1、2019-2020学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A2，1，0，1，2，Bx|0，则AB（）A0，1B1，0C1，0，1D0，1，22（5分）设mR，命题“若m0，则方程x2+xm0有实根”的逆否命题是（）A若方程x2+xm0有实根，则m0B若方程x2+xm0有实根，则m0C若方程x2+xm0没有实根，则m0D若方程x2+xm0没有实根，则m03（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时得累计里程（千米）
2、2019年10月1日12150002019年10月5日4815600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A6升B8升C10升D12升4（5分）已知向量（1，x），（2，4），（），则x（）A1B2C1D25（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A0.4x+2.3B2x2.4C2x+9.5D0.3x+4.46（5分）“a0”是“函数f（x）sinx+a为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（5分）已知yf（x）是奇函数，当x0
3、时，f（x）x2+ax，且f（3）6，则a的值为（）A5B1C1D38（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂A55986B46656C216D369（5分）实数x，y满足，则的最小值是（）A5BCD510（5分）设acos2sin2，b，c，则有（）AacbBabcCbcaDcab11（5分）已知正ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是（）ABCD12（5分）九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑
4、PABC中，PA平面ABC，ABBC，且APAC1，过A点分别作AEPB于E、AFPC于F，连接EF当AEF的面积最大时，tanBPC的值是（）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若正数a，b满足aba+b+3，则ab的取值范围是 14（5分）如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是 15（5分）若函数f（x）|3x3|a有两个零点，则实数a的取值范围是 16（5分）已知函数f（x）sinx（0）的图象关于直线x对称，且f（x）在0，上为单调函
5、数，下述四个结论：满足条件的取值只有1个；（，0）为函数f（x）的一个对称中心；f（x）在上单调递增其中所有正确结论的编号是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知p：方程x2+mx+10有两个不等的正实根；q：方程4x2+4（m2）x+10无实数根若pq为真，pq为假，求实数m的取值范围18（12分）华为手机作为华为公司三大核心业务之一，2018年的销售量跃居全球第二名某机构随机选取了100名华为手机的顾客进行调查，并将这100人的手机价格按照500，1500），1500，2500），6500，7500）分成7组，制成如图（六）所示的频
6、率分布直方图（1）若a是b的2倍，求a，b的值；（2）求这100名顾客手机价格的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表，精确到个位）；（3）利用分层抽样的方式从手机价格在1500，2500）和5500，6500）的顾客中选取6人，并从这6人中随机抽取2人进行回访，求抽取的2人手机价格在不同区间的概率19（12分）设函数f（x）sin（x+）+2sin2x（0），已知函数f（x）的图象的相邻对称轴的距离为（）求函数f（x）的解析式；（）若ABC的内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c（其中bc），且f（A），ABC面积为S6，a2，求b，c的值20（12分）如图，AB是圆O的直
7、径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设ABPC2，AC1，求直线BE与平面PAC所成角的正切值21（12分）已知直线l：ykx+1，圆C：（x1）2+（y+1）212（1）试证明：不论k为何值，直线l与圆C总有两个交点；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长22（12分）根据如图所示的程序框图，将输出的a，b值依次分别记为a1，a2，an和b1，b2，bn（1）分别求数列an和bn的通项公式；（2）令cnanbn，记Tn为数列cn的前n项和Tn，求使的最小正整
8、数n（参考值：lg20.301，lg30.477）2019-2020学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A2，1，0，1，2，Bx|0，则AB（）A0，1B1，0C1，0，1D0，1，2【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出交集AB【解答】解：集合A2，1，0，1，2，Bx|0x|1x2，AB0，1故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2（5分）设mR，命题“若m0，则方程x2+xm0有实根”的逆
