】解：等差数列an中，a10，S3S10，S10S3a4+a5+a107a70，即a70等差数列an中前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数，当Sn取最大值时，n的值为6或7故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题6（5分）已知a，b，c，则（）AabcBbacCacbDcab【分析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出【解答】解：c，a，b，log43.63.61log23.6结合图象ylog2x可知，log23.4log23.6，结合ylog2x和ylog3x可知，log23.4log3log23.6，函数y5x是增
12、函数，acb故选：C【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7（5分）已知a是函数f（x）2xx的零点，若0x0a，则f（x0）的值满足（）Af（x0）0Bf（x0）0Cf（x0）0Df（x0）的符号不确定【分析】a是函数的零点，函数是增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解【解答】解：在（0，+）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）0，当0x0a时，f（x0）0，故选：C【点评】函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点8（5分）执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x值为48，则输入的x值为（）A3B6
13、C8D12【分析】第一次进入循环时，x2x，n1+12，满足n3，执行循环体，依此类推，最后一次：x2x48，n1+34，不满足n3，退出循环体，利用得到最后一次中x的值将以上过程反推，从而得出输入的x值【解答】解：模拟程序的执行情况如下：x2x，n1+12，满足n3，执行循环体；x2（2x）4x，n2+13，满足n3，执行循环体；x2（4x）8x，n3+14，不满足n3，退出循环体，由8x48即可得x6则输入的x值为：6故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理9（5分）为了得到函数ysi
14、n3x+cos3x的图象，可以将函数ycos3x的图象（）A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位【分析】由题意利用两角差的余弦公式化简ysin3x+cos3x的解析式，再利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数ysin3x+cos3xcos（3x），故将函数ycos3x的图象向右平移个单位，可得函数ysin3x+cos3x的图象，故选：A【点评】本题主要考查两角差的余弦公式，函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题10（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）ABCD【分析】由已知
15、中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径RPD则这个几何体的外接球的表面积为S4R24（）2故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何
16、体的几何特征是解答本题的关键11（5分）直线ykx+3与圆（x2）2+（y3）24相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）ABCD【分析】直线与圆相交，有两个公共点，设弦长为L，弦心距为d，半径为r，则可构建直角三角形，从而将问题仍然转化为点线距离问题【解答】解：圆（x2）2+（y3）24的圆心为（2，3），半径等于2，圆心到直线ykx+3的距离等于d由弦长公式得MN2 2 ，1，解得，故选：B【点评】利用直线与圆的位置关系，研究参数的值，同样应把握好代数法与几何法12（5分）椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，弦AB过F1，若ABF2的内切圆周长为2，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（
17、x2，y2），则|y1y2|的值为（）A2B3C4D5【分析】由已知求出椭圆的焦点分别为F1（2，0）、F2（2，0），ABF2的内切圆半径r1，ABF2的面积S（|AB|+|AF2|+|BF2|）r10，再由ABF2的面积S2|y2y1|，由此能求出|y1y2|的值【解答】解：椭圆中，a225且b216，a3，b，c2，椭圆的焦点分别为F1（2，0）、F2（2，0），设ABF2的内切圆半径为r，ABF2的内切圆周长为2，r1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）4a12ABF2的面积S（|AB|+|AF2|+|BF2|）r1
18、216，又ABF2的面积S+|y1|F1F2|+|y2|F1F2|（|y1|+|y2|）|F1F2|2|y2y1|（A、B在x轴的两侧），2|y1y2|6，解得|y1y2|3故选：B【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形内切圆的性质、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡相应位置13（5分）已知，则7【分析】由的范围，根据sin的值，求出cos的值，进而确定出tan的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，将tan的值代入计算即可求出值【解答】解：（，），sin，cos，tan，则tan
19、（）故答案为：7【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键14（5分）已知平面向量，满足|3，|2，与的夹角为60，若（m），则实数m3【分析】由题意可得 32cos603，（）m9m30，解方程求得实数m的值【解答】解：由题意可得 32cos603，（）m9m30，m3，故答案为：3【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求出3，是解题的关键15（5分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区
20、有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为808人【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数【解答】解：根据分层抽样的概念知，解得N808故答案为：808【点评】本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题16（5分）已知直线x+ky（2+k）0恒过定点A，若点A在直线mxy+n0上，则4m+2n的最小值为2【分析】直线恒过定点A（2，1）由点P在直线mxy+n0上，可得2m+n1利
21、用基本不等式可求【解答】解：由x+ky（2+k）0可得，k（y1）x2，则恒过定点A（2，1），点A在直线mxy+n0上，2m+n1，则4m+2n22，当且仅当n，m时取等号，此时取得最小值2，故答案为：2【点评】熟练掌握直线的性质、基本不等式的性质是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17（10分）ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA（）求；（）若cb1，求a的值【分析】（）直接利用三角形的面积公式求出bc的值即可得bccosA；（）通过余弦定理以及bc156，结合cb1，即可求出a的值【解答】解：（）在ABC中
