1、2017-2018学年云南省玉溪市峨山一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1（5分）设集合A3，5，6，8，集合B5，7，8，则AB等于（）A5，8B5，7，8C3，4，5，6，7，8D3，5，6，7，82（5分）cos240（）ABCD3（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A3B4C5D64（5分）在平行四边形ABCD中，+等于（）ABCD5（5分）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为增函数的是（）Ay（）xByCylog3xDyx36
2、（5分）运行如图所示程序，则输出结果是（）A7B9C11D137（5分）函数f（x）3xx2的零点所在区间是（）A（1，2）B（0，1）C（1，0）D（2，1）8（5分）过点P（1，3），且平行于直线2x4y+10的直线方程为（）A2x+y50B2x+y10Cx2y+70Dx2y509（5分）已知数列an是公比为实数的等比数列，且a11，a59，则a3等于（）A2B3C4D510（5分）要得到y3cos（2x+）的图象，只需将y3cos2x的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度11（5分）三个数a0.312，blog20.31，c20.31之
3、间的大小关系为（）AacbBabcCbacDbca12（5分）ABC中角A，B，C所对边分别为a，b，c，若abcosC+csinB，b2，则ABC面积的面积的最大值为（）A+1B2+1C+1D1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上）13（5分）已知向量（2，1），（x，3），若，则x 14（5分）若tan，且（，），则cos 15（5分）设变量x、y满足约束条件，则z2x+3y的最大值为 16（5分）如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAAB，则球O的体积等于 三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程
4、或演算步骤）17（10分）在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知A（1）若a1，B，求b；（2）若b，c4，求a18（12分）已知函数f（x）cos2xsin2x+2sinxcosx+1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若x，求函数f（x）的取值范围19（12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45），得到的频率分布直方图如图所示（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场
5、的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率20（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1边长为2，E、F分别为AD1，CD1中点（1）求证：EF平面ABCD；（2）求异面直线EF与B1C1所成角的大小21（12分）已知各项都为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn（an+1）2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（nN*），求数列bn的前n项Tn22（12分）已知点A（2，2），B（2，6），C（4，2），点P在圆O：x2+y24上运动，直线l过点P且倾
6、斜角为（1）当点P坐标为（2，0），135时，直线l与圆O相交于M，N两点，求弦|MN|的长；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值2017-2018学年云南省玉溪市峨山一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项符合题目要求）1（5分）设集合A3，5，6，8，集合B5，7，8，则AB等于（）A5，8B5，7，8C3，4，5，6，7，8D3，5，6，7，8【分析】根据并集的定义即可求解【解答】解：集合A3，5，6，8，集合B5，7，8，则AB3，5，6，7，8故选：D【点评】此题考查了并集及其运算，熟
7、练掌握并集的定义是解本题的关键2（5分）cos240（）ABCD【分析】运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值【解答】解：cos240cos（180+60）cos60，故选：B【点评】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查3（5分）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（）A3B4C5D6【分析】由三视图可知：该几何体为一个圆柱，底面直径与高都为2即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个圆柱，底面直径与高都为2这个几何体的表面积212+226故选：D【点评】本题考查了圆锥的三
8、视图及其表面积的计算公式，属于基础题4（5分）在平行四边形ABCD中，+等于（）ABCD【分析】直接利用向量的线性运算求出结果【解答】解：在平行四边形ABCD中，所以：+故选：A【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算5（5分）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为增函数的是（）Ay（）xByCylog3xDyx3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y（）x不是奇函数，不符合题意；对于B，y，是奇函数，但在定义域不是增函数，不符合题意；对于C，ylog3x不是奇函数，不符合题意；对于D，yx3，是奇函数且在定义域内为