9、否命题是（）A若方程x2+xm0有实根，则m0B若方程x2+xm0有实根，则m0C若方程x2+xm0没有实根，则m0D若方程x2+xm0没有实根，则m0【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可【解答】解：命题的逆否命题为，若方程x2+xm0 没有实根，则 m0，故选：D【点评】本题主要考查四种命题的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键3（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时得累计里程（千米）2019年10月1日12150002019年10月5日4815600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千
10、米平均耗油量为（）A6升B8升C10升D12升【分析】根据题意及表中数据可看出，行驶600千米，用48升油，从而可求出该车每100千米的平均耗油量【解答】解：由题意知，行驶1560015000600千米，用油48升；在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为8升故选：B【点评】考查解决实际问题的能力，对表中数据的理解，是基本知识的考查4（5分）已知向量（1，x），（2，4），（），则x（）A1B2C1D2【分析】可以求出，根据即可得出x43x0，解出x即可【解答】解：；x43x0；x2故选：D【点评】考查向量坐标的减法运算，以及平行向量的坐标关系5（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得
11、样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A0.4x+2.3B2x2.4C2x+9.5D0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程【解答】解：变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数3，3.5，代入A符合，B不符合，故选：A【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键6（5分）“a0”是“函数f（x）sinx+a为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】先根据奇函数的定义判断出a0时，为奇函数，再根据奇函数的定义判断当为奇函数时，a0，
12、故可以判断为充要条件【解答】解：f（x）的定义域为x|x0，关于原点对称当a0时，f（x）sinx，f（x）sin（x）（）sinx+（sinx）f（x），故f（z）为奇函数，当函数f（x）sinx+a为奇函数时，f（x）+f（x）0又f（x）+f（x）sin（x）（）+a+sinx+a2a，故a0所以“a0”是“函数f（x）sinx+a为奇函数”的充要条件，故选：C【点评】考查判断一个条件是另一个条件的什么条件时，要从两个方面判断：充分条件，和必要条件，掌握函数的奇偶性，以及需理解充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念7（5分）已知yf（x）是奇函数，当x0时，f（x）x2+ax，且f（3
13、）6，则a的值为（）A5B1C1D3【分析】推出f（3）的值代入函数表达式可得a【解答】解：yf（x）是奇函数，且f（3）6，f（3）6，93a6解得a5故选：A【点评】考查了奇函数的性质，属于基础题8（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂A55986B46656C216D36【分析】根据题意，第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，则数列an成等比数列根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有6646656只蜜蜂【解答】解：设第n天蜂
14、巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列an成等比数列，它的首项为6，公比q6所以an的通项公式：an66n1到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a66656646656只蜜蜂故选：B【点评】本题以蜜蜂归巢为例，考查了等比数列的通项公式，属于基础题深刻理解等比数列模型，准确运用它的通项公式，是解决本题的关键所在9（5分）实数x，y满足，则的最小值是（）A5BCD5【分析】作出平面区域，则表示过点（1，1）的直线的斜率，根据平面区域观察最优解【解答】解：作出平面区域如图所示：由平面区域可知过P（1，1）的直线过点A时斜率最小，解方程组得x，y的最小值为故选：B【点评】本题考查了简单的线性规划，
15、根据可行域寻找最优解是解题关键，属于中档题10（5分）设acos2sin2，b，c，则有（）AacbBabcCbcaDcab【分析】由两角差的正弦公式求a，由二倍角的正切公式求b，由二倍角的正弦公式求c，即可根据正弦函数的单调性和三角函数线的知识比较大小【解答】解：acos2sin2sin（302）sin28，btan（14+14）tan28，csin25，正弦函数在（0，90）是单调递增的，ca又在（0，90）内，正切线大于正弦线，ab故选：D【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式，二倍角的正切公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的单调性和三角函数线的知识应用，属于基础题11（5分）已知正ABC
16、的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是（）ABCD【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，由平面向量数量积运算及三角恒等变形中的辅助角公式，即可求得|2的最大值【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，），B（1，0），C（1，0），因为|1，可设P（cos，+sin），又，所以M（，），所以（，），所以|2+（13+2sin+6cos）13+4sin（+），当且仅当sin（+）1时取等号故选：C【点评】本题考查了平面向量数量积运算及三角恒等变形中的辅助角公式应用问题，是中档题12（5分）九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑
17、PABC中，PA平面ABC，ABBC，且APAC1，过A点分别作AEPB于E、AFPC于F，连接EF当AEF的面积最大时，tanBPC的值是（）ABCD【分析】由已知可证AE平面PBC，PC平面AEF，可得AEF、PEF均为直角三角形，由已知得AF，从而（AE2+EF2）（AF）2，当且仅当AEEF时，取“”，解得当AEEF时，AEF的面积最大，即可求得tanBPC的值【解答】解：显然BC平面PAB，则BCAE，又PBAE，则AE平面PBC，于是AEEF，且AEPC，结合条件AFPC得PC平面AEF，所以AEF、PEF均为直角三角形，由已知得AF，而（AE2+EF2）（AF）2，当且仅当AEE
18、F时，取“”，所以，当AEEF时，AEF的面积最大，此时tanBPC，故选：B【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，不等式的解法及应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）若正数a，b满足aba+b+3，则ab的取值范围是9，+）【分析】先根据基本不等式可知a+b2，代入题设等式中得关于不等式方程，进而求得的范围，则ab的最大值可得【解答】解：a+b2，aba+b+3，ab2303或1（空集）ab9故答案为：9，+）【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用
19、14（5分）如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是3【分析】圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，可得P，即可得出结论【解答】解：圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，P，又S圆9，S阴影3，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，关键是要根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及圆面积之间的关系属于基础题15（5分）若函数f（x）|3x3|a有两个零点，则实数a的取值范围是（0，3）【分析】根据函数零点的定义，即可求出实
20、数a的取值范围【解答】解：由f（x）0可得，|3x3|a0，所以3x3+a0或3x3a0，而函数f（x）有两个零点，故，解得0a3故答案为：（0，3）【点评】本题主要考查函数零点的求法，属于中档题16（5分）已知函数f（x）sinx（0）的图象关于直线x对称，且f（x）在0，上为单调函数，下述四个结论：满足条件的取值只有1个；（，0）为函数f（x）的一个对称中心；f（x）在上单调递增其中所有正确结论的编号是【分析】由三角函数的对称轴及在0，上为单调函数，可得的值，然后判断各个命题的真假【解答】解：已知函数f（x）sinx（0）的图象关于直线x对称，则可得+k（kz）+（kz），又f（x）在0，
21、上为单调函数，0，x0，应该是f（x）的增区间，或2错；使xk（kz）时的x值都是对称中心的横坐标，2时3，时，显然都成立，正确；2时x，0，则x0，是f（x）的单调递增区间，时，x0，是f（x）的单调递增区间，正确故答案为：【点评】本题考查三角函数的单调性及对称轴求出的值，然后判断各个命题的真假，属于中难度题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）已知p：方程x2+mx+10有两个不等的正实根；q：方程4x2+4（m2）x+10无实数根若pq为真，pq为假，求实数m的取值范围【分析】若pq为真，pq为假，则p真q假或p假q真，分类讨论，可得满足条件的实数m
22、的取值范围【解答】解：若命题p为真：则，即，m2若命题q为真，则0，即16（m2）21601m3pq为真，pq为假p真q假或p假q真当p真q假时，m2当p假q真时，1m3综上所述m2或1m3【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，方程根与关系等知识点，难度中档18（12分）华为手机作为华为公司三大核心业务之一，2018年的销售量跃居全球第二名某机构随机选取了100名华为手机的顾客进行调查，并将这100人的手机价格按照500，1500），1500，2500），6500，7500）分成7组，制成如图（六）所示的频率分布直方图（1）若a是b的2倍，求a，b的值；（2）求这100名顾
23、客手机价格的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表，精确到个位）；（3）利用分层抽样的方式从手机价格在1500，2500）和5500，6500）的顾客中选取6人，并从这6人中随机抽取2人进行回访，求抽取的2人手机价格在不同区间的概率【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，能求出a，b的值（2）由频率分布直方图能求出这100名顾客手机价格的平均数和中位数（3）由已知得从手机价格为1500，2500）中抽取4人，设为a，b，c，d，在手机价格为5500，6500）中抽2人，设为x，y，从这6人中任意取2人，利用列举法能求出抽取的2人手机价格在不同区间的概率【解答】解：（1）由已知