22、，内角A，B，C，由cosA，得sinA（5分）（）由余弦定理可得a2b2+c22bc cosA（cb）2+2bc（1cosA）1+2156（1）25，a5【点评】本题考查同角三角形函数基本关系，三角形面积公式，利用余弦定理解三角形的运算求解能力18（12分）在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项（）求数列an的通项公式；（）求数列（2n1）an的前n项和Sn【分析】（）设该数列的公比为q，由a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求出q，求出首项a11，然后求解通项公式（） 利用错位相减法求解数列（2n1）an的前n项和，即可【解答】解：（）设该数列的公比为q，
23、由已知可得a1qa12，所以a1（q1）2，q24q+30，解得q3或q1，由于a1（q1）2，因此q1不合题意，应舍去故公比q3，首项a11，所以数列an的通项公式这：（6分）（） 数列（2n1）an的前n项和，3Sn13+332+533+（2n3）3n1+（2n1）3n，（12分）【点评】本题考查数列的应用，数列求和的方法错位相减法的应用，考查计算能力19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，BAC90，ABACAA12，点M，N分别为A1B和B1C1的中点（）证明：A1MMC；（）求二面角NMCA的正弦值【分析】（）以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA1为
24、x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，利用空间向量的数量积证明A1MMC（）求出平面MCA的一个法向量，平面NMC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角NMCA的正弦值即可【解答】（）证明：以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，（1分）于是C（0，2，0），A1（0，0，2），M（1，0，1），N（1，1，2），A1MMC（4分）（）解：由（）知A1MMC又AMMA是平面MCA的一个法向量，设平面NMC的法向量为，（10分）设向量和向量的夹角为，则二面角NMCA的正弦值为（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与直线垂直
25、的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160），第二组160，165），第八组190，195，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人（）求第七组的频率；（）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；（）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E|xy|5，事件F|xy|15，求P（EF）【分
26、析】（）先由第六组的人数除以样本容量得到第六组的频率，然后用1减去出第七组外各组的频率和即可得到第七组的频率；（）因为过中位数的直线两侧的矩形的面积相等，经计算前三组的频率和小于0.5，后四组的频率和大于0.5，由此断定中位数位于第四组，设出中位数m，由0.04+0.08+0.2+（m170）0.040.5即可求得中位数m的值；（）分别求出第六组和第八组的人数，利用列举法列出从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生的总的方法，再分别求出事件E和事件F的概率，最后利用互斥事件的概率加法公式进行计算【解答】解：（）第六组的频率为，所以第七组的频率为10.085（0.0082+0.016
27、+0.042+0.06）0.06；（）身高在第一组155，160）的频率为0.00850.04，身高在第二组160，165）的频率为0.01650.08，身高在第三组165，170）的频率为0.0450.2，身高在第四组170，175）的频率为0.0450.2，由于0.04+0.08+0.20.320.5，0.04+0.08+0.2+0.20.520.5估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170m175由0.04+0.08+0.2+（m170）0.040.5得m174.5所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.0085
28、0.18，所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18800144人（）第六组180，185）的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组190，195的人数为2人，设为A，B，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况，因事件E|xy|5发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况，故由于|xy|max19518015，所以事件F|xy|15是不可能事件，P（F）0由于事件E和事件F是互斥事件，所以【点评】本题考查了频率分布直方图，考查了列举法求基本事
29、件及事件发生的概率，解答此题的关键是明确频率直方图中各矩形的频率和等于1，中位数是频率分布直方图中，过该点的直线把各矩形面积均分的点的横坐标，此题是基础题21（12分）已知圆G：x2+y22x经过椭圆（ab0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于C、D两点（）求椭圆的方程；（）若l截圆G所得的弦长为，求OCD的面积【分析】（）利用圆的方程求出F（2，0）即c2，转化求解椭圆的方程（） 通过圆心到l的距离求出m，直线与椭圆方程联立利用弦长公式以及点到直线的距离求解数据想的面积即可【解答】解：（）在G中令y0得x0或x2，F（2，0）即c2，令x0得y0或，椭圆的方
30、程为（4分）（） 圆G：，圆心，又即，圆心到l的距离，m1（舍去）或m3代入得 ，（7260120）设C（x1，y1），D（x2，y2）则，（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力22（12分）已知f （x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f （x）ax1其中a0且a1（1）求f （2）+f （2）的值；（2）求f （x）的解析式；（3）解关于x的不等式1f （x1）4，结果用集合或区间表示【分析】（1）由f（x）是定义在R上的奇函数可得f（2）+f（2）0；（2）设x0，则x0；从而由f（x）f（x）求解析式；（3）分a1与0a1讨论函数的单调性，从而解不等式【解答】解：（1）f （x）是奇函数，f （2）f （2），即f （2）+f （2）0（2）当x0时，x0，f （x）ax1由f （x）是奇函数，有f （x）f （x），即f （x）ax+1（x0）所求的解析式为f （x）（3）不等式等价于或，即或当a1时，有或注意此时loga20，loga50，可得此时不等式的解集为（1loga2，1+loga5）同理可得，当0a1时，不等式的解集为R综上所述，当a1时，不等式的解集为（1loga2，1+loga5）；当0a1时，不等式的解集为R【点评】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用