9、增函数，符合题意；故选：D【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性6（5分）运行如图所示程序，则输出结果是（）A7B9C11D13【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得x1执行循环体，x3不满足条件x9，执行循环体，x5不满足条件x9，执行循环体，x7不满足条件x9，执行循环体，x9满足条件x9，退出循环，输出x的值为9故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题7（
10、5分）函数f（x）3xx2的零点所在区间是（）A（1，2）B（0，1）C（1，0）D（2，1）【分析】根据函数胡零点定理判断即可【解答】解：函数f（x）3xx2，f（1）10，f（0）100，函数f（x）3xx2的零点所在的区间是 （1，0）故选：C【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题8（5分）过点P（1，3），且平行于直线2x4y+10的直线方程为（）A2x+y50B2x+y10Cx2y+70Dx2y50【分析】由条件利用两直线平行的性质，设出要求的直线的方程为直线方程为2x4y+c0，把点P（1，3），代入求得c的值，可得要求的直线方程【解答】解
11、：设所求的行于直线2x4y+10的直线方程为2x4y+c0，把点P（1，3），代入可得212+c0，c14，故要求的直线方程为 2x4y+140，即 x2y+70，故选：C【点评】本题主要考查利用两直线平行的性质，用待定系数法求直线方程，属于基础题9（5分）已知数列an是公比为实数的等比数列，且a11，a59，则a3等于（）A2B3C4D5【分析】设等比数列an的公比为q，由题意可得q4，可得q2，而a3a1q2，代值可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，（qR）由题意可得q49，解得q23，a3a1q23故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式，得出q2是解决问题的关键，属基础题10（
12、5分）要得到y3cos（2x+）的图象，只需将y3cos2x的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【分析】由条件利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将y3cos2x的图象向左平移个单位长度，可得y3cos2（x+）3cos（2x+）的图象，故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题11（5分）三个数a0.312，blog20.31，c20.31之间的大小关系为（）AacbBabcCbacDbca【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出【解答】解：00.3120.3101，log
13、20.31log210，20.31201，bac故选：C【点评】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键12（5分）ABC中角A，B，C所对边分别为a，b，c，若abcosC+csinB，b2，则ABC面积的面积的最大值为（）A+1B2+1C+1D1【分析】由正弦定理和三角恒等变换求得B的值，再利用余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，即可求出ABC面积的最大值【解答】解：ABC中，abcosC+csinB，由正弦定理得sinAsinBcosC+sinCsinB，又sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，cosBsinCsinCsinB，又sinC0，sinBcosB
14、，又B（0，180），B45；由余弦定理得b2a2+c22accosB，即4a2+c22accos45，整理得4a2+c2ac；又a2+c22ac（当且仅当ac取等号），42acac，即ac2（2+），ABC的面积为Sacsin45ac2（2+）+1，ABC面积的最大值为+1故选：A【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理与三角形内角和定理以及三角恒等变换和基本不等式的应用问题，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上）13（5分）已知向量（2，1），（x，3），若，则x【分析】利用向量垂直的性质直接求解【解答】解：向量（2，1），（x，3），2x30，解得x故
15、答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（5分）若tan，且（，），则cos【分析】由题意可得cos0，再结合tn，sin2+cos21，求得cos的值【解答】解：a（，），cosa0又 tn，sin2+cos21，求得cos，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题15（5分）设变量x、y满足约束条件，则z2x+3y的最大值为18【分析】本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值【解答】解：画出可行域，得在直线2xy2与直线x
16、y1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为18【点评】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视16（5分）如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DAAB，则球O的体积等于【分析】取CD中点M，证明BCBD，故而M为外接球的球心，利用勾股定理计算出半径，代入体积公式得出答案【解答】解：取CD的中点M，连接MA，MB，DA平面ABC，BC平面ABC，BCA
17、D，又BCAB，ABADA，BC平面ABD，又BD平面ABD，BCBD，ACD，ABD都是直角三角形，MAMBMCMD，M为外接球的球心，ADABBC，BD2，CD，外接球半径为r外接球的体积V故答案为：【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知A（1）若a1，B，求b；（2）若b，c4，求a【分析】（1）由已知及正弦定理即可解得b的值（2）由已知及余弦定理可求a的值【解答】解：（1）A，a1，B，由正弦定理，可得：b；（2）b，c4，A