24、得，解得a0.00016，b0.00008（2）平均数10000.06+20000.16+30000.12+40000.30+50000.26+60000.08+70000.023860元中位数3500+10004033（3）由已知得从手机价格为1500，2500）中抽取4人，设为a，b，c，d，在手机价格为5500，6500）中抽2人，设为x，y，从这6人中任意取2人，共有15种抽法，分别为：xy，xa，xb，xc，xd，ya，yb，yc，yd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，其中抽取的2人的手机价格在不同区间的有8种，抽取的2人手机价格在不同区间的概率：p【点评】本题考查频率、平均数、
25、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19（12分）设函数f（x）sin（x+）+2sin2x（0），已知函数f（x）的图象的相邻对称轴的距离为（）求函数f（x）的解析式；（）若ABC的内角为A，B，C所对的边分别为a，b，c（其中bc），且f（A），ABC面积为S6，a2，求b，c的值【分析】（）将三角函数进行化简，即可求函数f（x）的解析式；（）根据三角形的面积公式，以及余弦定理建立方程组即可得到结论【解答】解：（）f（x）sin（x+）+2sin2x，函数f（x）的图象的相邻对称轴的距离为函数f（x）的周期为2，1，即函数f（
26、x）的解析式（）由f（A），得，即，A，ABC面积为S6，a2，即bc24，由余弦定理得a2（2）2b2+c22bccosb2+c224，b2+c252，bc，bc24解得b4，c6【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用三角函数的公式将三角函数进行化简是解决本题的关键20（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设ABPC2，AC1，求直线BE与平面PAC所成角的正切值【分析】（1）连接EF，则EFAC从而EF平面ABC
27、进而EFl由此能证明直线l平面PAC（2）由BC平面PAC，得BEC即为BE与平面PAC所成的角，由此能求出直线BE与平面PAC所成角的正切值【解答】解：（1）直线l平面PAC证明如下：连接EF，E，F分别是PA，PC的中点，EFAC又EF平面ABC，且AC平面ABC，EF平面ABC而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，EFl因为l平面PAC，EF平面PAC，直线l平面PAC（2）BC平面PAC，BEC即为BE与平面PAC所成的角，故直线BE与平面PAC所成角的正切值为【点评】本题考查面面平行的判断与证明，考查线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运
28、算求解能力，是中档题21（12分）已知直线l：ykx+1，圆C：（x1）2+（y+1）212（1）试证明：不论k为何值，直线l与圆C总有两个交点；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长【分析】（1）联立直线l与圆C方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式恒大于0，得到不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），表示出直线l被圆C截得的弦长，设t，讨论出t的最大值，即可确定出弦长的最小值【解答】解：（1）由，消去y得到（k2+1）x2（24k）x70，（24k）2+28k2+280，不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）设
29、直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22，令t，则有tk24k+（t3）0，当t0时，k；当t0时，由kR，得到164t（t3）0，解得：1t4，且t0，则t的最大值为4，此时|AB|最小值为2，则直线l被圆C截得的最短弦长为2【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线与圆的交点，两点间的距离公式，根的判别式，以及一元二次方程的性质，是一道综合性较强的试题22（12分）根据如图所示的程序框图，将输出的a，b值依次分别记为a1，a2，an和b1，b2，bn（1）分别求数列an和bn的通项公式；（2）令cnanbn，记Tn为数列
30、cn的前n项和Tn，求使的最小正整数n（参考值：lg20.301，lg30.477）【分析】（1）根据框图可知an+1an+2整理得an+1an2，根据等差数列的定义判断出an为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得an，根据bn+13bn，整理得3判断出bn为等比数列，根据首项和公比求得bn的通项公式（2）根据（1）中求得的an和bn，求得cn，进而利用错位相减法求得Tn（n1）3n+1+3，由（n1）3n+1+3（n1）2n+4+3，即可解得满足的最小正整数【解答】解：（1）由程序框图可知：依框图得，an+1an+2，a11，即an+1an2，数列an是首项为1，公差为2的等差数列，an
31、1+（n1）22n1，又bn+13bn，b13，即3，数列bn是首项为3，公比为3的等比数列，bn33n13n（2）由（1）得cnanbn（2n1）3n，数列cn的前n和为Tn，Tnc1+c2+c3+cn1+cn，Tn131+332+533+（2n3）3n1+（2n1）3n3Tn132+333+534+（2n3）3n+（2n1）3n+1将得：2Tn3+232+233+234+23n（2n1）3n+13+2（3+32+33+34+3n）（2n1）3n+13+2（2n1）3n+12（n1）3n+16，Tn（n1）3n+1+3，又Tn（n1）3n+1+3（n1）2n+4+3，n4.131，从而满足的最小正整数为5【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，及数列求和问题由等差数列和等比数列构成的数列常可用错位相减法求和，属于中档题