18、，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：a2（）2+422cos7，解得：a【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题18（12分）已知函数f（x）cos2xsin2x+2sinxcosx+1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若x，求函数f（x）的取值范围【分析】（1）根据边角公式以及辅助角公式进行化简，结合函数的性质进行求解即可（2）求出角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可【解答】解：（1）f（x）cos2xsin2x+2sinxcosx+1cos2x+sin2x+11+sin（2x+），则周期T，由2k2x+2k
19、+，kZ，得kxk+，kZ，即函数的单调递增区间为k，k+，kZ（2）若x，则2x+，即sin（2x+）1，则01+sin（2x+）1+，即0f（x）1+，则函数f（x）的取值范围是0，1+【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用边角公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键19（12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20，25），第2组25，30），第3组30，35），第4组35，40），第5组40，45），得到的频率分布直方图如图所示（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传
20、活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率【分析】（1）利用分层抽样定义及频率分布图能求出结果（2）该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，基本事件总数n15，第4组至少有一名志愿者被抽中包含的基本事件个数m9，由此能求出第4组至少有一名志愿者被抽中的概率【解答】解：（1）从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，由频率分布图得：应从第3组抽取：63名志愿者，应从第4组抽取：62名志愿者，应从第5组抽取：61名志愿者（2）该县决定在这6
21、名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，基本事件总数n15，第4组至少有一名志愿者被抽中包含的基本事件个数m9，第4组至少有一名志愿者被抽中的概率p【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、频率分布直方图、等可能事件概率计算公式的合理运用20（12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1边长为2，E、F分别为AD1，CD1中点（1）求证：EF平面ABCD；（2）求异面直线EF与B1C1所成角的大小【分析】（1）连接AC，则EFAC，由此能证明EF平面ABCD（2）由EFAC，B1C1BC，得两异面直线EF与B1C1所成角为ACB，由此能求出两异面直线EF与B1C1
22、所成角的大小【解答】证明：（1）连接AC，E、F分别为AD1、CD1中点，EFAC，又EF平面ABCD，AC平面ABCD，EF平面ABCD解：（2）EFAC，B1C1BC，两异面直线EF与B1C1所成角为ACB，ABC是等腰直角三角形，ACB45，两异面直线EF与B1C1所成角的大小为45【点评】本题考查线面平行的证明，考查两异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是基础题21（12分）已知各项都为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn（an+1）2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn（nN*），求数列bn的前n项Tn【分析】（1）直接利用递推关系
23、式求出数列的通项公式（2）利用裂项相消法求出数列的和【解答】解：（1）各项都为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn（an+1）2（nN*）由Sn（an+1）2得当n2时，所以：即，所以（an+an1）（anan12）0，由于数列的各项为正数，故：anan12所以数列an是公差为2的等差数列当n1时，解得a11，所以an2n1；（2）由于，所以：，所以：+（），【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用22（12分）已知点A（2，2），B（2，6），C（4，2），点P在圆O：x2+y24上运动，直线l过点P且倾斜角为（1）当点P坐标为（2，0），135
24、时，直线l与圆O相交于M，N两点，求弦|MN|的长；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值【分析】（1）由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，写出直线l的方程，利用点到直线距离公式求O到直线l的距离，再用垂径定理求弦|MN|的长；（2）设P（x，y），则x2+y24，即x24y2，利用两点间的距离公式列出|PA|2+|PB|2+|PC|2，转化为关于y的一次函数求最值【解答】解：（1）圆O：x2+y24的圆心为O（0，0），半径r2直线l：yx+2，即x+y20圆心O到直线的距离d，|MN|2；（2）设P（x，y），则x2+y24，即x24y2|PA|2+|PB|2+|PC|2（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y6）2+（x4）2+（y+2）2804y由x24y20，得2y2|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数最值的求法，是中档题